L ời núi đầu
4.3. Điểm bất động của ỏnh xạ Affine Định lớ Markoff – Kakutani
Trong phần này ta phỏt biểu một định lớ điểm bất động cho cỏc ỏnh xạ
affine liờn tục, đú là định lớ Markoff – Kakutani.
Cho E là một khụng gian tụpụ tuyến tớnh, *
E là khụng gian liờn hợp của
E, tức là *
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
rằng E cú đủ nhiều cỏc phiếm hàm tuyến tớnh nếu cỏc phần tử của *
E là tỏch
được cỏc điểm của E, tức là với mọi 0≠ ∈x E cú một *
l∈E sao cho ( )l x ≠0.
Định lớ 4.3.1. Cho E là một khụng gian tụpụ tuyến tớnh (Hausdorff ) cú đủ
nhiều cỏc phiếm hàm tuyến tớnh, C ⊂E là một tập compact, lồi, khỏc rỗng và
:
F C→E là một ỏnh xạ affine liờn tục. Giả thiết rằng với mỗi y∈C y, ≠Fy,
đoạn thẳng [y Fy ch, ] ứa ớt nhất hai điểm của C. Khi đú Fix F( )≠ ∅.
Chứng minh. Cho l là một phần tử của *
E . Trước tiờn, ta giải bất phương trỡnh trong C
(l Fy− y)≤0. (4.8)
Xột hàm liờn tục lC :C →. Do l là hàm liờn tục trờn tập compact C nờn tồn tại y0∈C là cực đại trong C. Nếu Fy0 ≠ y0 thỡ theo điều giả định, tồn tại
0
λ > sao cho điểm λFy0 + −(1 λ)y0 nằm trong C. Khi đú [ 0 (1 ) 0] ( 0)
l λFy + −λ y ≤l y ,
và vỡ vậy λl Fy( 0 − y0)≤0. Vỡ λ >0 nờn ta cú l Fy( 0 − y0)≤0, tức là y0 là nghiệm của bất phương trỡnh (4.8).
Bõy giờ ta xột trờn C họ Φ ={ }ϕ của cỏc hàm lồi liờn tục ϕ:C→
xỏc định bởi ϕ( )y =l Fy( −y y), ∈C, trong đú * .
l∈E Theo Định lý 4.2.2, tồn tại y0∈C sao cho l Fy( 0 −y0)≤0 với mọi *
.
l∈E Vỡ E cú đủ nhiều cỏc hàm tuyến tớnh nờn với mọi Fy0 −y0 ≠0 thỡ cú một *
l∈E sao cho l Fy( 0 −y0)≠0. Giả sử l Fy( 0 −y0)<0 ta cú −l Fy( 0 −y0)>0, điều này mõu thuẫn với
0 0
( ) 0
l Fy y
− − ≤ vỡ − ∈l E*. Do vậy, từ l Fy( 0 − y0)≤0 với mọi *
l∈E sẽ tồn tại y0∈C thoả món l Fy( 0 − y0)=0, tức là Fy0 = y0. Vậy Fix F( )≠ ∅. □
Định lý 4.3.2 (Markoff - Kakutani). Cho C là một tập compact, lồi, khỏc
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
phiếm hàm tuyến tớnh và F là một họ giao hoỏn cỏc ỏnh xạ affine liờn tục từ
C vào C. Khi đú F cú một điểm bất động chung.
Chứng minh. Theo Định lý 4.3.1, với mỗi F∈F ta cú Fix F( )≠ ∅. Hơn nữa, Fix F( ) là tập compact, đúng trong tập compact C và Fix F( ) là tập lồi (vỡ F là ỏnh xạ affine).
Ta phải chứng minh rằng {Fix F( ) :F∈F }≠ ∅. Vỡ mỗi tập Fix F( )
là compact, ta chỉ cần chỉ ra rằng mỗi giao hữu hạn
1 1 ( , , ) ( ) n n i i Fix F F Fix F = ≡ ≠ ∅ .
Ta chứng minh bằng phương phỏp quy nạp: Với n=1 định lý đỳng vỡ
( )
Fix F ≠ ∅ với mỗi F∈F . Giả thiết Fix F( ,1 ,Fi)≠ ∅ với i<n, ta phải chứng minh
1
( , , n)
Fix F F ≠ ∅.
Do họ F giao hoỏn nờn F F xi[ n( )]=F F xn[ i( )]. Cho x∈Fix F( ,1 ,Fn−1) ta cú
( ) i F x =x vỡ thế [ ( )] [ ( )] ( ) i n n i n F F x =F F x =F x
với mỗi i<n. Như vậy, F xn( ) là điểm bất động của Fi với mỗi i<n hay
1 1
( ) ( , , )
n n
F x ∈Fix F F− ,
Vỡ Fix F( ,1,Fn−1) là tập compact, lồi, khỏc rỗng nờn theo Định lớ 2.3.3.1 ta được
1
( , , n)
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
KẾT LUẬN
Luận văn “Một số định lớ điểm bất động” trỡnh bày một cỏch chi tiết hơn một số định lớ điểm bất động trong tài liệu A.Granas, J.Dugundji. Fixed
point Theory. Springer – Verlag. NewYork, 2003. Cụ thể luận văn đó tập hợp được cỏc kết quả sau:
1. Hệ thống cỏc khỏi niệm: Tớnh compact và tớnh đầy đủ, tớnh bị chặn và
tớnh liờn tục của hàm số, tập sắp thứ tự, điểm bất động, khụng gian
điểm bất động.
2. Nghiờn cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trờn tớnh đầy đủ của khụng
gian như Nguyờn lớ ỏnh xạ co Banach, cỏc mở rộng và ứng dụng của nú.
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
3. Trỡnh bày sự tồn tại điểm bất động trong khụng gian cú thứ tự như
Định lớ Knaster - Tarski, Định lớ Tarski – Kantorovitch, Định lớ Bishop – Phelps, Định lớ điểm bất động Caristi, Định lớ Ekeland, Định lớ Nadler, Định lớ Danes.
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Văn Khuờ, Bựi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thỏi (2001), Cơ sở lớ thuyết hàm và giải tớch hàm - tập 1, Nhà xuất bản Giỏo dục, Hà Nội.
2. Nguyễn Văn Khuờ, Lờ Mậu Hải (2001), Cơ sở lớ thuyết hàm và giải tớch
hàm - tập 2, Nhà xuất bản Giỏo dục, Hà Nội.
3. Đỗ Hồng Tõn, Nguyễn Thị Thanh Hà (2003), Cỏc định lớ điểm bất động, Nhà xuất bảnĐại học Sư phạm, Hà Nội.
4. A.Granas, J.Dugundji (2003), Fixed point Theory, Springer – Verlag,
NewYork.
5. E.Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its applications I, Springer.