Vấn đề phân tích một số nguyên tố lớn thành tích các số nguyên tố khác nhau là bài toán rất hấp dẫn và đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu; chẳng hạn [1], [2], [3] tuy nhiên trong phạm vi của một luận văn cao học, em chỉ tập trung nghiên cứu trong trường hợp N là tích của hai số nguyên tố phân biệt. sau đây là một số mệnh đề quan trọng phục vụ việc tấn công cơ bản:
Mệnh đề 1:
Giả sử N là một số tự nhiên không chính phương (perfect square), tức N không phải là bình phương đúng của một số nguyên tố, thỏa mãn điều kiện:
N – 1 > ϕ(N) > N – N2/3
Chứng minh:
Thật vậy, rõ ràng N không phải là số nguyên tố vì nếu N là số nguyên tố thì ϕ(N) = N-1, trái với giả thiết. Do giả thiết N không phải là bình phương của một số nguyên tố. Như vậy nếu N không phải là tích của 2 số nguyên tố phân biệt thì nó phải là tích của nhiều hơn 2 số nguyên tố (không cần phân biệt). Giả sử p là số nguyên tố nhỏ nhất của tích; Khi đó p ≤ N 1/3 do đó chúng ta có
ϕ(N) ≤ N(1-
p
1
) ≤ N(1 – N-1/3) = N – N2/3
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy N = p.q trong đó p,q là 2 số nguyên tố lẻ, phân biệt. Chú ý: Mệnh đề đảo của mệnh đề 1 cũng đúng.
Mệnh đề 2:
Với (N,e) là khóa công khai của RSA. Cho trước khóa riêng d, người ta có thể phân tích thành nhân tử môdul N=pq một cách hiệu quả. Ngược lại cho các thừa số của N, người ta có thể khôi phục được d một cách có hiệu quả.
Từ các mệnh đề ở trên người ta đã đưa ra một số tấn công vào RSA sau đây: