Các cấu trúc mạng đối xứng

P ) T Thật vậy cho bất kỳ giá tr iV cố định chúng ta có:

2.3.3 Các cấu trúc mạng đối xứng

Cấu trúc thông thường của CSPN trên cơ sở các phần tử F2/1 có thể được biểu diễn như sự chồng của một số tầng hoạt động và các chuyển vị cố định, như trong trường hợp của các hộp CP. Vì vậy, bằng việc giới hạn tầng hoạt động, chúng ta hiểu một tầng của các phần tử F2/1 được thực hiện song song trên các bit dữ liệu. Thông thường, các tầng hoạt động bao gồm

n=2z các phần tử được điều chỉnh, trong đó z là một số tự nhiên. Chúng được biểu diễn như L, Ln,L(z). Cấu trúc chung của một số hộp Fm/n và các nghịch đảo của nó có thể nhận được dễ dàng từ cấu trúc chung của các hộp Pm/n và Pm/n-1. Định nghĩa về thứ tự các hộp DDO có thể được mở rộng theo cách sau:

Định nghĩa 2.3: Một hộp DDO được xây dựng sử dụng các phần tử F2/1 như các khối xây dựng chuẩn được gọi là một thứ tự h nếu nó có cùng cấu trúc mạng của các kết nối giữa các tầng hoạt động như một số hộp CP của thứ tự h.

Do vậy việc xây dựng ba cấu trúc đệ quy chúng ta có thể thấy ở hình 2.6a, 2.6b và hình 2.7 và các cấu trúc mạng khác của các hộp CP có thể được sử dụng để xây dựng các hộp Fm/n của các thứ bậc khác nhau. Các cấu trúc mạng có biểu diễn đối xứng gương được quan tâm đáng kểt cho việc thiết kế các mã khối lặp lại. Trong khi xem xét các hộp Fm/n, chúng ta đưa vào các phép tính thực tế, các phần tử F2/1 là không đối hợp. Vì vậy, trong các cấu trúc mạng đối xứng chúng ta nên sử dụng ít nhất hai biến đổi khác nhau của các phần tử F2/1 (trong một số trường hợp, các CE này có thể tương ứng với các kiểu khác nhau) nếu chúng không là các ánh xạ đối hợp. Chúng ta định nghĩa các hộp đối xứng Fm/n như sau:

Định nghĩa 2.4: Một cấu trúc mạng của hộp Fm/n được gọi là đối xứng nếu với tất cả j=1,…,s-1 có các mối quan hệ sau: Lj=(Ls-j+1)-1 (hoặc Lj=Ls-j+1 nếu Lj là involution) và πj =(πs−j)−1, trong đó j biểu diễn số tuần tự của các

tầng hoạt động trong hộp Fm/n s tầng.

Định nghĩa 2.5: Một hộp Fm/n s tầng có cấu trúc mạng đối xứng được gọi là đối xứng nếu với tất cả j=1,…,s-1 có các mối quan hệ sau: Vj=Vs-j+1 trong đó j biểu diễn số tuần tự của các tầng hoạt động trong hộp Fm/n s tầng.

Nếu số các tầng hoạt động là lẻ thì trong một hộp đối xứng tầng Ls/2+1 là một ánh xạ đối hợp, nghĩa là các CE được tạo ra là các các ánh xạ đối hợp. Nếu hộp Fm/n có cấu trúc đối xứng bao gồm các phần tử F2/1 không là ánh xạ đối hợp thì nó cũng bao gồm ít nhất một phần tử F2/1-1. Nếu trong các hộp Fm/n chúng ta có số tầng hoạt động lẻ thì nó bao gồm ít nhất ba biến đổi khác nhau của các CE: F2/1 và F2/1-1 và các ánh xạ đối hợp được điều chỉnh cơ sở. Trong ứng dụng của mã hóa Cobra – H64 và DDP – 64 cũng đã sử dụng hộp P32/96 là cấu trúc đối xứng. Việc thay thế trong các hộp này tất cả các phần tử chuyển mạch bởi các ánh xạ đối hợp điều chỉnh được R2/1, Q2/1, Z2/1 hoặc U2/1 cùng loại, chúng ta có các kiểu khác nhau của các

hộp F32/96 chuẩn đối xứng của bậc thứ hai. Trong trường hợp tổng quát, sử dụng các hộp F2/1 và F2/1-1 chúng ta có các hộp F32/96 đối xứng với cấu trúc mạng được chỉ ra trong hình 2.9.

Hình 2.9. Cấu trúc mạng liên kết của hộp F8/12(a), F-1

8/12(b), F32/96(c), và F-1 32/96(d)

Ta có các hộp F32/96 và F64/192 có thể được biểu diễn như:

Tại mỗi bước của cấu trúc đệ quy thuộc dạng thứ ba, chúng ta có bậc cực đại (h=n) hộp Fm/n có cấu trúc mạng đối xứng.

Chúng ta xem xét thiết kế tiếp theo. Đối với tất cả các giá trị n=2z

và h=n/2, có thể xây dựng các hộp đối xứng F2n/4m sử dụng cấu trúc mạng được tổng quát hoá như sau: (hình 2.10)

Hình 2.10 Cấu trúc của hộp đối xứng F2n/4m(a), P16/32(b), F64/256(c)

Trong đó Fn/m|| Fn/m biểu diễn sự kết hợp của hai hộp Fn/m trong một tầng đơn. Các hộp Fn/m và Fn/m-1 bậc nhất và ánh xạ đối hợp hoán vị I3 được mô tả như sau:

Trong đó i=1,2, …,n/4 và j=1,2, ….., n/4. Ví dụ trong trường hợp n=32 ta có:

Trong đó i=1,2 ,…..,8 và j=1,2,….,8. Vì hoán vị I’

3 nằm ngoài tập các hoán vị được cố định tương ứng với các máy xây dựng đệ quy thứ nhất,

thứ hai, thứ ba. Cấu trúc mạng F2n/4m được xem xét khác nhau từ các cấu trúc mạng nhận được từ các cấu trúc chỉ định.

Thông thường, cho h=n/4,n/16, n/64 …(trong trường hợp này chúng ta có số chẵn các tầng hoạt động trong cấu trúc hồi quy của mạng), có thể để xây dựng các hộp Fn/m có cấu trúc mạng đối xứng gương và thoả mãn điều kiện s=log2nh (đây là số tầng nhỏ nhất trong một số mạng với kích thước của đầu vào n và bậc h). Một số hộp đối xứng như trên được biểu diễn trong bảng 2.7 trong đó chúng ta có thể thấy các dòng đường chéo như sau:

Bảng 2.7. Hộp CP với cấu trúc đối xứng

a. P2/1 P4/6 P8/20P16/56P64/352P128/832…. (dòng này tương ứng với các hộp bậc cực đại, nó được xây dựng sử dụng cấu trúc đệ quy dạng ba, tại bước đầu tiên, bậc cực đại hộp P2/1 được sử dụng).

b. P4/4 P8/16 P16/48 P32/128… (dòng này tương ứng với giá trị bậc h=n/4, nó được xây dựng sử dụng cấu trúc đệ quy dạng ba, tại bước đầu tiên, hộp P4/4 được sử dụng)

c. P16/32 P32/96 P64/256 P128/768… (dòng này tương ứng với giá trị bậc h=n/16, nó được xây dựng sử dụng cấu trúc đệ quy dạng ba, tại bước đầu tiên, hộp P16/32 được sử dụng, như trong hình 2.10b)

d. P64/192 P128/512… (dòng này tương ứng với giá trị bậc h=n/64, nó được xây dựng sử dụng cấu trúc đệ quy dạng ba, tại bước đầu tiên, hộp P64/192 được sử dụng)

Hai hàng đầu tiên được đưa vào các cấu trúc mạng tương ứng với cấu trúc đệ quy chuẩn, nghĩa là từ các cấu trúc kiểu thứ nhất, thứ hai, thứ ba. Hai hàng cuối được đưa vào xây dựng các cấu trúc khác bởi tại bước đầu tiên của việc xây dựng, hộp ban đầu có cấu trúc mạng khác với chuẩn của chúng. Thông thường các giá trị h và n cho trước, có thể có các cấu trúc mạng đối xứng khác nhau cung cấp số tầng hoạt động tối thiểu. Các cấu trúc mạng đối xứng của các hộp CP được giới thiệu trong bảng 2.7 có thể được sử dụng để thiết kế các kiểu khác nhau của các hộp đối xứng Fn/m.

Bên cạnh các cấu trúc mạng đã được giới thiệu trong bảng 7, cũng có một số cấu trúc đối xứng khác cung cấp số tầng hoạt động nhỏ nhất đối với số n cho trước. Ví dụ hộp bậc bốn F64/256 (Hình 2.10) với cấu trúc mạng đối xứng có thể được xây dựng cũng sử dụng cấu trúc sau đây:

(2.15)

Trong đó ánh xạ đối hợp hoán vị I5 được mô tả như sau: I5:(1)(2,17)(3,33)(4,49)(5)(6,21)(7,37)(8,53) (9)(0,25)(11,41)(12,57)(13)(14,29)(15,45) (16,61)(18)(19,34)(20,50)(22)(23,38)(24,54) (26)(27,42)(28,58)(30)(31,46)(32,62)(35)

(36,51)(39)(40,55)(43)(44,59)(47)(48,63)(52)(56)(60)(64)

Hoán vị I5 có thể được hiểu như sự ghép của bốn ánh xạ đối hợp hoán vị I4 được sử dụng để kết nối các tầng thấp hơn và cao hơn của các hộp P4/4 trong hộp P16/32 bậc nhất (hình 2.10b). Thật vậy, hoán vị I4 có thể được mô tả như

I’

Với bất kỳ z∈{1, 2, 3, 4} hoán vị I’

4 liên kết bốn hộp B1 z, B2 z, B3 z, B4 z với bốn hộp B’1 z, B’2 z, B’3 z, B’4

z. Ví dụ trong trường hợp z=1 chúng ta có a=1, b=2, c=3, d=4, e=17, f=18, g=19, h=20, i=33, j=34, k=35, l=36, m=49, n=50, o=51, p=52.

Hai tầng hoạt động thấp hơn của hộp F16/32 thứ i tạo một tầng Bi 1|| Bi

2|| Bi 3|| Bi

4 của 4 hộp F4/4 và 2 tầng hoạt động cao hơn của hộp F-1

16/32 thứ j

tạo một tầng B’j 1|| B’j

2|| B’j 3|| B’j

4 của bốn hộp F4/4. Đối với mỗi giá trị z∈{1, 2, 3, 4} các hộp Bi

z với i=1,2,3,4 được liên kết với các hộp B’j

z phù hợp với luật “đầu ra thứ j của hộp Bi

z được kết nối với đầu vào thứ j của hộp B’j z, j=1,2,3,4 ”. Vì vậy mỗi hộp F16/32 có bốn liên kết với mỗi hộp F16/32-1 cũng vậy.

Dễ dàng để chứng minh rằng hộp đối xứng F64/256 có bậc bốn. Thật vậy, ta hãy xem xét hộp CP P64/256 có cùng cấu trúc mạng như hộp F64/256 đã được mô tả. Bốn bit đầu vào bất kỳ của hộp P16/32 thứ i có thể được nạp vào đầu vào của bốn hộp Bi

1|| Bi 2|| Bi

3|| Bi

4 (trong P64/256, hộp B biểu diễn hộp P4/4); vì vậy riêng từng cặp bốn bit này có thể được đưa tới đầu vào bất kỳ hộp P- 1

16/32 trong tầng P-1

16/32|| P-1

16/32 độc lập với các bit khác. Nếu một số bit này được nạp vàp cùng một hộp P-1

16/32, khi đó tất cả chúng sẽ được nạp vào các hộp B’ khác nhau. Ví dụ, bốn bit có thể nạp vào cùng một hộp P-1

16/32. Vì chúng được nạp vào các hộp B’ khác nhau, chúng có thể được di chuyển tới bốn số đầu ra bất kỳ của hộp P-1

16/32.

2.3.4 Các thuộc tính của CSPN trên cơ sở các phần tử F2/1

Chúng ta ghi nhớ rằng các hộp Fn/m là mật mã nguyên thủy phi tuyến duy nhất nếu vectơ điều khiển V phụ thuộc vào khối dữ liệu con. Nói cách khác, các hộp Fn/m được sử dụng để thực hiện DDO. Trong các sơ đồ mã hóa lặp lại khác nhau, khối dữ liệu con được chia vào trong hai khối nhỏ với cùng chiều dài n: một khối điều khiển (L) và một khối được thay đổi (X). Vì vậy, một khối nhỏ dữ liệu được sử dụng để định dạng vectơ điều

khiển V, trong đó một khối khác sẽ biến đổi với hộp DDO. Thông thường các khối dữ liệu con điều khiển, được nạp vào đầu vào của một hộp mở rộng E, được thực hiện trong phần cứng như dãy đơn. Đầu ra của hộp E được sử dụng như vectơ V. Độ dài bit của vectơ điều khiển là m=sn/2 cho các hộp Fn/m và Pn/m (s biểu diễn số tầng hoạt động). Điều này có nghĩa là mỗi bit của khối dữ liệu con điều khiển xác định z=s/2 bit của vectơ điều khiển V của hộp Fn/m tương ứng. Trong trường hợp của các hộp F32/96, F64/192, P32/96, F64/192, chúng ta có z=3. Trong khi thiết kế các hộp E để cung cấp mỗi bit của khối con dữ liệu điều khiển tới đầu ra của hộp DDO, chúng ta có thể sử dụng tiêu chuẩn sau:

Tiêu chuẩn 2.1 Cho Pn/m là một DDP s tầng phép toán biến đổi một khối dữ liệu đầu vào X dưới sự kiểm soát của khối dữ liệu điều khiển con L. Khi đó với tất cả các giá trị của khối dữ liệu điều khiển con L và ∀i∈{1,2,...,n}

, thì bít đầu vào xi sẽ là hoán vị phụ thuộc s bit khác nhau của L.

Tiêu chuẩn 2.2 Cho một hộp DDP chúa s tầng hoạt động và s≥2là một số chẵn. Khi đó mỗi một bít của vector điều khiển L sẽ điều khiển s/2 các phần tử chuyển đổi khác nhau.

Trong trường hợp của các hộp F32/96, F64/192, P32/96, F64/192 những tiêu chuẩn này có thể được giải thích như sau:

Tiêu chuẩn 2.3: Cho X=(x1,x2,…,xn) là vectơ đầu vào của các hộp

F32/96(V), F64/192(V). Khi đó đối với tất cả L và i, bit xi sẽ đưa qua sáu CE điều khiển được với sáu bit khác nhau của L=(l1, …, ln).

Tiêu chuẩn 2.4: Đối với tất cả i, bit li được xác định chính xác ba bit của V=(l1, …, lm).

Tiêu chuẩn 2.5: đối với tất cả L và i các bit xi đưa qua 6 CE được điều khiển với 12 bit khác nhau của L=(l1, …, ln).

Tiêu chuẩn 2.6: Đối với tất cả i, bit li xác định chính xác 6 bit của V=(l1, …, lm).

Ví dụ, trong trường hợp của các hộp Fn/m 6 tầng, hộp mở rộng E có thể được định nghĩa như sau:

Trong đó V=(V1,V2,…,V6); L=(L1,Lh)∈{0,1}n; Ll=(l1, …, ln/2); Lh=(ln/2+1, …, ln); và Y=X<<<k biểu diễn sự quay trái của từ X n bit bằng k bit, trong đó chúng ta có yi=xi+k. với 1≤i≤n−k và yi=xi+k-n với n-k+1≤i≤n. Một đặc điểm của hộp mở rộng là sự phân bố đối xứng của các bit điều khiển tương ứng với ½ của khối con dữ liệu L.

Nếu tiêu chuẩn 2.1 và 2.2 được thoả mãn thì mỗi bit của khối con dữ liệu điều chỉnh tác động vào s bit đầu vào của hộp Fn/m. Vì vậy, các thay đổi nhỏ trong khối con L sẽ là nguyên nhân tạo ra hiệu ứng thác lũ . Đối với các biến thiên khác nhau của các CE, sẽ ảnh hưởng tới hiệu ứng thác lũ của các thay đổi tại điều khiển đầu vào là lớn hơn đáng kể sự ảnh hưởng của các thay đổi tại dầu vào của hộp DDO. Các hộp CP biểu diễn một số trường hợp đặc biệt: các thay đổi tại đầu vào của các hộp Pn/m không phải là nguyên nhân gây ra hiệu ứng thác lũ. Chỉ các thay đổi tại đầu vào điều khiển của các hộp Pn/m góp phần tạo ra hiệu ứng thác lũ.

 Các thuộc tính thác lũ và phi tuyến của các hộp DDP tương ứng

Mỗi đầu ra của các hộp Fn/m bậc nhất được mô tả bởi một BF theo

12 − 2 − = n

µ biến với NL như sau:

Giá trị NL cực đại của BF cân bằng theo µ biến được giới hạn bởi ước

Khi giá trị n tăng, giá trị NL(yi) xấp xỉ tới NL lớn nhất có thể của BF cân bằng trong cùng số biến:

Điều này chỉ ra rằng các hộp DDO của bậc nhất có NL đủ lớn.

Thác lũ của các hộp Fn/m phụ thuộc đáng kể vào kiểu của các CE được sử dụng như các khối xây dựng cơ sở. Hình 2.11 và 2.12 biểu diễn sự

so sánh của phân bố xác xuất p(t)=Pr( X V

t Y

t /∆ ,∆0

∆ ) cho các hộp R32/96, Q32/96,

P32/96, U32/96, Z32/96, (Các hộp F64/192 có phân phối như các hộp F32/96). Các kết quả này tương ứng với thử nghiệm với các giá trị ngẫu nhiên được phân phối chuẩn X và V. Một điều có thể thấy là sự thay đổi của một bit đầu vào ban đầu dẫn tới sự thay đối tất định của một bit đầu ra đối với P32/96, trong khi đối với các hộp khác nhiều bit được đảo với xác xuất lớn. Các hộp U32/96, Q32/96, có cùng phân phối của p(t).

Đáng chú ý là các hộp chuẩn U32/96, Z32/96 xây dựng từ các CE đảo ngược U2/1 và Z’

2/1, có các phân phối đáng kể khác có các phần tử có DC

toàn vẹn Pr( X Y V

t →∆1 /∆0

∆ )=1/2 và Pr( X Y V

t →∆2/∆0

∆ )=1/2.

Trong trường hợp U32/96, chúng ta có một phân phối “trơn” p(t), trong khi đó trường hợp Z32/96 phân phối này bị “gián đoạn”. Sự chênh lệch có thể dễ dàng được giải thích, việc xem xét cặp thay thế 2x2 các thay đổi được thực hiện bởi các phần tử U2/1 và Z’

2/1. Thật vậy, chúng ta có thể thấy rằng Z’

2/1 và U2/1 CE có các DC

Các đặc trưng vi sa