BẰNG BỘ CÔNG CỤ SIMMECHANICS
2.1.2.2 Chuyển động của thân trong SimMechanics
Không gian hoạt động và các hệ tọa độ:
SimMechanics mô phỏng chuyển động của cơ cấu sử dụng tiêu chuẩn động lực học của Newton, là một tập tất cả các trạng thái, trừ gia tốc, trong không gian quán tính. SimMechanics sử dụng một không gian quán tính chủ đạo gọi là World. Chúng ta có thể chọn bất kì một điểm nào đó như một gốc tọa độ và đặt vào đó các trục tọa độ trực giao gọi là hệ tọa độ mở rộng.
Sự chuyển động giữa các hệ tọa độ:
Cho một hệ tọa độ cố định, và một hệ tạo độ khác có tâm O (gọi tắt là hệ tọa độ O). C là tọa độ điểm O trong hệ tọa độ cố định. Tập các vector đơn vị trực giao {u(x), u(y), u(z)} định nghĩa nên các trục tọa độ của O. Tập này được định hướng trong hệ tọa độ cố định, với tập vector đơn vị {e(x), e(y), e(z)}, là X,Y,Z. Chúng ta có thể diễn tả {u(x), u(y), u(z)} như một sự tổ hợp của {e(x), e(y), e(z)}.
u(x) = Rxx e(x) + Ryx e(y) + Rzx e(z) u(y) = Rxy e(x) + Ryy e(y) + Rzy e(z) u(z) = Rxz e(x) + Ryz e(y) + Rzz e(z)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ux(x) = Rxx , uy(x) = Ryx , uz(x) = Rzx
ux(y) = Rxy , uy(y) = Ryy , uz(y) = Rzy ux(z) = Rxz , uy(z) = Ryz , uz(z) = Rzz
Sự phụ thuộc vào thời gian của các hệ số trong R thay cho sự định hướng của u so với e. Các phần tử của vector v được đo trong hệ tọa độ World được thay bởi vector cột, vWorld. Trong hệ tọa độ O, chúng được thay bởi vector cột vO. Mối quan hệ giữa hai tọa độ là vWorld RWO*vO. Với R có các cột là thành phần của u trong hệ tọa độ World.
yx Ryy Ryz ;
Rzx Rzy Rzz
Rxx Rxy Rxz R R
Do sự trực giao và chiều dài đơn vị của u đảm bảo rằng R là một ma trận quay trực giao thỏa mãn RRT
=RTR=I, vậy ta có R-1
=RT.
o Quan sát chuyển động của thân từ một hệ tọa độ khác:
Hình 2.1 Hệ tọa độ toàn thể và hệ tọa độ tương đối
Cho hai hệ tọa độ quan sát: World và O như trên, và 1 điểm p chuyển động bất kì. Tọa độ của p trong hệ tọa độ World là vector cột pWorld và trong hệ tọa độ O là pO, mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ là:
World=CWorld(t) +R*pO
p
Vi phân bậc nhất theo thời gian công thức trên, chúng ta được mối quan hệ vận tốc World World O O dp dC dp dR R p dt dt dt dt
o Thay thế chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của thân:
Xét chuyển động của điểm p, cố định trên thân, O là hệ tọa độ gắn với thân và có gốc O đặt tại điểm trọng tâm. Do chúng cố định trên thân do đó, ta có:
/ 0
O
dp dt , do đó công thức tính vận tốc ở trên được viết lại:
World World O dp dC dR p dt dt dt Bởi rằng RRT =I, 0 T T dR dR R R
dt dt do đó chúng ta thêm RRT bên trái của pBody và định nghĩa ma trận phản đối xứng dR T dRT
R R dt dt ; 0 0 0 z y z x y x ;
Và ω là vận tốc góc của thân trong hệ tọa độ World.
World
* * ( * )
World World World
Body Body
dp dC dC
R p R p
dt dt dt ;
Mối quan hệ giữa vi phân của vector V được đo trong World và đo trân thân
nói chung: World
World
V
Body
dV dV
dt dt ;