2 Dựng hình bằng thước kẻ và compa
2.5 Những bài toán dựng hình cổ điển
Có 3 bài toán cổ về dựng hình bằng thước kẻ và compa rất nổi tiếng trong lịch sử toán học Hy Lạp và rất quan trọng trong sự phát triển của hình học. Đó là các bài toán "Cầu phương một hình tròn", "Gấp đôi một hình lập phương", "Chia ba một góc". Ngoài ra còn nhiều bài toán khác nữa. Nhiều nhà toán học tên tuổi đã nghiên cứu cách để giải các bài toán trên. Cho đến thế kỷ 19 với quan điểm của đại số hiện đại về lý thuyết trường và lý thuyết mở rộng trường, các nhà toán học thu được một chứng minh chính xác cho các bài toán trên. Sau đây là một số bài toán dựng hình cổ điển nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học.
2.5.1. Bài toán. (Cầu phương một hình tròn.) Dùng thước kẻ và compa, dựng một hình vuông có cùng diện tích với một hình tròn có bán kính bằng 1.
Phép cầu phương một hinh tròn hay thường gọi là "Cầu phương một hình tròn", là một trong những bài toán cổ của Hy Lạp và nổi tiếng của toán học, đặc biệt của hình học.
Bài toán này đã ghi lại niên hiệu về sự phát minh của hình học và sự nan giải của nó được chiếm giữ trong ngành toán học rất nhiều thế kỷ. Nhiều nhà toán học đã cố gắng nghiên cứu và đưa ra các giải pháp để giải quyết bài toán này. Cho đến tận năm 1882 mới có chứng minh chính xác rằng bài toán không thể dựng được bằng thước kẻ và compa.
Bởi vì bài toán đòi hỏi phải có một giải pháp để dựng được số√π mà thực tế số đó là số siêu việt trên Q(trong [Had], p.47), nó không phải là số đại số vì thế nó không thể dựng được bằng thước kẻ và compa. Sốπ là số siêu việt đã được nhà toán học C. Lindemann chứng minh vào năm 1882. Vì vậy √π cũng là số siêu việt trên Qvà nó không nằm trong bất kỳ một mở rộng hữu hạn nào của Q.
Kết luận: Không thể "Cầu phương một hình tròn" bằng thước kẻ và compa. 2.5.2. Bài toán. (Gấp đôi một hình lập phương). Dùng thước kẻ và compa, dựng một hình lập phương có thể tích bằng 2 lần thể tích một hình lập phương với cạnh bằng 1.
Để giải bài toán này, ta cần dựng một đoạn thẳng có độ dài là √3
2 và chỉ sử dụng thước kẻ và compa. Điều này tương đương với việc dựng một điểm có toạ độ(√3
2,0)trong hệ toạ độ trực chuẩn R. Đa thức bất khả quy của√3
2làx3−2, do đó áp dụng Mệnh đề 1.3.6 ta suy ra[Q[√3
bậc của √3
2 là 3 không phải là luỹ thừa của 2. Sử dụng tiêu chuẩn của Mệnh đề 2.2.2 thì điểm (√3
2,0) không thể dựng được bằng thước kẻ và compa. (Đây là kết quả đã được P. L. Wantzel chứng minh đầu tiên vào năm 1837.)
Kết luận: Không thể "Gấp đôi một hình lập phương" bằng thước kẻ và compa.
2.5.3. Bài toán: (Chia ba một góc tuỳ ý). Cho trước một góc, dùng thước kẻ và compa để chia ba góc đã cho.
Để giải quyết bài toán này, ta cần dựng một góc θ khi biết trước góc
3θ. Điều này tương đương với việc dựng một điểm có toạ độ (cosθ,sinθ)
trên đường tròn đơn vị trong mặt phẳng toạ độ R khi đã biết trước điểm có toạ độ là (cos 3θ,sin 3θ).
Ta có công thức: cos 3θ = 4 cos3θ −3 cosθ, vì vậy cosθ là một nghiệm của đa thức 4X3 −3X −cos 3θ.
Nhìn chung đa thức này là bất khả quy trên Q[cos 3θ]. Vì thế không thể dựng được điểm(cosθ,sinθ).
Ví dụ. Không thể chia ba góc 1200 .
Thật vậy, trong trường hợp này ta cóθ = 400 và4X3−3X−cos 1200 = 4X3 − 3X −1/2. Dễ thấy rằng đa thức 8X3 −6X + 1 là bất khả quy trên Q (vì nó không có nghiệm hữu tỉ). Vì [Q(cosθ) : Q] = 3, bậc của
cosθ không phải là luỹ thừa của 2 nên cosθ không thể dựng được. Suy ra
(cosθ,sinθ) không thể dựng được. Kết quả này cũng được P. L. Wantzel chứng minh vào năm 1837.
Phần kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã hoàn thành các công việc sau:
- Nhắc lại một số kiến thức trong lý thuyết trường, lý thuyết mở rộng trường của Đại số hiện đại như khái niệm mở rộng trường, mở rộng đơn, mở rộng đại số,.. khái niệm về phần tử đại số, siêu việt. Nhắc lại kiến thức về đa thức bất khả quy,...
- Trình bày khái niệm điểm dựng được bằng thước kẻ và compa, đưa ra các ví dụ minh hoạ cho khái niệm bằng những bài toán dựng hình cơ bản như "Tìm hình chiếu của một điểm trên đường thẳng, dựng đường phân giác của một góc, dựng đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác,....
- Trình bày về một điều kiện cần và một điều kiện đủ về tính dựng được bằng thước kẻ và compa.
- Trình bày ứng dụng của các điều kiện vào những bài toán dựng hình cổ điển như: "Cầu phương một đường tròn", "gấp đôi một hình lập phương", "Chia ba một góc",...
Tài liệu tham khảo
[1] Robert Ash, Abstract Algebra - The Basic Graduate Year, Dover, New York 2002.
[2] Jean-Pierre Escofier, Galois Theory, Springer-Verlag New York (2004), Third Edition.
[3] C. R. Hadlock, Field Theory and its Classical Problems, Math. Assn. Amer., 1978.
[4] Joseph Rotman, Galois Theory, Springer-Verlag New York (2001), Second Edition.
[5] Jean-Pierre Serre, Topics in Galois Theory, Jones and Bartlett, Boston Londres, 1992.
[6] Jean-PierreTignol, Galois's Theory of Algebraic Equations, Longman Scientific and Technical, 1987.