A R1 R2R 3R
1.2.2. Quan điểm thứ nhất: Giải tích mà Đại số hóa tăng cờng ở THPT
Quan điểm này giúp ta ý thức về những khó khăn lớn mà học sinh sẽ gặp phải lúc mới làm quen với kiểu t duy biến thiên, liên tục, vô hạn và khi học về sử dụng các phơng pháp, kỹ thuật xấp xỉ.
Nhiều công trình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nớc đã làm rõ những khó khăn của học sinh khi tiếp thu khái niệm Giới hạn, cũng nh những chứng ngại khoa học luận liên quan tới khái niệm này, những khó khăn thao tác với các kỹ thuật đánh giá xấp xỉ, với các bất đẳng thức và giá trị tuyệt đối. Hơn nữa, hiểu đợc rằng từ một hệ thống chặn trên, chặn dới hay từ một dãy những xấp xỉ có thể đạt những kết quả chính xác, rằng một khái niệm có thể đợc định nghĩa bằng các phơng pháp đánh giá xấp xỉ và thừa nhận đợc tính triết học trong những kiểu nh khi thực hiện chặn trên, chặn dới một hàm số hay dãy số ta thờng dùng các kỹ thuật: Chọn số hạng trỗi nhất trong một biểu thức; thêm bớt mẫu số, tử số của một phân thức,... Nh vậy khi giải quyết các bài toán Giải tích điều này cũng tạo nên một chớng ngại khoa học luận mấu chốt, ngay cả đối với các nhà Toán học trong các thế kỷ trớc. Để tránh những khó khăn nh vậy, quan điểm phổ biến là "Đại số hóa tăng cờng Giải tích". Theo quan niệm này, ngời ta cố gắng thu hẹp sự ngắt quãng giữa Đại số và Giải tích, xây dựng cái mới trong sự liên tục chặt chẽ với cái cũ và hy vọng rằng học sinh sẽ dần dần tiếp thu đợc kiến thức mới. Vì vậy, ngời ta tìm cách tránh đến mức tới đa các phơng pháp và kỹ thuật xấp xỉ, thay vào đó là các phép toán và quy trình kiểu Đại số. Những vấn đề lớn nh : xấp xỉ các số, xấp xỉ các hàm đều không đề cập đến nữa.
Ví dụ 1: Chứng minh: Hàm số f(x) = xx+1 có giới hạn là 0 khi x → 0.
Ta nhận thấy :
- Kĩ thuật Đại số cho ngay kết quả : limx→0 1=00+1 +
x x
= 0.
- Bằng kỹ thuật đáng giá, xấp xỉ của Giải tích, lời giải có thể là: Với ∀ x ∈ ( - 21 ; 21 ), ta có 21 < 1+x < 23 ⇔
32 2
⇒ 3 2 x ≤ x x + 1 ≤ 2 x ⇒ f(x) ≤ 2 x . Theo định lý so sánh đã biết, suy ra: lim0