Y ế
Ỉ ` x0
* Mọi phđn tử của S đắu chắnh quy. Thật vậy, với mọi s '[ cậ:
Y ề
[xa=0 a=0
"3 + * 0 ũ 0 Ẽ ` Ộ .-.
Giả sử b =0>.4 ya+zb=0>4b=0c , vậy s lă chắnh quy trâi. C
Hố T ặc=0 c=0e P,
lax=0 a=0
"s3 + d 0 + 0 Ẽ ` La ..
GIả sử b =0 4bxz+cy=0=4b=0ec Ấ vậy s lă chắnh quy phải.
C
: : Lcz=0 cC=Ọc ?
Ỉ \ , x0
*- Mọi phđn tử chắnh quy của ệ đắu thuộc S. Thật vậy, lđy r -| } ệ lă chắnh
Y ề x p 0 \ Ì- tức cđn chứng minh ?ụ } x vă z0 quy, ta chứng minh | ặ
^ Z 0 0 + 0 0 0 Ở Ẽ ^ . Nắu plx ta có: =|Ở =0 (dopỳlxsuy ra x=0), mđu thuđn với r Nắu plx ta có: =|Ở =0 (dopỳlxsuy ra x=0), mđu thuđn với r
I1 0j\y z) \x 0
lă chắnh quy.
0\(0 0) (0 0 -
Nếu ;=0e ,tacó:|Ợ , y zj\L I = 0 0 =0, mđu thuẫn với z lă chắnh quy.
Vậy S lă tập con đóng nhđn chứa tất cả câc phần tử chắnh quy của #, vă câc phần tử ẤỈ Vă x khả nghịch trong Ấ. năy khả nghịch trong Ó, thật vậy: do pƑx nắn 1 c
* 1 Ở 0 x -1 ể1 Ởl ỞZ VX Z x0
Nghịch đảo của r -| trong Ở lă
Y z
Do đó ặ lă một bậc trong Ó, @=@,(R)= Q,, (R). nói riắng # lă vănh Ore.
Ta cũng có thể kiểm tra & lă vănh Ore một câch trực tiếp băng câch kiểm tra Ế lă khả
hoân bắn trâi vă khả hoân bắn phải.
x0 0
Với Ộ| }= vă Ấ-[ }=&.sa phương trình ma trận sau:
y # U W
l slh | R lh 1
= => VX= ỮH + ặH y ẻwj\0 z y ẻzj\mn w
phương trình năy có nghiệm duy nhất 0< Ấ vì z khả nghịch trong Ấ, do đó ta có:
a5 ểsR #7 hay Ế lă khả hoân bắn phải. Tương tự như trắn ta cũng chứng minh được Ế lă khả hoân bắn trâi.
Ta có ba lưu ý sau về tắnh chất của phĩp toân cộng trắn 8: (1) Với se, ann,(s)=U>sesS.
` 0
) p 0ì... I1 0 Ấ
(3) Phđn tử /= Vă đ= , ta có: aẾ 1ứ = Ạ7. 0 1 0 0
* Với (1), đặt s -[) 0 ặẾ5.Nắu plx, : 0 0 s=0.Nắu p]Ịx ta phải có z=0, ,
Y ê lă
0 0
trong trường hợp năy | v) =0.
0ỷ Ấ60 ` : :
* Với (2), ta có { HHỢ | bằng không nếu vă chỉ nếu Ấ=0e vă
VM W M
=w=0e _
r. . ? ` Ị 0 * 0 P 0 H 0 r * 0 F
* Với (3), giả sử phương trình: = với csậ có 0 0)j|y z 0 1j\y w Y.z
nghiệm, suy ra x= (mđu thuẫn).
Vắ dụ 4:
k` k|x] Cho R=
b k|[x| } trong đó k lă một trường. Tập con nhđn S được xâc định như sau: = l Ta) cek, Ặ,sụ ck|x], c.g 0
0 g(x)
Ế lă tập hợp tất cả câc phần tử chắnh quy của R.
Mọi phđn tử chắnh quy trong 5 đều khả nghịch trong Ó. k k(x)
Suy ra y # lă một thứ tự phải tron Tp gQ l kú) = _ O(R)=R$SỢ'=0.
Mặt khâc ử',(R) không tôn tại vì $ không khả hoân bắn trâi, thật vậy:
0 1 I 0
Cho z= ceR vă s= cẾậ, ta có:
c Ặ(Ể)})\/0 I\ (0 e cẠ ẶỂ)\(I 0) Íc xỂ)
0 g@)|\0 0} (0 0J (0 gỦ)|0 xj (0 xgỦ)7Ì
do đó Sa Rs = ử2.
Suy ra R lă vănh Ore phải nhưng không phải lă vănh Ore trâi. Mặc dù câc phần tử
chắnh quy trong R đều khả nghịch trong Óử, nhưng %z/\aRs=@ nói lắn ằng
0 1 hƯ .Ê . r... ` ` Ẽ . ự
qs ` -[ ọ ] O không thắ việt dưới dạng /z với re vă ắ lă phđn tử chắnh quy trong ệ. Do đó Q không thể lă vănh thương trâi của ệ tương ứng với Ế.
KẾT LUẬN
Trong luận văn năy tôi đê trình băy hai phương phâp để xđy dựng vănh câc
thương của câc vănh không giao hoân: phương phâp truyền thống gọi lă địa phương hóa theo tđm tương tr như câch xđy dựng vănh câc thương của câc vănh giao hoân;
phương phâp của Ore cùng với định lý điều kiện cần vă đủ để tổn tại vănh câc thương
của câc vănh không giao hoân, phương phâp năy theo nột nghĩa năo đó tốt hơn vă khắc phục được một sô hạn chế của phương phâp xđy dựng vănh câc thương của câc vănh không giao hoân theo phương phâp truy ắn thống.
Qua luận văn năy, tôi đê học tập được khả năng tự học hỏi vă lăm quen dần với khả năng tự nghiắn cứu. Trong quâ trình lăm luận văn, vẫn còn nhiều vẫn đề liắn
quan đến đề tăi mă tôi thực sự chưa nghiắn cứu một câch sđu sắc vă đầy đủ. Hy vọng
rằng trong câc bậc học cao hơn sau năy tôi có đủ điều kiện vă khả năng để tiếp tục nghiắn cứu sđu sắc hơn về câc phương phâp xđy dựng vănh câc thương của câc vănh không giao hoân, đặc biệt lă phương phâp của Ore vă Goldie, với câc ứng dụng của
lý thuyết năy trong lĩnh vực nghiắn cứu câc tắnh chất của vănh không giao hoân.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chđn thănh đến Trường ĐHSP tp.HCM,
phòng KHCN&SĐH, câc Thầy, Cô đê trực tiếp giảng dạy tôi trong suốt khóa học.
Đặc biệt, tôi xin được biết ơn sđu sắc PGS. TS Bùi Tường Trắ, người đê trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn vă tận tình giúp đỡ tôi trong suốt khóa học năy. giảng dạy, hướng dẫn vă tận tình giúp đỡ tôi trong suốt khóa học năy.
TĂI LIỆU THAM KHẢO
1. Atiyah, M. F., Macdonald, I. G., Infroducfion fo Commufative Algebra, UnIversity
of Oxford, Cambridge, Massachusetts.
2. Jacobson, N. (1964), Sfrwucfure oẶ rings, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 37.
3. Jacobson, N. (1975), P¡-Algebras, Springer-Verlaeg, Berlin-Heidelberg, New York. 4. Herstein, I. N. (1968), Noncomunicafive rings, The math. Assoc. Amer. 4. Herstein, I. N. (1968), Noncomunicafive rings, The math. Assoc. Amer.
5. Lam, T. Y., Lecfures on Modules and Rings, SprInger. 6. Lam, T. Y., EZxercises im Modules and Rings, Springer.
7. Lam, T. Y.,A First Course in Nonconumutatfive ứings, Springer-Verlag.
ậ. McConnell, J. C., Robson, J C., with the cooperatlon of Small, LW, Noncommutative Noetherian Rimgs, Amer. Math. Soc. Providence, Rhode Island.
9. Stenstrỏm, Bo (1975), Rimgs of Quofenrs, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York. New York.