VIII. T ích phân mặt loạ
2.Một số bài toán dẫn tới phýõng trình vi phân
Thắ dụ 1: Cho một vật khối lýợng m rõi tự do trong không khắề Ứiả sử sức cản không khắ tỉ lệ với vận tốc rõi là vậtấ vào thời thời điểm t với hệ số tỉ lệ là k ễ ếề Tìm v(t).
Ta có khi vật rõi thì lực tác dụng lên vật gồm có ầ lực hút của trái đất là mg và lực cản của không khắ là kvậtấề ắo đó theo định luật ỷewtonờ ta cóầ ma ụ ≠ với a là gia tốc của vật rõiề ỷghĩa là ta có phýõng trình ầ
hay
Đây là phýõng trình vi phân để tìm hàm vậtấề
Thắ dụ 2: Cho một thanh kim loại đýợc nung nóng đến nhiệt độ ĩếếo, và đýợc đặt trong 1 môi trýờng đủ rộng với nhiệt độ không đổi là ĩếo (và nhiệt độ tỏa ra từ thanh kim loại không làm thay đổi nhiệt độ môi trýờngấề Tìm Tậtấ là nhiệt độ thanh kim loại tại thời điểm tề
Theo quy luật ỷewton tốc độ giảm nhiệt của thanh kim loại ậ ) tỉ lệ với hiệu nhiệt độ của vật thể Tậtấ và nhiệt độ môi trýờng ĩếo. Do đó ta cóầ TỖậtấ ụ - k( T(t) Ờ 30o )
Đây là phýõng trình vi phân để tìm hàm Tậtấờ trong đó k ễế là hệ số tỉ lệ và
T(0) = 300 là điều kiện ban đầu của bài toánề
Thắ dụ 3: Tìm phýõng trình y ụ fậxấ của một đýờng cong biết rằng tiếp tuyến tại mỗi điểm sẽ cắt trục tung tại điểm khác có tung độ bằng hai lần tung độ tiếp điểmề
Biết rằng phýõng trình tiếp tuyến với đýờng cong yụ fậxấ tại điểm ∞oậxoờ yoấ tại có dạngầ y- yo = f Ỗậxoấậx - xo )
Giao điểm của tiếp tuyến với trục tung ậ xụ ế ấ có tung độ là ầ y1 = yo - fỖậxoấậ xo ấ
Theo giả thiết có ầ y1 = 2 yo, từ đó có phýõng trìnhầ yo ụ fỖậxoấậ xo ấ
Với điểm ∞oậxoờ yoấ là bất kỳờ nên ta có phýõng trình vi phân ầ
3. Định nghĩa phýõng trình vi phân Ờ Nghiệm, nghiệm tổng quát, nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị của phýõng trình.