Đặc tính của phương trình này là dễ xác định và cho phép tạo đường cong trơn láng qua bốn điểm chỉ với đường bậc ba (tối thiểu là bậc ba). Đường cong khi biểu diễn dưới dạng đa thức tham số chuẩn tắc dễ dàng xử lí và cũng đủ độ linh hoạt để biểu diễn hầu hết các loại đường cong thường gặp.
Đường cong đa thức chuẩn tắc có dạng như sau:
r(u) = a + bu + cu2 + du3 với 0 ≤ u ≤ 1.
Nếu cho trước toạ độ của 4 điểm bất kì thuộc đường cong lần lượt là:
P0(x0, y0); P1(x1, y1); P2(x2, y2); P3(x3, y3)
Việc còn lại là để xác định đường cong ta cần phải xác định các hệ số a, b, c, d, trong phương trình tổng quát của đa thức chuẩn tắc. hãy xem mô hình hình học minh hoạ như dưới đây:
Gọi di là chiều dài cát tuyến giữa điểm Pi và Pi+1 ta có : di = l Pi+1 - Pi l với i = 1, 2, 3... d0 P3 d2 P2 P1 P0 d1
Từ đó giá trị tham số ui tại các điểm Pi được xác định:
Vì đường cong đi qua bốn điểm P1, P2, P3, P4 nên toạ độ của bốn điểm này phải thoả mãn dạng đường cong tổng quát, thay các toạ độ x0, x1, x2, x3 vào phương trinh tổng quát ứng với các ui xác định như ở trên, các giá trị u0 và u3 đó rõ ràng còn u1 và u2 được tính theo
Như vậy các giá trị ui được biểu diễn hoàn toàn qua các giá trị xi là các đại lượng đó biết, các
phương trình thành lập được chỉ còn có các hệ số a, b, c, d, là ẩn số, kết hợp tất cả các
phương trình lại ta có hệ 4 phương trình 4 ẩn giải được các hệ số, từ đó mô hình toán học của đường cong hoàn toàn xác định.
Nếu là đường cong phẳng đến đây ta mới xây dựng xong một nửa mô hinh, nếu đường cong nằm trong mặt phẳng xOy thì còn phải xây dựng phương trình nội suy theo trục Oy nữa mới đủ, nếu đường cong
nằm trong không gian thì phải xây dựng phương trình toán theo cả ba trục của hệ trục toạ độ. Tuy nhiên
Ví dụ: Hãy xây dựng phương trình đường cong
đa thức tham số chuẩn tắc đi qua bốn điểm có toạ độ cho trước như sau:
P0(1, 0); P1(3, 3); P2(7, -2); P3(10, 2) Kết quả: Kết quả:
x(u) = 1 + 8.87991u + 0.0962u2 + 0.02389u3 với 0 ≤ u ≤ 1
y(u) = -168.6097u + 416.1707u2 – 245.561u3 với 0 ≤ u ≤ 1
Đường cong tham số chuẩn tắc như trình bày ở trên mà thoả mãn thêm một số điều kiện biên (tại hai điểm đầu và cuối của nó ) được gọi là đường cong FERGUSON. Tức là về cơ bản dạng phương trình của nó giống với dạng
phương trình của đường cong tham số chuẩn tắc:
r(u) = a + bu + cu2 + du3 (0 ≤ u ≤ 1)
Song để xây dựng ra nó còn phải căn cứ vào toạ độ hai điểm đầu và cuối của đường cong, cũng như tiếp