Ta khảo sát vấn đề thiết lập mặt lưới tam giác từ 3 đường biên ei(si) và tiếp tuyến biên ngang ti(si) (Hình 3.6) bằng cách áp dụng phép nội suy cho từng đường biên. Khi xác định phương trình tham số đường biên và tiếp tuyến biên ngang của mặt cong cho trước là 1/8 mặt cầu đơn vị (Hình 3.6)
Có thể tham số hoá cung tròn trên mặt phẳng x-y như sau: x = cosθ ; y = sinθ
Từ đó phương trình các đường biên có dạng:
e1(s1)=(0,cos(s1π/2),sin(s1π/2)): 0≤s1≤1 e2(s2)=( sin(s2π/2),0,cos(s2π/2)): 0≤s2≤1 e3(s3)=( cos(s1π/2),sin(s1π/2),0): 0≤s3≤1
Hình 3.6. Dữ liệu biên của mặt cong tam giác
Vì tiếp tuyến biên ngang song song với trục toạ độ nên ta có thể biểu diễn chúng như sau:
71
Để thiết lập mặt cong trơn láng từ dữ liệu biên (Hình 3.6) cần xác định giới hạn tham số cho miền tam giác. Xét tam giác đều V1, V2, V3 đặt λi là khoảng cách vuông góc từ điểm V trong tam giác đến cạnh đối diện đỉnh Vi (Hình 3.7a):
V = (λ1, λ2, λ3)
Hình 3.7 - Mặt cong Gregory tam giác
Như vậy λi tạo nên toạ độ trọng tâm của miền tam giác. Ta có thể xác định tham số si của đường biên theo λi
s1=λ3(λ2+λ3) s2=λ1(λ3+λ1) s3=λ2(λ1+λ2)
Từ đó có thể xác định hàm nội suy tuyến tính Taylor ri(si, λi) theo đường biên ei(si) và tiếp tuyến biên ngang ti(si): ri(si, λi) = ei(si) + λiti(si) i = 1, 2, 3 (3.8) Cuối cùng mặt lưới Gregory tam giác giới hạn bởi 3 đường biên (Hình 3.7b) được thiết lập như phép kết nối lồi 3 mặt cong nội suy tuyến tính Taylor:
(3.9)
72
Giải thuật thiết lập mặt cong theo (3.9) được gọi là phép kết nối lồi vì mặt cong kết quả nội suy từ miền lồi giới hạn bởi 3 đường biên.
Ta có thể mở rộng phương pháp này để thiết lập mặt cong giới hạn mởi n đường biên; ngoài ra cũng có thể thiết lập mặt cong n cạnh theo giải thuật mặt Coons. Giải thuật này còn được gọi là phép cong Lôgic. Theo đó mặt lưới kết quả được biểu diễn như tổng Lôgic của các mặt cong thành phần:
r(u,v) = r1(u,v) + r2(u,v) = r1(u,v) + r2(u,v) - r3(u,v) trong đó r3(u,v) là phần giao của r1(u,v) và r2(u,v).