Bài 12 Chuỗi số và tiêu chuẩn hội tụ (tt)

V í dụ: Khảo sát sự hội tục ủa chuỗi số

Bài 12 Chuỗi số và tiêu chuẩn hội tụ (tt)

II.CHU_{ỖI SỐ DÝÕNG}

Chu_{ỗi số ðýợc gọi là chuỗi số dýõng nếu tất cả các số hạng của chuỗi số}

ðều là số dýõng. Trýờng hợp tất cả các số hạng ðều là số không âm thì chuỗi sốðýợc g_{ọi là chuỗi số không âm. Lýu ý rằng khi xét} t_{ính hội tụ hay phân kỳ cũng nhý tính} t_{ổng của chuỗi số không âm ta có thể loại bỏ ra các số hạng bằng 0, nên chuỗi số} kh_{ông âm cũng thýờng ðýợc gọi là chuỗi số dýõng.}

Nh_{ận xét rằng dãy các tổng riêng } Sn_ c_{ủa chuỗi số dýõng là dãy tãng nên chuỗi} s_ốh_{ội tụ khi và chỉ khi dãy } Sn_ b_{ị chặn trên.}

1.C_{ác tiêu chuẩn so sánh Ðịnh lý:} Gi_{ả sử hai chuỗi số dýõng} v_à th_{ỏa ðiều kiện un } vn v_{ới n khá lớn} (ngh_{ĩa là ứng với mọ}i n l_{ớn hõn một số n}0 n_{ào ðó). Khi ðó} N_ếu h_{ội tụ thì} h_{ội tụ.} N_ếu ph_{ân kỳ thì} ph_{ân kỳ.} Nh_{ận xét:}

Hai chu_{ỗi số dýõng} v_à h_{ội tụ khi và chỉ khi chuỗi} h_ội t_ụ.

V_{í dụ:} Kh_{ảo sát sự hội tụ của chuỗi số}

V_{ì chuỗi hình học có số hạng tổng quát} h_{ội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ðýợc}

ph_{át biểu trong ðịnh lý trên chuỗi số} h_{ội tụ.}

H_{ệ quả:}

N_{ếu tồn tại giới hạn} v_{ới L là một số thực dýõng thì các chuỗi số}

d_ýõng v_à c_{ùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.}

N_ếu th_{ì từ sự hội tụ của chuỗ}i s_{ẽ kéo theo sự hội tụ của}

chu_ỗi , v_{à từ sự phân kỳ của chuỗi} s_{ẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi}

.

N_ếu th_{ì từ sự hội tụ của chuỗi} s_{ẽ kéo theo sự hội tụ của}

chu_ỗi , v_{à từ sự phân kỳ của chuỗi} s_{ẽ kéo theo sự phân kỳ của chuỗi}

.

Trong tr_{ýờng hợp} ta n_{ói un týõng ðýõng với vn (khi n } ) v_{à viết}

l_{à un ~ vn . Vậy: nếu un ~ vn thì các chuỗi số dýõng} v_à c_{ùng hội tụ} ho_{ặc cùng phân kỳ.}

Ðể áp dụng các tiêu chuẩn so sánh ta phải ghi nhớ tính chất hội tụ hay phân kỳ của m_{ột số chuỗi thýờng gặp, chẳng hạn chuỗi hình học. Ởðây ta công nhận kết quả sau}

ðây về sự hội tụ của chuỗi (_ l_{à tham số):}

Chu_ỗi h_{ội tụ} > 1.

K_{ết quả này có thểðýợc chứng minh bằng cách áp dụng tiêu chuẩn tích phân Cauchy}

s_{ẽðýợc trình bày sau. Ứng với trýờng hợp } = 1 ta c_{ó chuỗi} ph_{ân kỳ.}

V_{í dụ:}

1) Kh_{ảo sát sự hội tụ của chuỗi số}

Ta c_ó: ~ . M_{à chuỗi} ph_{ân kỳ và } l_{à một hằng số khác 0 nên}

chu_ỗi c_{ũng phân kỳ.}

2) Kh_{ảo sát sự hội tụ của chuỗi số}

 ~ ~ =

V_{ì chuỗi hình học có số hạng tổng quát} h_{ội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh ta có}

chu_ỗi c_{ũng hội tụ.}

3) Kh_{ảo sát sự hội tụ của chuỗi số}

Khi n _ , ta c_{ó } 0.

 ~ .

V_{ì chuỗi} ph_{ân kỳ nên chuỗi} c_{ũng phân kỳ.}

2. Ti_{êu chuẩn d’Alembert.}

_{Ðịnh lý:} (Ti_{êu chuẩn d’Alembert) Xét chuỗi số dýõng}

Ðặt . Ta c_ó:

N_{ếu có} m_{ột số q < 1 và có một số tự nhiên n}0 sao cho

 n > n0, Dn _ q

th_{ì chuỗi số} h_{ội tụ.}

N_{ếu có một số tự nhiên n}0 sao cho

th_{ì chuỗi số} ph_{ân kỳ.}

T_{ừðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn hội tụ} d_’Alembert:

H_{ệ quả:} Cho chu_{ỗi số dýõng} . Gi_{ả sử}

= _ .

(i) N_{ếu } < 1 th_{ì chuỗi số} h_{ội tụ.}

(ii) N_{ếu } > 1 th_{ì chuỗi số} ph_{ân kỳ.}

L_{ýu ý:}

Trong tr_{ýờng hợp} = 1 (*) th_{ì ta chýa kết luận ðýợc một cách chính xác}

chu_{ỗi số dýõng} h_{ội tụ hay phân kỳ. Chuỗi} l_{à một ví dụ cho trýờng}

h_{ợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn ðiều kiện (*), và chuỗi} l_{à một ví dụ} cho tr_{ýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãn ðiều kiện (*).}

C_{ác khẳng ðịnh (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng ðúng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết} r_ằng

= _ .

1) X_{ét chuỗi số} v_{ới x là một số thực cho trýớc. Khảo sát sự hội tụ của} chu_{ỗi số.} chu_{ỗi số.} S_{ố hạng thứ n của chuỗi số là} . Nh_{ận xét rằng với x = 0 thì các số hạng ðều} b_{ằng 0 nên c}hu_{ỗi hội tụ. Xét trýờng hợp x } 0, ta c_ó: Suy ra = 0. V_{ậy chuỗi} h_{ội tụ với mọi x.} 2) Kh_{ảo sát sự hội tụ của chuỗi số} . S_{ố hạng thứ n của chuỗi số là} . Ta c_ó: = v_à > 1.

Suy ra chu_ỗi ph_{ân kỳ.}

_{Ðịnh lý:} (Ti_{êu chuẩn cãn thức Cauchy) Xét chuỗi số dýõng} .

Ðặt Cn = .

N_{ếu có một số q < 1 và có một số tự n}hi_{ên n}0 sao cho

 n > n0, Cn _ q

th_{ì chuỗi số} h_{ội tụ.}

N_{ếu có một số tự nhiên n}0 sao cho

 n > n0, Cn _ 1

th_{ì chuỗi số} ph_{ân kỳ.}

T_{ừðịnh lý trên ta rút ra hệ quả sau ðây, cũng ðýợc gọi là tiêu chuẩn cãn thức} Cauchy: H_{ệ quả:} Cho chu_{ỗi số dýõng} . Gi_{ả sử} = _ . N_{ếu } < 1 th_{ì chuỗi số} h_{ội tụ.} N_{ếu } > 1 th_{ì chuỗi số} ph_{ân kỳ.} L_{ýu ý:} Trong tr_{ýờng hợp} = 1 (*) th_{ì ta chýa kết luận ðýợc một cách chính xác}

h_{ợp chuỗi số dýõng phân kỳ thỏa mãn ðiều kiện (*), và chuỗi} l_{à một ví dụ} cho tr_{ýờng hợp chuỗi số dýõng hội tụ thỏa mãnðiều kiện (*).}

C_{ác khẳng ðịnh (i) và (ii) trong hệ quả trên cũng ðúng cho chuỗi bất kỳ với giả thiết} r_ằng

= _ .

V_{í dụ:}

X_{ét chuỗi số} v_{ới x là một số thực cho trýớc. Khảo} s_{át sự hội tụ của chuỗi số.}

S_{ố hạng thứ n của chuỗi số là} . Ta c_ó:

= _ 0 khi n _

T_{ừ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra chuỗi} h_{ội tụ với mọi x.} X_{ét sự hội tụ của chuỗi số}

S_{ố hạng thứ n của chuỗi số là} . Ta c_ó:

= _ 2 khi n _

Suy ra chu_{ỗi số} ph_{ân kỳ theo tiêu} chu_{ẩn Cauchy.}