9.1 Thực / ảo - Chẳn / lẻ.
Bảng sau đây tóm tắt những tính chất của biến đổi Fourrier dựa trên sự quan sát quan sát hàm theo t.
Hàm thời gian Biến đổi Fourrier
A Thực Phần thực chẳn - Phần ảo lẻ B Thực và chẳn Thực và chẳn C Thực và lẻ Ảo và lẻ D Ảo Phần thực lẻ - Phần ảo chẳn E Ảo và chẳn Ảo và chẳn F Ảo và lẻ Thực và lẻ Table 2 Có thể dùng công thức Euler để chứng minh:
S(f ) =
Figure 85
Figure 86
= R + j X
R là một hàm chẳn của f vì khi f được thay bằng -f thì hàm không đổi. Tương tự, X là một hàm lẻ của f. Nếu s(t) giả sử là thực, R trở thành phần thực của biến đổi và X là phần ảo. Vậy tính chất A đã được chứng minh.
Nếu s(t) thực và chẳn, thì X = 0. Điều này đúng vì X lẻ ( tích của hàm chẳn và lẻ ) và tích phân là 0. Vậy tính chất B đã được chứng minh.
Nếu s(t) thực và lẻ, R = 0. ( Tính chất C ).
Nếu s(t) ảo, X trở thành phần ảo của biến đổi và R là phần thực. Từ quan sát đơn giản đó, các tích chất D, E, F dễ dàng được chứng thật.
9.2 Dời thời gian ( Time Shift ).
Biến đổi Fourrier của một hàm thời gian bị dời thì bằng với biến đổi của hàm thời gian gốc nhân bởi một hàm expo phức.
e-j2[U+F070]fot S(f)[U+F0AB]s(t - t0 ) (2.49)
Ví dụ 10: Tìm biến đổi Fourrier của: s(t) = Figure 87 12ts(t)Hình 2.18 Dạng tín hiệu s(t). Giải: Từ định nghĩa ta có: S(f ) = Figure 88 = e-j2[U+F070]f
Figure 89
Kết quả này có thể thu được từ việc dùng một hàm nấc trong ví dụ 4 và tính chất dời thời gian. s(t) ở ví dụ 10 trên đây thì giống như ở ví dụ 4 ( Với A =[U+F061]= 1), ngoại trừ việc dịch thời gian 1 sec.
9.3 Dời tần số ( Frequency shift ).
Hàm theo thời gian tương ứng với một biến đổi Fourrier dời tần thì bằng với hàm theo thời gian của biến đổi không dời tần nhân với 1 hàm expo phức.
S(f - f0 ) [U+F0AB]ej2[U+F070]fo s(t)(2.50) Ví dụ 11: Tìm biến đổi Fourrier của s(t). s(t) =
Figure 90
Giải:
s(t) này giống như s(t) ở ví dụ 4 ( với A =[U+F061]= 1), trừ việc nhân với thừa số ej2[U+F070]t . Định lý về sự dời tần được dùng để thấy rằng biến đổi là biến đổi gốc bị dời bởi một đơn vị tần số. Như vậy, ta lấy biến đổi trong ví dụ 4 và thay thế f - 1 cho f.
S(f) =
Figure 91
S(f)f0.51.51Hình 2.19 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t).
9.4 Sự tuyến tính.
Sự tuyến tính là tính chất quan trọng nhất của phép biến đổi Fourrier.
Biến đổi Fourrier của một tổ hợp tuyến tính của các hàm theo thời gian là một tổ hợp tuyến tính của các biến đổi Fourrier tương ứng.
as1(t) + bs2(t)[U+F0AB]aS1(f) + bS2(f)(2.51) Trong đó a, b là những hằng bất kỳ.
Có thể chứng minh trực tiếp từ định nghĩa của phép biến đổi Fourrier và từ tính chất của tuyến tính của thuật toán tích phân.
Figure 92
= aS1(f) + bS2(f)
Ví dụ 12: Tìm biến đổi Fourrier của s(t). s(t) =
Figure 93
Figure 94
s(t)21120.5t
Hình 2.20 Biến đổi Fourier của tín hiệu s(t). Giải:
Ta dùng tính chất tuyến tính và thấy rằng s(t) là tổng của hàm trong ví dụ 4 với hàm trong ví dụ 11. Vậy, biến đổi F cho bởi tổng của hai biến đổi.
S(f) =
Figure 95
Vì hàm được cho sẽ chẳn nếu bị dời về trái 0,5 sec, ta có thể viết lại. S(f) =
Figure 96