Kỳ vọng điều kiện củ aX cho bởi biến cố B, ký hiệu E(X|B) được xỏc định bở

hiệu E(X|B) được xỏc định bởi

)B B ( P ) X ( E XdP ) B ( P ) B | X ( E ^B B 1 1 = = ∫ Nhận xột 1.12 E(X|Ω)=EX; E(1_A |B)=P(A|B)

Định nghĩa 1.13 Phõn phối điều kiện, mật độ điều kiện

Định nghĩa 1.14 Kỳ vọng điều kiện của X cho bởi Y = y với P(Y = y) > 0

Vớ dụ 1.15 Vớ dụ về tớnh kỳ vọng điều kiện của X cho bởi Y = y trong trường hợp rời rạc và liờn tục

Mệnh đề 1.16 EX=E(E(X|Y)) _{(tớnh kỳ vọng theo điều kiện)}

Vớ dụ 1.17 Vớ dụ về tớnh EX phải dựa theo điều kiện Y 1.2.2. Kỳ vọng điều kiện tổng quỏt

Định nghĩa 1.18 Định nghĩa kỳ vọng điều kiện tổng quỏt

Mệnh đề 1.19 Sự tồn tại của kỳ vọng cú điều kiện (Định lý Radon- Nykodym)

Vớ dụ 1.20 Kỳ vọng điều kiện của biến ngẫu nhiờn X đối với

−

σ

Tớnh chất 1.21 Cỏc tớnh chất của kỳ vọng cú điều kiện

Định lý 1.22 Định lý về chuyển giới hạn dưới dấu kỳ vọng cú điều kiện

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KHÁI MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIấN

2.1. Quỏ trỡnh ngẫu nhiờn

Định nghĩa 2.1 Định nghĩa quỏ trỡnh ngẫu nhiờn, phõn lớp cỏc quỏ trỡnh ngẫu nhiờn, khụng gian trạng thỏi của quỏ trỡnh ngẫu nhiờn Vớ dụ 2.2 Cho vớ vụ về quỏ trỡnh ngẫu nhiờn cú tham số hoặc trạng thỏi rời rac, liờn tục

Định nghĩa 2.3 Phõn phối hữu hạn chiều của quỏ trỡnh ngẫu nhiờn Định nghĩa 2.4 Khỏi niệm 2 quỏ trỡnh ngẫu nhiờn tương đương, bằng nhau

Định nghĩa 2.5 Quỹ đạo và khụng gian quỹ đạo của quỏ trỡnh ngẫu nhiờn

Định lý 2.6 (Định lý tồn tại Kolmogorov)

Tồn tại khụng gian xỏc suất (Ω, ℑ, P) _{và quỏ trỡnh} ) T t , X ( _t ∈ _{xỏc định trờn} (Ω, ℑ, P) _nhận P_I làm họ cỏc phõn phối hữu hạn chiều.

Định nghĩa 2.7 Cỏc đặc trưng: hàm trung bỡnh, phương sai, hàm tương quan

Vớ dụ 2.8 Vớ dụ tỡm về tỡm cỏc đặc trưng

Định nghĩa 2.9 Quỏ trỡnh đo được, thớch nghi, đo được dần, cadlag, caglad,..

Mệnh đề 2.10 Mối quan hệ giữa cỏc loại quỏ trỡnh trờn 2.2. Một số lớp quỏ trỡnh ngẫu nhiờn quan trọng

2.2.1 Quỏ trỡnh Gauss

2.2.2 Quỏ trỡnh Gia số độc lập, gia số khụng tương quan2.2.3 Quỏ trỡnh dừng 2.2.3 Quỏ trỡnh dừng

2.2.4 Quỏ trỡnh gia số độc lập dừng2.2.5 Quỏ trỡnh Markov 2.2.5 Quỏ trỡnh Markov

CHƯƠNG 3: MARTINGALE MARTINGALE

3.1. Định nghĩa và một số kết quả quan trọng

Định nghĩa 3.1 Lọc, dóy biến ngẫu nhiờn thớch nghi với lọc

Định nghĩa 3.2 Định nghĩa Martingale, martingale dưới, martingale trờn

Vớ dụ 3.3 Một số vớ dụ về martingale Mệnh đề 3.4