Cho các phạm trù P và C.
Định nghĩa 1.13. Hàm tử F :P −→ C là một quy luật, tương ứng mỗi vật A ∈ P với một vật F(A) ∈ C và tương ứng mỗi cấu xạ α : A −→ B trong phạm trù P với một cấu xạ F(α) : F(A) −→F(B) trong phạm trù C. Hơn nữa các tiên đề sau phải được thỏa mãn:
HT1: Với mỗi vật A ∈ P : F(1A) = 1F(A),
HT2: F(βα) = F(β)F(α) với mỗi cặp cấu xạ (α, β) trong P mà xác định được tích βα.
Các hàm tử đôi khi còn được gọi là hàm tử hiệp biến.
Ví dụ 1.6. Cho phạm trù P và vật X ∈ P. Hàm tử M or(X,−) : P −→ St, từ phạm trù P tới phạm trù các tập hợp St được xác định như sau:
• Mỗi vật A ∈ P được tương ứng với tập hợp M or(X, A) ∈ St.
• Mỗi cấu xạα : A−→ B được tương ứng với ánh xạ α∗ : M or(X, A) −→ M or(X, B) mà α∗(β) = αβ,∀β ∈ M or(X, A). Ta thấy M or(X,−) thỏa mãn các tiên đề về hàm tử.
Vậy M or(X,−) : P −→St là hàm tử hiệp biến.
Định nghĩa 1.14. Phản hàm tử G : P −→ C là một quy luật, tương ứng mỗi vật A ∈ P với một vật G(A) ∈ C và tương ứng mỗi cấu xạ α :A −→ B
trong phạm trù P với một cấu xạ G(α) : G(B) −→ G(A) trong phạm trù C. Hơn nữa các tiên đề sau phải được thỏa mãn:
HT1’: Với mỗi vật A∈ P : G(1A) = 1G(A),
HT2’: G(βα) = G(α)G(β) với mỗi cặp cấu xạ (α, β) trong P mà xác định được tích βα.
Ví dụ 1.7. Từ phạm trù P và vật X ∈ P ta cũng xác định được một phản hàm tử trên P là M or(−, X) : P −→ St như sau:
•Mỗi cấu xạ α : A−→ B được tương ứng với ánh xạ α∗ : M or(B, X) −→ M or(A, X) mà α∗(β) = βα,∀β ∈ M or(B, X). Ta thấy M or(−, X) thỏa mãn các tiên đề HT1’ và HT2’.
Do đó M or(−, X) là một hàm tử phản biến.