V. Phƣơng pháp nghiên cứu
2. Thực nghiệm sƣ phạm
3.2. Hình thức và kế hoạch tiến hành thực nghiệm
3.2.1 Hình thức:
Ta tiến hành dạy ngoại khoá cho hai lớp 10 chuyên tin và 10 chuyên toán. Với số tiết học bằng nhau, cùng một hệ thống bài tập. Trong đó lớp 10 chuyên tin học lý thuyết đồ thị và vận dụng nó vào giải bài tập còn lớp 10 chuyên toán vận dụng lý thuyết đại số tổ hợp vào giải bài tập. Kiểm tra trên đối tượng lớp thực nghiệm là lớp chuyên Tin 10 và lớp đối chứng là toán 10. Cả 2 lớp chuyên này đều có điểm trung bình môn toán tương đương nhau về các tỷ lệ điểm giỏi, khá, trung bình. Về kiến thức môn toán cũng được truyền thụ chung một chương trình.
- Tiến hành kiểm tra trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng với nội dung thực nghiệm như sau:
+ Ra đề bài tập kiểm tra với nội dung trong chương trình chuyên 10 trong đó vừa có thể áp dụng lý thuyết đồ thị để giải và cũng có thể vận dụng lý thuyết tổ hợp để giải.
+ Đối tượng làm bài học sinh lớp 10 chuyên Tin và học sinh lớp 10 chuyên toán.
- Các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đều kiểm tra cùng một đề, các bài kiểm tra được chấm cùng một biểu điểm.
3.2.2. Kế hoạch tiến hành thực nghiệm
- Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm: Soạn đề bài tập kiểm tra, làm đáp án và biểu điểm chi tiết, phiếu học tập.
- Tổ chức kiểm tra thực nghiệm và kiểm tra đối chứng. - Đánh giá sơ bộ.
- Điều chỉnh, bổ sung (nếu có), đánh giá tổng hợp kết quả thực nghiệm. - Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm:
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.3.1. Về nội dung tài liệu thực nghiệm
Hệ thống các phương pháp được đề cập đến trong tài liệu về việc vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán đã giúp cho học sinh có thêm một phương pháp mới vận dụng giải toán.
Nội dung của tài liệu thực nghiệm có những ý nghĩa nhất định. Thông qua các bài kiểm tra đánh giá chúng tôi nhận thấy:
Việc sử dụng các kiến thức về lý thuyết đồ thị vào giải toán đã giúp học sinh giải quyết được những lớp bài toán đặc biệt là các bài toán khó thi học sinh giỏi. Giải bài toán bằng phương pháp này dễ hiểu và cũng dễ dàng nhìn nhận được hướng giải quyết.
3.3.2. Về phƣơng pháp tiến hành kiểm tra
- Với mục tiêu là cung cấp thêm cho học sinh ngày càng nhiều phương pháp để giải quyết các bài toán, giúp học sinh phát triển tư duy.
- Giúp học sinh thấy được mối quan hệ qua lại giữa các môn học, thấy được sự hỗ trợ của môn này đối với môn khác để có được ý thức học đều tất cả các môn học.
- Nội dung các phiếu học tập do các em thực hiện cho các kết quả khả quan và các em sẽ tự so sánh được kết quả học tập của hai lớp, việc phân tích các kết quả này giúp các em hiểu hơn về ý nghĩa của các nội dung kiến thức.
3.3.3. Về kết quả kiểm tra thực nghiệm
Sau đợt thực nghiệm, thông qua việc cho học sinh làm bài kiểm tra trong 45 phút đối với các lớp 10 chuyên Tin và lớp 10 chuyên toán:
- Về mặt định tính:
Thái độ làm bài của học sinh nghiêm túc, ý thức tốt, tập trung cao. a) Đề kiểm tra 45 phút:
Đề bài:
Mức độ Câu
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Tổng
TNKQ TL TNKQ TL TNKQ TL 1 1đ 2đ 3đ 2 1đ 2đ 3đ 3 1đ 1đ 2đ 4đ Tổng 1đ 3đ 6đ 10đ Đề bài: Câu 1:
Chứng minh rằng trong 9 số nguyên dương tuỳ ý mà 3 số bất kỳ đều có 2 số nguyên tố cùng nhau luôn luôn tìm được 4 số nguyên tố cùng nhau (từng cặp nguyên tố cùng nhau).
Câu 2:
Để mừng người con đoạt giải trong kỳ thi Toán Quốc tế lần thứ 48, một gia đình dự định mời bạn đến dự tiệc. Trong số khách mời:
A, Người vợ muốn có ít nhất 3 người từng đôi một quen nhau.
Người chồng lại muốn có ít nhất 4 người từng đôi một chưa quen nhau.
Hỏi họ phải mời ít nhất bao nhiêu bạn để ít nhất mong muốn của chồng hoặc của vợ được thoả mãn?
Câu 3:
Cho tập hợp n>3 điểm trong mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và một số tự nhiên k < n.
1. Nếu k≤n/2 thì từ mỗi điểm của tập hợp đã cho ta có thể vẽ các đoạn thẳng nối với ít nhất k điểm khác sao cho trong các đoạn thẳng đó không có ba cạnh của một tam giác.
2. Nếu k > n/2 và mỗi điểm của tập hợp đã cho được nối bằng những đoạn thẳng với k điểm khác thì trong các đoạn thẳng đó bao giờ cũng có ba cạnh của một tam giác.
Đáp án:
Câu 1 + câu 2 (6 điểm):
Áp dụng tính chất trong lý thuyết đồ thị: “ Đồ thị gồm 9 đỉnh với 2 màu cạnh xanh, đỏ luôn luôn hoặc có tam giác xanh hoặc tứ giác mà các cạnh và các đường chéo đều màu đỏ”.
Nếu đồ thị đầy đủ chỉ gồm 8 đỉnh thì không còn đúng nữa. Câu 3 (4 điểm):
Chứng minh bằng quy nạp theo n.
b) Dụng ý sư phạm: Bài kiểm tra được thực hiện sau khi học sinh hai lớp 10 chuyên toán và tin học xong đợt học ngoại khoá. Cùng một hệ thống bài tập, với số giờ ngoại khoá là như nhau và so sánh khả năng giải lớp bài toán này trên hai lớp đó.
a) Kết quả bài kiểm tra như sau:
Lớp Kết quả kiểm tra (điểm)
Dưới 5 5 6 7 8 9 10
Tin 10 0% 0% 10,1% 24% 24,1% 14,5% 27,3%
d) Đánh giá sơ bộ về khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh lớp 10 chuyên tin.
- Học sinh nắm được nội dung các kiến thức về lý thuyết đồ thị đã học, biết vận dụng nó để giải các bài tập cụ thể, tuy nhiên còn một số học sinh còn mắc sai lầm khi xác định cạnh thông qua việc xác định quan hệ ở một số bài toán phức tạp.
- Biết vận dụng lý thuyết đồ thị vào bài giải của mình, trình bày lời giải rõ ràng . Điều đó thể hiện tính tích cực của tư duy và thể hiện năng lực nắm chắc bài học của các em.
- Tỷ lệ % ở bài kiểm tra đối với 2 lớp tin 10 và toán 10 cho thấy kết quả ở lớp chuyên tin cao hơn nhiều vì có được hệ thống kiến thức lý thuyết đồ thị biết áp dụng nó vào bài toán đã cho, còn đối ví lớp chuyên toán bằng sự thông minh và sử dụng lý thuyết đại số tổ hợp để giải tuy nhiên không đạt được hiệu quả cao.
Như vậy các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng cho thấy học sinh các lớp thực nghiệm có bước tiến rõ rệt trong việc nắm chắc các nội dung đã học, có kỹ năng giải quyết bài toán tốt hơn. Điều đó phản ánh hệ thống phương pháp sư phạm trong khi được sử dụng trong khi giảng dạy nội dung phương pháp vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán có tác động tích cực đến việc phát huy tính tích cực của học sinh, nâng cao một bước hiệu quả dạy học giải toán ở trường phổ thông.
Với lớp thực nghiệm việc áp dụng lý thuyết đồ thị vào giải bài tập toán đã giúp các em lập trình, cài đặt bài tập liên quan đến đồ thị tốt hơn vì đã làm tốt bước chuyển bài tập sang dạng đồ thị.
4. Kết luận chung về thực nghiệm sƣ phạm
Kết quả khả quan bước đầu trong đợt thực nghiệm sư phạm theo định hướng trên đã cho phép chúng tôi đưa ra nhận xét: Chúng ta hoàn toàn có thể
vận dụng được lý thuyết đồ thị vào dạy học giải toán cho lớp chuyên tin ở trường THPT chuyên đem lại những kết quả tích cực hơn bằng việc khai thác triệt để mối quan hệ qua lại giữa toán và tin, phát huy được khả năng tư duy, cung cấp thêm một phương pháp giải toán cho học sinh khá giỏi khi làm toán.
Tin học đóng vai trò không nhỏ giúp học sinh có hướng nhìn rộng hơn trong việc tìm lời giải cho các bài toán. Một cách cụ thể lý thuyết đồ thị đã giúp học sinh giải quyết được một lớp các bài toán.
Trong tin học các lý thuyết đồ thị thường được cài đặt dưới dạng ma trận nên học sinh có cảm giác “rời rạc”. Tuy nhiên thông qua dạy toán “kiểu” lý thuyết đồ thị giúp học sinh có nhìn tổng quan, liên hoàn của nó.
Những nghiên cứu lý luận và thực nghiệm đã chứng tỏ rằng giả thiết khoa học mà đề tài đã đề ra là chấp nhận được.
MỘT SỐ ĐỀ BÀI TẬP
Bài 1
Có 18 điểm khác nhau trong mặt phẳng, từng đôi một được nối với nhau bởi những đoạn thẳng màu đỏ hoặc màu xanh.
Chứng minh rằng có một tứ giác mà các cạnh và các đường chéo đều cùng màu.
Bài 2
Có 17 nhà bác học, mỗi người trao đổi thư từ với 16 người khác. Trong thư, họ chỉ bàn về ba đề tài, nhưng bất cứ hai nhà bác học nào cũng chỉ bàn với nhau chỉ về một đề tài.
Chứng minh rằng có không ít hơn ba nhà bác học đã bàn với nhau về cùng một đề tài.
(Đề thi toán quốc tế lần thứ VI, 1964)
Bài 3
Cho hình vẽ gồm 16 đoạn thẳng.
Chứng minh rằng không thể vạch một đường cong cắt mỗi đoạn thẳng đó vừa đúng một lần (đầu mút cả đường cong không được nằm trên các đoạn thẳng và đường cong không được đi qua đỉnh của các đoạn thẳng).
(Đề thi học sinh giỏi toán toàn Nga, lần thứ nhất, 1961)
Bài 4
Một cơ quan cần tuyển ba người để lập thành một nhóm có đủ năng lực biên dịch các tài liệu từ 6 thứ tiếng Anh, Pháp, Nga, Đức, Trung Quốc và Bồ Đào Nha sang tiếng Việt. Có 7 người đến dự tuyển, trong đó mỗi người đều
biết 2 và chỉ 2 trong 6 thứ tiếng đó và bất cứ hai người nào cũng cùng biết nhiều nhất một thứ tiếng chung trong 6 thứ tiếng đó. Biết rằng thứ tiếng nào cũng có ít nhất hai người biết.
Hỏi có thể xảy ra trường hợp không thể tuyển chọn được như yêu cầu đã nêu không, tại sao?
(Đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 của Hà Nội năm học 1987 – 1988)
Bài 5
Ở một làng nọ có 10 người dân, mỗi người có 3 người quen. Ngày 1 – 1, một người dân biết một tin lạ và báo cho 3 người quen mình. Ngày 2-1, những người quen này lại báo tin cho tất cả những người quen mình…
Có thể xảy ra trường hợp ngày 5-3 thì còn một số dân làng chưa biết tin tức đó, nhưng đến ngày 1-3 thì nọ người đều đã biết tin.
(Thi học sinh giỏi Matscơva, 1978)
Bài 6
Có 1982 người, trong đó bất kỳ 4 người nào cũng có ít nhất 1 người quen với 3 người kia.
Vậy trong 1982 người đó, có ít nhất là bao nhiêu người từng đôi một quen nhau?
(Thi học sinh giỏi Mỹ, 1982)
Bài 7
a) Trong phòng có 10 người, trong đó bất kỳ 3 người nào cũng có 2 người quen nhau. Chứng minh rằng có 4 người từng đôi một quen nhau.
(Thi học sinh gỏi Anh, 1980)
b) Nếu trong phòng có 9 người thì kết luận trên đây có còn đúng không?
Bài 8
Cho n>2 điểm trên đường tròn, từng cặp điểm được nối bằng một đoạn thẳng. Có thể nào vạch được một cách nhanh chóng tất cả các đoạn thẳng đó sao cho điểm cuối của đoạn thẳng thứ nhất trùng với điểm đầu của đoạn thẳng thứ hai, điểm cuối của đoạn thẳng thứ hai trùng với điểm đầu đoạn thẳng thứ ba…và điểm cuối của đoạn thẳng cuối cùng trùng với điểm đầu của đoạn thẳng đầu tiên.
(Thi học sinh giỏi Balan, 1964 – 1965)
Bài 9
Cho G là một đồ thị liên thông gồm k cạnh.
Chứng minh rằng có thể đánh số các cạnh bằng tất cả các số 1, 2, …, k sao cho tại mỗi đỉnh mà ở đó có ít nhất hai cạnh của đồ thị, ta đều có ước chung lớn nhất của các số nguyên viết trên các cạnh của đỉnh này bằng 1.
(Thi toán quốc tế lần thứ 32, 1991)
Bài 10
Cho n điểm trong không gian trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Tất cả những điểm này được nối nhau từng cặp bằng các đoạn thẳng. Mỗi đoạn thẳng được tô màu xanh hoặc màu đỏ hoặc không tô màu.
Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho với mọi cách tô màu tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu.
(Thi toán quốc tế lần thứ 33, 1992)
Bài 11
Cho 6 điểm trong mặt phẳng sao cho bất kỳ 3 điểm nào cũng là đỉnh của một tam giác có các cạnh có chiều dài khác nhau.
Chứng minh rằng cạnh nhỏ nhất của một trong các tam giác đó đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giác khác.
Bài 12
Cho 6 đường thẳng trong không gian, trong đó không có 3 đường thẳng nào song song, không có 3 đường thẳng nào đồng quy và không có 3 đường thẳng nào cùng nằm trong một mặt phẳng.
Chứng minh rằng từ 6 đường thẳng đó bao giờ cũng lấy ra được 3 đường thẳng từng đôi một chéo nhau.
KẾT LUẬN ĐỀ TÀI
Qua quá trình nghiên cứu đề tài đã nhận được một số kết quả sau: 1. Hệ thống hoá các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị.
2. Chỉ ra dấu hiệu nhận dạng bài tập có thể áp dụng lý thuyết đồ thị để giải.
3. Đưa ra được quy trình để chuyển đổi từ bài toán thông thường sang ngôn ngữ lý thuyết đồ thị.
4. Đưa ra được các phương án vận dụng.
5. Đề xuất một số biện pháp để giúp học sinh hình thành, rèn luyện khả năng vận dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán.
6. Lựa chọn được một hệ thống các ví dụ điển hình cho học sinh giải quyết.
Nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành, giả thuyết khoa học được sáng tỏ Hướng phát triển của đề tài:
Tiếp tục nghiên cứu vận dụng lý luận và kết quả của lý thuyết đồ thị và việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán, tin.