III. CÁC THUẬT TỐN KIỂM TRA SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG HÌNH HỌC
III.1 CÁC QUAN HỆ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG (2D) 1.Tính gĩc giữa hai đường thẳng
Cơ sở tốn học:
Đây là ứng dụng quan trọng của tích vơ hướng. Hình a dưới cho thấy gĩc
θ giữa hai vector a và b. Chúng tạo thành hai cạnh của tam giác, và cạnh thứ ba là a- b.
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 27
ϕ
b a
Luận văn tốt nghiệp
Từ định nghĩa tích vơ hướng của vector a=(a1,a2)ø và b =(b1,b2)là a.b= |a||b| cos(ϕ ) với θ :gĩc giữa vector a và vector b
Và từ biểu thức giải tích của tích vơ hướng:
a.b = a1 b1+ a2 b2 Ta cĩ cos(ϕ) =a.b / |a||b|=a1b1+a2b2/ ( )( 2)
22 2 1 2 2 2 1 a b b a + +
Cos(ϕ) dương nếu |ϕ| nhỏ hơn 90o, và âm nếu |ϕ| lớn hơn 90o.
Giải thuật:
- Tính vector chỉ phương a và b của 2 đoạn thẳng - Tính vector vơ hướng a.b
- Cos (ϕ)= a.b / |a| |b|
- Gĩc 2 đoạn thẳng Alpha= arcos(cos(ϕ))
2.Tìm hình chiếu của đoạn thẳng AB lên đường thẳng b
Cơ sở tốn học:
Để tính hình chiếu đoạn AB lên đường thẳng b đi qua C và D, ta tìm hình chiếu của điểm A là A’ và B là B’ trên đường thẳng b. Đoạn A’B’ chính là hình chiếu của AB trên đường b.
• Xác định PT đi qua 2 điểm C, D:
ax + by + c = 0
cĩ vector chỉ phương VCF = (xD-xC , yD-yC ) = (-b, a) và c = - a * xC - b * yC.
• Xác định PT đường thẳng ∆ đi qua điểm A và vuơng gĩc với CD: bx -ay + c’ = 0
cĩ vector chỉ phương của ∆ =(a, b)
Thiết kế hệ thống kiểm tra các quan hệ hình học trang 28
A B
B A’
C D
Luận văn tốt nghiệp
và c’= b*xA + a*yA
• Tính giao điểm A’(xA’, yA’) của hệ PT (1) và (2)
ax + by + c = 0 (1) bx - ay + c’= 0 (2) xA’= (-c’*b + c*a) / ( a*a + b*b) yA’= ( -c*b + c’*a) / ( a*a + b*b)
• Tương tự tính B’ là giao điểm của:
. Phương trình đường thẳng đi qua CD
. Và Phương trình đường thẳng ∆’ đi qua B và vuơng gĩc với CD
Giải thuật:
- Tìm vector chỉ phương VCF (-b, a) của phương trình đường thẳng qua hai diểm C, D: ax + by + c =0
- Tính hệ số c.
- Tính c1 của phương trình ∆1 đi qua điểm A và vuơng gĩc với CD: bx - ay + c1 = 0
- Tìm giao điểm A’của đường ∆1 và đường qua C, D .
- Tìm giao điểm B’ của đường ∆2 đi qua điểm B và vuơng gĩc với đường thẳng CD.
- Khi đĩ A’B’ chính là hình chiếu của AB.
3.Xác định giao điểm giữa hai đoạn thẳng
Cơ sở tốn học:
Cho hai đoạn thẳng, xác định chúng cĩ cắt nhau khơng, nếu cĩ tìm giao điểm.Giả sử đường 1 từ a đến b và đường 2 từ c đến d như trong hình vẽ, hai đoạn thẳng cĩ thể bố trí theo nhiều cách khác nhau.