Để thiết lập một kết quả tồn tại nghiệm tổng quát đối với bài toán cân bằng không những bao hàm trường hợp có giả thiết đơn điệu mà cả trường hợp không có giả thiết đơn điệu, năm 1993 Blum-Oettli [3] xét bài toán cân bằng: Tìm x ∈ K sao chof(x, y) ≥ 0với mọiy ∈ K, (2.1) trong đó K là một tập trong một không gian vectơ tôpô, f : K ìK → R là hàm có dạng
f(x, y) = g(x, y) +h(x, y),
ở đây g : K ìK → R là hàm sao cho −g có tính đơn điệu và nửa liên tục trên theo biến thứ hai, cònh : K ìK → Rlà hàm không nhất thiết đơn điệu nhưng nửa liên tục trên theo biến thứ nhất. Khi ấy, từ sự tồn tại nghiệm của Bài toán (2.1) ta có kết quả ở dạng Bất đẳng thức Ky Fan khig = 0 và ở dạng Định lí Brouwer-Minty đối với Bất đẳng thức biến phân đơn điệu khih = 0
Chúng ta cần định nghĩa sau
Cho C và K là các tập lồi với C ⊂ K. Khi ấy coreKC, lõi củaC trong
K, được định nghĩa như sau:
a ∈ coreKC ⇔ (a ∈ C, C ∩(a, y]6= ∅ với mọi y ∈ K\C)
Chú ý là: coreKK = K.
Định lí 2.2(Blum-Oettli [3])
Giả sử các giả thiết sau được thỏa mãn:
1) X là không gian vectơ tôpô thực, K ⊂X là tập lồi đóng khác rỗng; 2) g : K ìK −→R có các tính chất sau:
g(x, x) = 0 với mọi x ∈ K;
g(x, y) +g(y, x) ≤ 0với mọi x, y ∈ K (nghĩa là −g đơn điệu); Với mọi x, y ∈ K hàm t ∈ [0,1] 7→g(ty + (1−t)x, y) là nửa liên tục trên tạit = 0 (hemi-liên tục);
g là lồi và nửa liên tục dưới theo biến thứ hai; 3) h : K ìK → Rcó các tính chất sau:
h(x, x) = 0 với mọi x ∈ K;
h là nửa liên tục trên theo biến thứ nhất;
h lồi theo biến thứ hai;
4) Điều kiện bức: Tồn tại C ⊂ K compắc, lồi, khác rỗng sao cho với mỗi x ∈ C \coreKC tồn tại a ∈ coreKC sao cho g(x, a) +h(x, a) ≤ 0.
Khi đó tồn tại x ∈ C sao cho 0≤ g(x, y) +h(x, y) với mọi y ∈ K. Để chứng minh Định lý 2.2 ta sử dụng 3 bổ đề sau với các giả thiết của các bổ đề này giống với giả thiết của Định 2.2.
Bổ đề 2.2
Chứng minh Xét các tập đóng S(y) = {x ∈ C : g(y, x) ≤h(x, y)}(y ∈ C) Dùng Bổ đề Ky Fan ta sẽ chỉ ra rằng \ y∈C S(y) 6= ∅.
Giả sử S : C −→ 2C với S(y), y ∈ C, định nghĩa ở trên, không phải là ánh xạ KKM.
Khi ấy có tập hữu hạn {yi : i ∈ I} ⊂ C và một ξ ∈ {yi : i ∈ I}, thỏa mãn ξ = X i∈I àiyi,X i∈I ài = 1, ài ∈ [0,1],∀i ∈ I và ξ 6∈ S i∈IS(yi) nghĩa là g(yi, ξ) > h(ξ, yi),∀i ∈ I. (2.2) Từ đó suy ra X i∈I àig(yi, ξ) > X i∈I àih(ξ, yi) (2.3)
vì ài không thể triệt tiêu đồng thời với mọi i ∈ I. Mặt khác, từ tính chất của
g suy ra X i∈I àig(yi, ξ) ≤X i∈I X j∈I àiàjg(yi, yj) = 1 2 X i,j∈I àiàj(g(yi, yj)+g(yj, yi)) ≤0.
0 = h(ξ, ξ) ≤ P i∈I àih(ξ, yi). Từ đó X i∈I àig(yi, ξ) ≤ 0≤ X i∈I àih(ξ, yi)
điều này mâu thuẫn với (2.3). Vậy ta cóS là ánh xạ KKM.
Vì S(y) là các tập đóng trong tập compắc C, nên theo Bổ đề Ky Fan ta có \ y∈C S(y) 6= ∅. Bổ đề 2.3
Các khẳng định sau là tương đương: 1) x ∈ C, g(y, x) ≤h(x, y) ∀y ∈ C;
2) x ∈ C, g(x, y) +h(x, y) ≥0 ∀y ∈ C.
Chứng minh
Giả sử 2) đúng thì do −g là đơn điệu, nghĩa là
g(x, y) +g(y, x) ≤ 0, nên ta luôn có
g(y, x) ≤ h(x, y) ∀y ∈ C.
Suy ra 1) đúng.
Ngược lại giả sử 1) đúng.
Lấy y ∈ C bất kỳ và đặt xt = ty + (1−t)x,0 < t ≤ 1. Khi đó xt ∈ C
và từ 1) ta có g(xt, x) ≤ h(x, xt). Từ các tính chất của g và h suy ra với mọi
0 = g(xt, xt) ≤tg(xt, y) + (1−t)g(xt, x) ≤tg(xt, y) + (1−t)h(x, xt) ≤tg(xt, y) + (1−t)[th(x, y) + (1−t)h(x, x)] = tg(xt, y) + (1−t)th(x, y). Vậy có :tg(xt, y) + (1−t)th(x, y) ≥0, chia cả hai vế chot > 0 ta được :
g(xt, y) + (1−t)h(x, y) ≥ 0.
Cho t &0 và xt → x, sử dụng tính hemi-liên tục của g ta có
g(x, y) +h(x, y) ≥ 0
Suy ra 2) đúng.
Bổ đề 2.3 là mở rộng một kết quả trong Bổ đề 1.2 của Mosco[11] với hàm đơn điệu.
Bổ đề 2.4
Cho ψ : K −→ R là hàm lồi và x0 ∈ coreKC với ψ(x0) ≤ 0 và
ψ(y) ≥ 0 với mọi y ∈ C. Khi ấy ψ(y) ≥0 với mọi y ∈ K.
Chứng minh
Giả sửψ(y) < 0với mộty ∈ K\C.Khi đóψ(η) < 0với mọiη ∈ (x0, y]
và vìC ∩(x0, y]6= ∅tồn tại η ∈ C vớiψ(η) < 0, mâu thuẫn với các giả thiết.
Chứng minh Định lí 2.2
Theo Bổ đề 2.2 ta có x ∈ C với g(y, x) ≤ h(x, y) với mọiy ∈ C. Do đó theo Bổ đề 2.3 thì 0≤ g(x, y) +h(x, y) với mọi y ∈ C.
Đặt ψ(.) =g(x, .) +h(x, .), ta có ψ(.) lồi và ψ(y) ≥ 0với mọi y ∈ C.
Nếux ∈ coreKC thì đặt x0 = x.Nếu x ∈ C\coreKC thì đặt x0 = a (a
trong giả thiết 4)).
Trong cả hai trường hợp đều có x0 ∈ coreKC và ψ(x0) ≤ 0. Do đó theo Bổ đề 2.4 ta có ψ(y) ≥ 0 với mọi y ∈ K, nghĩa là tồn tại x ∈ C sao cho
0≤ g(x, y) +h(x, y) với mọiy ∈ K. Định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.3
Định lý 2.2 vẫn đúng nếu thay điều kiện bức 4) bởi điều kiện bức sau 4') Tồn tại B ⊂ K lồi compắc, khác rỗng sao cho với mỗi x ∈ K \B có
a ∈ B để g(x, a) + h(x, a) < 0.
Thật vậy, giả sử tập {yi : i ∈ I} là một tập hữu hạn của K. Khi ấy tập
C = co(B ∪ {yi : i ∈ I}) là tập lồi compắc. Theo định lý 2.2 tồn tại x ∈ C
với 0≤ g(x, y) +h(x, y)∀y ∈ C, đặc biệt do 4') ta có x ∈ B. Suy ra (do −g
đơn điệu) g(y, x) ≤ h(x, y) với mọi y ∈ C, đặc biệt với y = yi, i ∈ I. Như vậy họ các tập đóng (trong tập compắc B)
S(y) = {x ∈ B : g(y, x) ≤ h(x, y)}(y ∈ K) có tính chất giao hữu hạn, do đó
\
y∈K
S(y) 6= ∅,
nghĩa là có x ∈ B với g(y, x) ≤ h(x, y), ∀y ∈ K. Theo Bổ đề 2.3 (ở đó C
Nếu trong Định lý 2.2 ta thay tính hêmi-liên tục của g bằng tính đơn điệu cực đại và thay điều kiện bức 4) bằng điều kiện 4') thì ta sẽ được một biến thức của Định lý 2.2, ở đây tính đơn điệu cực đại của một hàm được định nghĩa như sau.
Hàm g : K ì K −→ R với g(x, x) = 0 với mọi x ∈ K được gọi là
đơn điệu cực đại nếu với mỗi x ∈ K và với mỗi hàm lồi ψ : K −→ R với
ψ(x) = 0 thì
g(y, x) ≤ψ(y) ∀y ∈ K kéo theo 0 ≤g(x, y) +ψ(y) ∀y ∈ K.
Định lí 2.3 (Blum-Oettli [3])
Giả sử các giả thiết 1) và 3) của Định lí 2.2 và các điều kiện 2') và 4') sau thoả mãn:
2') g : K ìK −→ R có các tính chất sau:
g(x, x) = 0 với mọi x ∈ K;
g là đơn điệu cực đại và−g đơn điệu;
g là lồi và nửa liên tục dưới theo biến thứ hai;
4') Tồn tại B ⊂ K compắc, lồi, khác rỗng sao cho với mỗi x∈ K\B
tồn tại a ∈ B với −g(a, x) +h(x, a) < 0.
Khi đó tồn tại x ∈ B sao cho 0 ≤ g(x, y) +h(x, y) với mọi y ∈ K. Chứng minh
Cho {yi : i ∈ I} là một tập con hữu hạn của K và xác định tập hợp sau
C = co(B∪ {yi : i ∈ I}). Khi ấy C là tập lồi, compắc. Do đó theo Bổ đề 2.2 tồn tạix ∈ C sao cho g(y, x) ≤ h(x, y)với mọi y ∈ C ( ở đây không cần đến tính hemi-liên tục của g ). Do điều kiện 4') nênx ∈ B. Vậy cóx ∈ B sao cho
g(y, x) ≤ h(x, y) ∀i ∈ I, suy ra họ các tập đóng trong tập compắc B:
S(y) = {x ∈ B : g(y, x) ≤ h(x, y)}, y ∈ K
có tính giao hữu hạn. Do đó ∩y∈KS(y) 6= ∅, nghĩa là tồn tại x ∈ B sao cho
g(y, x) ≤ h(x, y) với mọi y ∈ K. Từ tính đơn điệu cực đại của g suy ra kết
luận của Định lí 2.3.
Các kết quả trên của Blum-Oettli[3] bao hàm nhiều kết quả quen biết trước đây và gần đây về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng. Từ các kết quả này và chứng minh của chúng dễ dàng suy ra các kết quả và chứng minh được trình bày ở Chương 1.