III. Tiến trình
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
A.LÍ THUYẾT:
Hệ quả:
Nếu một cạnh gĩc vuơng và một gĩc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuơng này bằng một cạnh gĩc vuơng và một gĩc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuơng kia thì hai tam giác đĩ bằng nhau
Nếu cạnh huyền và một gĩc nhọn của tam giác vuơng này bằng cạnh huyền và một gĩc nhọn của tam giác vuơng kia thì hai tam giác vuơng đĩ bằng nhau.
B.BÀI TẬP:
Bài 1: Cho ∆ABC cĩ gĩc A bằng 600. Tia phân giác của gĩc B cắt AC ở M, tia phân giác của gĩc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng BN + CM = BC.
Bài 2: Cho ∆ABC vuơng tại A, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm K sao cho MK = MB. Chứng minh rằng:
a) KC vuơng gĩc với AC. b) AK song song với BC.
Bài 3: Cho ∆ABC, kẻ BD vuơng gĩc với AC, kẻ CE vuơng gĩc với AB. Trên tia đối của tia BD, lấy điểm H sao cho BH = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AH = AK.
Bài 4: Cho ∆ABC cĩ AB = AC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) BE = CD b) ∆KBD = ∆KCE.
Bài 5: Cho ∆ABC cĩ gĩc A = 600. Tia phân giác của gĩc B cắt AC ở D, tia phân giác của gĩc C cắt AB ở E. Các tia phân giác đĩ cắt nhau ở I. Chứng minh rằng ID = IE.
Bài 6: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm của AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By vuơng gĩc với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax. Đờng vuơng gĩc với OC tại O cắt tia By tại D. Chứng minh rằng: CD = AC + BD.
Bài 7: Trên cạnh BC của ∆ABC, lấy các điểm E và F sao cho BE =CF. Qua E và F vẽ các đờng thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. Chứng minh rằng: EG + FH = AB.
Bài 8: Cho ∆ABC vuơng tại A, AB = AC. Qua A vẽ đờng thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với đờng thẳng d. Kẻ BH và CK vuơng gĩc với d. Chứng minh rằng:
a) AH = CK b) HK = BH + CK
Bài 9: Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho NF = NC. Chứng minh rằng:
a) ∆MAE = ∆MCB. b) AE = AF.
c) Ba điểm A, E, F thẳng hàng.
Bài 20: Cho đoạn thẳng AB, D là trung điểm của AB. Kẻ Dx vuơng gĩc với AB. Trên Dx lấy hai điểm M và N (M nằm giữa D và N). Chứng minh rằng:
a) ∆NAD = ∆NBD. b) ∆MNA = ∆MNB.
c) ND là phân giác của gĩc ANB. d) Gĩc AMB lớn hơn gĩc ANB.
Bài 11: Cho ∆ABC cĩ gĩc A bằng 600. Tia phân giác của gĩc B cắt AC ở M, tia phân giác của gĩc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng BN + CM = BC.
Bài 12: Cho ∆ABC vuơng tại A, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm K sao cho MK = MB. Chứng minh rằng:
a) KC vuơng gĩc với AC. b) AK song song với BC.
Bài 13: Cho ∆ABC, kẻ BD vuơng gĩc với AC, kẻ CE vuơng gĩc với AB. Trên tia đối của tia BD, lấy điểm H sao cho BH = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AH = AK.
Bài 14: Cho ∆ABC cĩ AB = AC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) BE = CD b) ∆KBD = ∆KCE.
Bài 15: Cho ∆ABC cĩ gĩc A = 600. Tia phân giác của gĩc B cắt AC ở D, tia phân giác của gĩc C cắt AB ở E. Các tia phân giác đĩ cắt nhau ở I. Chứng minh rằng ID = IE.
Bài 16: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm của AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax và By vuơng gĩc với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax. Đờng vuơng gĩc với OC tại O cắt tia By tại D. Chứng minh rằng: CD = AC + BD. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 17: Trên cạnh BC của ∆ABC, lấy các điểm E và F sao cho BE =CF. Qua E và F vẽ các đờng thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. Chứng minh rằng: EG + FH = AB.
Bài 18: Cho ∆ABC vuơng tại A, AB = AC. Qua A vẽ đờng thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với đờng thẳng d. Kẻ BH và CK vuơng gĩc với d. Chứng minh rằng:
Bài 19: Cho ∆ABC. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB, trên tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho NF = NC. Chứng minh rằng:
a) ∆MAE = ∆MCB. b) AE = AF.
c) Ba điểm A, E, F thẳng hàng.
Bài 20: Cho đoạn thẳng AB, D là trung điểm của AB. Kẻ Dx vuơng gĩc với AB. Trên Dx lấy hai điểm M và N (M nằm giữa D và N). Chứng minh rằng:
a) ∆NAD = ∆NBD. b) ∆MNA = ∆MNB.
c) ND là phân giác của gĩc ANB. d) Gĩc AMB lớn hơn gĩc ANB.
1.
1. Cho Cho ∆∆ABC vuõng tái A vaứ BÂ > CÂ . keỷ ủửụứng cao AH. Gói D, E lần lửụùt laứ trung ABC vuõng tái A vaứ BÂ > CÂ . keỷ ủửụứng cao AH. Gói D, E lần lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa AH, CH
ủieồm cuỷa AH, CH
a.
a. CMR : BH < CH vaứ BD < CD < ACCMR : BH < CH vaứ BD < CD < AC
b.
b. Keỷ ủửụứng thaỳng Cx Keỷ ủửụứng thaỳng Cx ⊥⊥BC ; Cx vaứ AE caột nhau tái K. CMR : AH < BC ; Cx vaứ AE caột nhau tái K. CMR : AH < KE < AC
KE < AC
2.
2. Cho Cho ∆∆ABC cãn tái A. Laỏy ủieồm D thuoọc cánh B, ủieồm E thuoọc cánh AC sao choABC cãn tái A. Laỏy ủieồm D thuoọc cánh B, ủieồm E thuoọc cánh AC sao cho BD = CE
BD = CE
a.
a. CMR : CMR : ∆∆BEC = BEC = ∆∆CDB vaứ CDB vaứ ∆∆ABE = ABE = ∆∆ACDACD
b.
b. Gói K laứ giao ủieồm cuỷa BE vaứ CD . CMR : Gói K laứ giao ủieồm cuỷa BE vaứ CD . CMR : ∆∆BKC cãnBKC cãn c.
c. CMR : AK laứ phãn giaực cuỷa ÂCMR : AK laứ phãn giaực cuỷa Â
3.
3. Cho Cho ∆∆ABC coự AB < AC. ẹửụứng thaỳng keỷ tửứ trung ủieồm M cuỷa BC vuõng goực ABC coự AB < AC. ẹửụứng thaỳng keỷ tửứ trung ủieồm M cuỷa BC vuõng goực vụựi phãn giaực cuỷa goực  caột AB tái D vaứ AC tái E
vụựi phãn giaực cuỷa goực  caột AB tái D vaứ AC tái E
a.
a. CMR : CMR : ∆∆ADE cãnADE cãn b.
b. ẹửụứng thaỳng qua B song song vụựi AC caột DE tái K. CMR : BD = BK = ECẹửụứng thaỳng qua B song song vụựi AC caột DE tái K. CMR : BD = BK = EC (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4.
4. Cho Cho ∆∆ABC vuõng tái A coự BÂ = 60ABC vuõng tái A coự BÂ = 6000 . keỷ ủửụứng phãn giaực BD . ẹửụứng thaỳng qua . keỷ ủửụứng phãn giaực BD . ẹửụứng thaỳng qua A vuõng goực vụựi BD tái H caột BC tái E
A vuõng goực vụựi BD tái H caột BC tái E
a.
a. Tớnh AÊB, suy ra Tớnh AÊB, suy ra ∆∆ABE ủềuABE ủều
b.
b. CMR : H laứ trung ủieồm cuỷa AE vaứ CMR : H laứ trung ủieồm cuỷa AE vaứ ∆∆ADE cãnADE cãn
c.
c. ẹửụứng thaỳng AB vaứ DE caột nhau tái F. CMR : D laứ trửùc tãm cuỷa ẹửụứng thaỳng AB vaứ DE caột nhau tái F. CMR : D laứ trửùc tãm cuỷa ∆∆BFC vaứ AE //BFC vaứ AE // FC
FC
5.
5. Cho Cho ∆∆ABC cãn tái A. Veừ caực ủửụứng phãn giaực BD, CEABC cãn tái A. Veừ caực ủửụứng phãn giaực BD, CE a.
a. CMR : BD = CECMR : BD = CE
b.
b. BD caột CE tái I. CMR : BD caột CE tái I. CMR : ∆∆BIC cãn vaứ BIC cãn vaứ ∆∆BIE = BIE = ∆∆CIDCID
c.
c. CMR : AI CMR : AI ⊥⊥ ED vaứ ED // BC ED vaứ ED // BC
6.
6. Cho Cho ∆∆ABC cãn tái A, caực trung tuyeỏn BM, CN caột nhau ụỷ G.ABC cãn tái A, caực trung tuyeỏn BM, CN caột nhau ụỷ G. a.
a. CMR : BM = CN vaứ AG laứ tia phãn giaực cuỷa ÂCMR : BM = CN vaứ AG laứ tia phãn giaực cuỷa  b.
b. Gói I laứ trung ủieồm cuỷa AG vaứ K laứ trung ủieồm CG. Gói I laứ trung ủieồm cuỷa AG vaứ K laứ trung ủieồm CG. CMR : BM, CI, AK ủồng CMR : BM, CI, AK ủồng qui
qui
7.
7. Cho Cho ∆∆ABC cãn tái A. Keỷ trung tuyeỏn AMABC cãn tái A. Keỷ trung tuyeỏn AM
a.
b.
b. ẹửụứng thaỳng qua B vaứ vuõng goực vụựi AB caột AM tái D. Trẽn tia AM laỏy ủieồm ẹửụứng thaỳng qua B vaứ vuõng goực vụựi AB caột AM tái D. Trẽn tia AM laỏy ủieồm E sao cho M laứ trung ủieồm cuỷa DE. CMR : CE // BD
E sao cho M laứ trung ủieồm cuỷa DE. CMR : CE // BD
c.
c. CMR : BC laứ tia phãn giaực cuỷa goực DBECMR : BC laứ tia phãn giaực cuỷa goực DBE (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
d.
d. CMR : BE CMR : BE ⊥⊥ AC AC
8.
8. Cho Cho ∆∆ABC coự ủửụứng trung tuyeỏn BO. Trẽn tia BO laỏy ủieồm D sao cho O laứ ABC coự ủửụứng trung tuyeỏn BO. Trẽn tia BO laỏy ủieồm D sao cho O laứ trung ủieồm cuỷa BD. Gói M laứ trung ủieồm cuỷa BC. ẹửụứng thaỳng DM caột AC tái I vaứ
trung ủieồm cuỷa BD. Gói M laứ trung ủieồm cuỷa BC. ẹửụứng thaỳng DM caột AC tái I vaứ
caột AB tái E.
caột AB tái E.
a.
a. CMR : CD // ABCMR : CD // AB
b.
b. CMR : I laứ tróng tãm cuỷa CMR : I laứ tróng tãm cuỷa ∆∆BCD vaứ AC = 6.IOBCD vaứ AC = 6.IO c.
c. CMR : BE = ABCMR : BE = AB d.
d. BD caột AM tái K . CMR : C, K vaứ trung ủieồm cuỷa AB thaỳng haứngBD caột AM tái K . CMR : C, K vaứ trung ủieồm cuỷa AB thaỳng haứng
9.
9. Cho Cho ∆∆ABC vuõng tái A . Keỷ trung tuyeỏn AM. Trẽn tia ủoỏi cuỷa tia MA laỏy ủieồmABC vuõng tái A . Keỷ trung tuyeỏn AM. Trẽn tia ủoỏi cuỷa tia MA laỏy ủieồm D sao cho MD = MA
D sao cho MD = MA
a.
a. CMR : BA // DC vaứ tớnh soỏ ủo ACÂDCMR : BA // DC vaứ tớnh soỏ ủo ACÂD
b.
b. CMR : CMR : ∆∆ABC = ABC = ∆∆CDACDA c. c. CMR : CMR : AM BC 2 1 = d.
d. Cho AM = 5cm, AB = 6cm, Tớnh ủoọ daứi ACCho AM = 5cm, AB = 6cm, Tớnh ủoọ daứi AC
10.
10. Cho Cho ∆∆ABC cãn tái A coự BH, CK laứ ủửụứng cao.ABC cãn tái A coự BH, CK laứ ủửụứng cao.
a.
a. CMR : CMR : ∆∆ABH = ABH = ∆∆ACK vaứ ACK vaứ ∆∆BKC = BKC = ∆∆CHBCHB
b.
b. Gói I laứ giao ủieồm cuỷa BH vaứ CK. CMR : AI Gói I laứ giao ủieồm cuỷa BH vaứ CK. CMR : AI ⊥⊥ BC vaứ AI laứ tia phãn giaực cuỷa  BC vaứ AI laứ tia phãn giaực cuỷa  c.
c. Gói M laứ trung ủieồm cuỷa BC. CMR : A, I, M thaỳng haứngGói M laứ trung ủieồm cuỷa BC. CMR : A, I, M thaỳng haứng
11.
11. Cho Cho ∆∆ABC vuõng tái A, AB = 12cm, BC = 15cm. Keỷ ủửụứng cao AH. Laỏy ủieồm ABC vuõng tái A, AB = 12cm, BC = 15cm. Keỷ ủửụứng cao AH. Laỏy ủieồm M trẽn ủoán HC . Qua M veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AC caột AH tái D (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
M trẽn ủoán HC . Qua M veừ ủửụứng thaỳng song song vụựi AC caột AH tái D
a.
a. Tớnh ủoọ daứi ACTớnh ủoọ daứi AC b.
b. CMR : HB > HCCMR : HB > HC
c.
c. CMR : BD CMR : BD ⊥⊥ AM AM
12.
12. Cho Cho ∆∆ABC cãn tái A (AB > BC).ẹửụứng trung tuyeỏn cuỷa AB caột BC tái D. I laứ ABC cãn tái A (AB > BC).ẹửụứng trung tuyeỏn cuỷa AB caột BC tái D. I laứ trung ủieồm AB
trung ủieồm AB
a.
a. CMR : BÂD = ACÂBCMR : BÂD = ACÂB
b.
b. Trẽn tia ủoỏi cuỷa tia AD laỏy ủieồm E sao cho AE = CD. CMR : Trẽn tia ủoỏi cuỷa tia AD laỏy ủieồm E sao cho AE = CD. CMR : ∆∆ABE = ABE = ∆
∆CADCAD
c.
c. CMR : CMR : ∆∆BDE cãn vaứ BE > DI BDE cãn vaứ BE > DI
13.
13. Cho Cho ∆∆ABC vuõng tái A, veừ ủửụứng cao AHABC vuõng tái A, veừ ủửụứng cao AH a.
a. CMR : BÂH = BCÂACMR : BÂH = BCÂA
b.
b. ẹửụứng phãn giaực AD cuỷa goực BÂH ( D ẹửụứng phãn giaực AD cuỷa goực BÂH ( D ∈∈ BC ) vaứ ủửụứng phãn giaực cuỷa BC ) vaứ ủửụứng phãn giaực cuỷa goực ACÂB caột nhau tái E. CMR :
goực ACÂB caột nhau tái E. CMR : ∆∆CDE vuõng vaứ CDE vuõng vaứ ∆∆ACD cãnACD cãn
c.
c. AH vaứ CE caột nhau tái I. CMR : DI AH vaứ CE caột nhau tái I. CMR : DI ⊥⊥ AC AC
14.
14. Cho Cho ∆∆ABC coự Â = 64ABC coự Â = 6400 . Hai phãn giaực cuỷa BÂ vaứ C caột nhau tái I . Hai phãn giaực cuỷa BÂ vaứ C caột nhau tái I a.
a. Tớnh BIÂCTớnh BIÂC
b.
b. Keỷ ủửụứng thaỳng qua I // BC caột AB tái M vaứ AC tái N. CMR : Keỷ ủửụứng thaỳng qua I // BC caột AB tái M vaứ AC tái N. CMR : ∆∆BMI vaứ BMI vaứ ∆
c. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
c. CMR : MN = BM + CNCMR : MN = BM + CN
15.
15. Cho Cho ∆∆ABC vuõng tái A, keỷ phãn giaực BD cuỷa B, ẹửụứng thaỳng qua D vuõng goựcABC vuõng tái A, keỷ phãn giaực BD cuỷa B, ẹửụứng thaỳng qua D vuõng goực vụựi BC tái H caột AB tái K
vụựi BC tái H caột AB tái K
a.
a. CMR : CMR : ∆∆ABD = ABD = ∆∆HBD vaứ BD laứ trung trửùc cuỷa AHHBD vaứ BD laứ trung trửùc cuỷa AH
b.
b. CMR : BDCMR : BD⊥⊥ KC vaứ AH // KC KC vaứ AH // KC c.
c. CMR : AH + KC < 2ACCMR : AH + KC < 2AC
16.
16. Cho Cho ∆∆ABC. Hai ủửụứng phãn giaực cuỷa BÂ vaứ CÂ caột nhau tái I. Gói H, K, L lần ABC. Hai ủửụứng phãn giaực cuỷa BÂ vaứ CÂ caột nhau tái I. Gói H, K, L lần lửụùt laứ hỡnh chieỏu cuỷa I xuoỏng BC, AB, AC
lửụùt laứ hỡnh chieỏu cuỷa I xuoỏng BC, AB, AC
a.
a. CMR : CMR : ∆∆IBH = IBH = ∆∆IBKIBK b.
b. CMR : BK + CL = BCCMR : BK + CL = BC
c.
c. Cho AB = 7cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Tớnh AK, ALCho AB = 7cm, AC = 9cm, BC = 12cm. Tớnh AK, AL
17.
17. Cho Cho ∆∆ABC coự Â = 45ABC coự Â = 4500 . Hai ủửụứng cao AD, BE caột nhau tái H . Hai ủửụứng cao AD, BE caột nhau tái H
a.
a. CMR : CH CMR : CH ⊥⊥ AB AB
b.
b. CMR : CMR : ∆∆AEB vaứ AEB vaứ ∆∆HEC vuõng cãnHEC vuõng cãn