4. MÃ HÓA KHÓA CÔNG KHAI
4.5.2.Kiểm tra Fermat
Kiểm tra Fermat là một thuật toán xác suất kiểm tra một số tự nhiên là hợp số hay là số nguyên tố xác suất.
Khái niệm
Định lý nhỏ Fermat phát biểu rằng nếu p là số nguyên tố và , thì .
Nếu ta muốn kiểm tra số n có là nguyên tố không, ta lấy ngẫu nhiên các số a' và kiểm tra xem đẳng thức trên có đúng không. Nếu nó không đúng với một giá trị a nào đó thì n là hợp số. Nếu đẳng thức đúng với nhiều giá trị của a, ta có thể nói rằng n là số nguyên tố với xác suất nào đó, hay là một số giả nguyên tố (pseudoprime).
Có thể phép thử sẽ cho ta một kết quả sai. Số a mà
trong khi n là hợp số được gọi là một giả Fermat. Còn nếu có số a mà
thì a được xem như một bằng chứng Fermat chứng tỏ n là hợp số.
Thuật toán và thời gian thi hành
Thuật toán có thể viết như sau:
Inputs: n: giá trị để kiểm tra tính nguyên tố; k: tham số tham gia vào quá trình kiểm tra
Output: hợp số nếu n là hợp số, nếu không nguyên tố xác suất repeat k times:
lấy a ngẫu nhiên trong [1, n − 1] if an − 1 mod n ≠ 1 then
return composite return probably prime
Khi dùng thuật toán tính nhanh luỹ thừa theo mođun, thời gian thi hành của thuật toán là O(k × log3n), ở đó k là số lần kiểm tra với mỗi số a ngãu nhiên, và n là giá trị ta muốn kiểm tra.
Trang 55 Có khá nhiều giá trị của n là các số Carmichael mà với tất cả các giá trị của a sao cho ƯCLN(a,n)=1 là giả Fermat. Mặc dù các số Carmichael là rất hiếm, nhưng phép thử Fermat rất ít được dùng so với các phương pháp khác như kiểm tra Miller-Rabin hay kiểm tra Solovay-Strassen.
Nói chung, nếu n không là số Carmichael thì ít nhất một nửa các số
là bằng chứng Fermat. Để chứng minh điều này, giả sử a là một bằng chứng Fermat và a1, a2, ..., as là giả Fermat. Khi đó
và do đó tất cả a × ai for i = 1, 2, ..., s là bằng chứng Fermat.