Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trên không gian Hilbert H với tích vô hướngh·,·i và chuẩn k · k và cho F : H →H là ánh xạ phi tuyến. Vấn đề về bất đẳng thức biến phân được xây dựng như việc tìm điểm p∗ ∈ C sao cho
hF(p∗), p−p∗i ≥ 0, ∀p ∈ C. (2.25)
Bất đẳng thức biến phân được nghiên cứu ban đầu bởi Stampacchia trong [4] và kể từ đó nó được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như: phương trình vi phân từng phần, điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, lập trình tính toán, cơ khí và tài chính. (xem [4]-[25]-[27]-[12]).
Nó cũng được biết đến nếu F là một L-Lipschitz liên tục và η-đơn điệu mạnh, nếu F thỏa mãn các điều kiện sau đây:
kF(x)−F(y)k ≤ Lkx−yk; hF(x)−F(y), x−yi ≥ ηkx−yk2,
trong đó L và η là các số không đổi, thì (2.25) có duy nhất nghiệm. Khi đó bài toán (2.25) tương đương với việc tìm điểm bất động
p = PC(p−µF(p)), (2.26)
với PC là phép chiếu của phần tử x ∈ H vào C và µ là một số không đổi. Cho {Ti}N
i=1 là họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên C. Việc tìm một phần tử p∈ ∩N
i=1F ix(Ti), Xu và Ori đã giới thiệu trong [11] quá trình lặp với x0 ∈ C và {βk}∞k=1 ⊂ (0,1), dãy {xk} được thành lập như sau:
x1 = β1x0 + (1−β1)T1x1, x2 = β2x1 + (1−β2)T2x2,
xN = βNxN−1 + (1−βN)TNxN,
xN+1 = βN+1xN + (1−βN+1)T1xN+1,
· · · ·
Biểu thức thu gọn là:
xk = βkxk−1 + (1−βk)T[k]xk, k ≥1, (2.27)
trong đó T[n] = Tn modN, với số nguyên n≥ 1, với hàm mod lấy giá trị trong tập {1,2,· · ·, N.}
Họ đã chứng minh được các kết quả sau.
Định lý 2.2.1. Cho H là không gian Hilbert thực và C là tập con lồi đóng
khác rỗng của H. Cho {Ti}N
i=1 là N ánh xạ không giãn từ C vào chính nó sao cho ∩N
i=1F ix(Ti) 6= ∅, trong đó F ix(Ti) = {x ∈ C : Tix = x}. x0 ∈ C và {βk}∞k=1 là dãy số trên (0,1) sao cho limk→∞βk = 0. Khi đó, dãy {xk} xác định bởi (2.27) hội tụ yếu đến một điểm bất động chung của họ các ánh xạ {Ti}N
i=1.
Gần đây, Zeng và Yao nghiên cứu trong [17] đã tìm ra một phương pháp lặp. Cho một phần tử bất kì x0 ∈ H, và dãy {xk}∞k=1 là dãy xác định bởi :
x1 = β1x0 + (1−β1)[T1x1 −λ1µF(T1x1)], x2 = β2x1 + (1−β2)[T2x2 −λ2µF(T2x2)], · · · · xN = βNxN−1 + (1−βN)[TNxN −λNµF(TNxN)], xN+1 = βN+1xN + (1−βN+1)[T1xN+1−λN+1µF(T1xN+1)], · · · ·
Có thể viết biểu thức thu gọn như sau:
xk = βkxk−1 + (1−βk)[T[k]xk−λkµF(T[k]xk)], k ≥ 1. (2.28)
Định lý 2.2.2. Cho H là không gian Hilbert thực và F : H → H là ánh xạ phi tuyến xác định bởi các tham số L, η > 0, F là L-Lipschitz liên tục và η-đơn điệu mạnh. Cho {Ti}N
i=1 là N ánh xạ không giãn từ H vào chính nó sao cho C = ∩N
i=1F ix(Ti) 6= ∅. Cho µ ∈ (0,2η/L2), cho x0 ∈ H,{λk}∞k=1 ⊂ [0,1)
và {βk}∞k=1 ⊂(0,1) thỏa mãn điều kiện: P∞k=1λk < ∞ và α ≤ βk ≤ β, k ≥ 1, với bất kì α, β ∈ (0,1). Khi đó, dãy {xk} xác định bởi (2.28) hội tụ yếu đến một điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn {Ti}N
i=1. Sự hội tụ là hội tụ mạnh nếu lim infk→∞d(xk, C) = 0.
Rất gần đây, Ceng, Wong và Yao [18] đã mở rộng kết quả trên cho họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trên C.
Rõ ràng, từ điều kiện P∞k=1λk < ∞ ta có λk → 0 khi k → ∞. Để có được sự hội tụ mạnh mà không có điều kiện P∞k=1λk < ∞, trong [20] giới thiệu thuật toán lặp như sau:
xt = Ttxt, Tt := T0tTNt ...T1t, t ∈ (0,1), (2.29)
trong đó Tit xác định bởi
Titx = (1−βti)x+βtiTix, i = 1,···, N, T0ty = (I−λtµF)y, x, y ∈ H, (2.30)
I là ánh xạ đơn vị của H, và dãy {λt},{βti} ⊂ (0,1) với mọi t ∈ (0,1) thỏa mãn điều kiện: λt →0 khi t→ 0 và 0< lim inft→0βti ≤ lim supt→0βti < 1, i = 1,· · ·, N.
2.2.2. Các bổ đề cần sử dụng
Bổ đề 2.2.1. (xem [8]). (i)kx+yk2 ≤ kxk2+ 2hy, x+yivà cho bất kỳ số không đổit ∈ [0,1](ii)k(1−t)x+tyk2 = (1−t)kxk2+tkyk2−(1−t)tkx−yk2, ∀x, y ∈
H.
Đặt Tλx = T x−λµF(T x), x ∈ H, λ ∈ [0,1], với bất kì ánh xạ không giãn T trên H, ta có:
Bổ đề 2.2.2. (xem [30]). kTλx−Tλyk ≤ (1−λτ)kx−yk, ∀x, y ∈ H với bất kì số cố định µ ∈ (0,2η/L2), với τ = 1−p1−µ(2η−µL2) ∈ (0,1).
Bổ đề 2.2.3. ( xem [15]). Giả sử T là ánh xạ không giãn của tập con lồi,
đóng K trong không Hibert thực H. Nếu T có điểm bất động, thì I −T là demi- đóng ; có nghĩa là, bất cứ khi nào {xk} là một dãy trong K hội tụ yếu đến một phần tử x ∈ K và dãy {(I −T)xk} hội tụ mạnh đến phần tử y, thì ta có (I −T)x = y.