I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC II 1 Tam thức bậc ha
2. Giải bất phương trình bậc ha
Giải bất phương trình bậc 2 ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0).
Câu hỏi 3. Trong các khoảng nào
a) f(x) = -2x2 + 3x + 5 trái dấu với hệ số của x2 ? b) g(x) = -3x2 + 7x – 4 cùng dấu với hệ số của x2 ? 104
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau a) 3x2 + 2x + 5 > 0 b) -2x2 + 3x + 5 > 0 c) -3x2 + 7x – 4 < 0 d) 9x2 – 24x + 16 >= 0 Giải. a) Tam thức f(x) = 3x2 + 2x + 5 có
Do đó tập nghiệm của bất phương trình 3x2 + 2x + 5 > 0 là
b) Tam thức f(x) = -2x2 + 3x + 5 có 2 nghiệm là x1 = -1; x2 = 5/2, hệ số a = -2 < 0, nên f(x) luôn dương với mọi x thuộc khoảng (-1; 5/2). Vậy bất phương trình -2x2 + 3x + 5 > 0 có tập nghiệm là khoảng (-1; 5/2).
c) Tam thức f(x) = -3x2 + 7x – 4 có 2 nghiệm là x1 = 1; x2 = 4/3, hệ số a = -3 < 0, nên f(x) luôn âm với mọi x thuộc khoảng
Vậy tập nghiệm của bất phương trình -3x2 + 7x – 4 < 0 là d) Tam thức f(x) = 9x2 – 24x + 16 có hệ số a = 9
Vậy bất phương trình 9x2 – 24x + 16 >= 0 nghiệm đúng với mọi x. Ví dụ 4. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu 2x2 – (m2 – m + 1)x + 2m2 – 3m – 5 = 0.
105
Giải. Phương trình bậc 2 sẽ có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi các hệ số a và c trái dấu, tức là m phải thỏa mãn điều kiện 2(2m2 – 3m – 5) < 0
Vì tam thức f(m) = 2m2 – 3m – 5 có 2 nghiệm là m1 = -1, m2 = 5/2 và hệ số của m2 dương nên 2m2 – 3m – 5 < 0
Kết luận. Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi -1 < m < 5/2.
BÀI TẬP
1. Xét dấu các tam thức bậc 2 a) 5x2 – 3x + 1
b) -2x2 + 3x + 5 c) x2 + 12x = 36 d) (2x – 3)(x + 5)
2. Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) f(x) = (3x2 – 10x + 3)(4x – 5)
b) f(x) = (3x2 – 4x)(2x2 – x – 1)
c) f(x) = (4x2 – 1)(-8x2 + x – 3)(2x + 9) d) f(x)
3. Giải các bất phương trình sau a) 4x2 – x + 1 < 0
b) -3x2 + x + 4 >= 0 c)
d) x2 – x – 6 <= 0.
4. Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0
b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0 106
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
1. Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau a) x là số dương
b) y là số không âm
c) Với mọi số thực a, |a| là số không âm
d) Trung bình cộng của 2 số dương a và b không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng.
2. Có thể rút ra kết luận gì về dấu của 2 số a và b nếu biết a) ab > 0
b) a/b > 0 c) ab < 0 d) a/b < 0
3. Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng? (A)
(B) (C) (D)
4. Khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05 kg, người ta cho biết kết quả là 26,4 kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào.
5. Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) = x + 1 và y = g(x) = 3 – x và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn
a) f(x) = g(x) b) f(x) > g(x) c) f(x) < g(x)
Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình. 6. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng
107
7. Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là 2 bất phương trình tương đương
8. Nêu quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by <= c.
9. Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc 2. 10. Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng
11. a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b) hãy xét dấu f(x) = x4 – x2 + 6x – 9 và g(x) = x2 – 2x – 4/(x2 – 2x)
b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau x(x3 – x + 6) > 9. 12. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc 2, chứng minh rằng b2x2 – (b2 + c2 - a2)x + c2 > 0, với mọi x.
13. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Chọn phương án đúng trong các bài tập sau
14. Số -2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình (A): 2x + 1 > 1 – x
(B) : (2x + 1)(1 – x) < x2 (C) :
(D) : (2 – x)(x + 2)2 < 0 108
15. Bất phương trình tương đương với bất phương trình (A)
(B) (C) (D)
16. Bất phương trình mx2 + (2m – 1)x + m + 1 < 0 có nghiệm khi (A) : m = 1
(B) : m = 3 (C) : m = 0 (D) : m = 0,25
17. Hệ bất phương trình sau vô nghiệm (A) (B) (C) (D) 109 CHƯƠNG V - THỐNG KÊ
Thống kê là khoa học nghiên cứu các phương pháp thu thập, phân tích và xử lí các số liệu nhằm phát hiện các quy luật thống kê trong tự nhiên và xã hội. Chương này giúp học sinh nắm vững một số phương pháp trình bày số liệu (bằng bảng, biểu đồ) và thu gọn số liệu nhờ các số đặc trưng.
110
BÀI 1 - BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤTI - ÔN TẬP I - ÔN TẬP