Cho (M, J) và (M0, J0) là hai đa tạp hầu phức. Khi M được trang bị một hàm độ dài g;dg là kí hiệu cho khoảng cách cảm sinh, và để đơn giản chúng ta sẽ viết: |ξ| thay vì viết g(ξ) với ξ ∈ T M.
Trước hết ta có Bổ đề sau được chứng minh bởi Sikorav [Sk, Mệnh đề 2.3.6, trang 171].
2.2.1. Bổ đề
Cho D là một miền trong Cn. Có một hằng số dương δ0 sao cho với mỗi cấu trúc hầu phức J trong lân cận của D thoả mãn
ta có
kfkC1(∆r) ≤ ckfkC0(∆)
với mỗi f ∈ OJ(∆, D) và mỗi 0 < r < 1, ở đó c là một hằng số dương chỉ phụ thuộc vào r và δ0.
Định lí dưới đây đưa ra một tiêu chuẩn cho tính hyperbolic của một đa tạp hầu phức, tương tự kết quả của Royden [Ro] đã chứng minh trong trường hợp đa tạp phức.
2.2.2. Định lý
Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức, khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) (M, J) là hyperbolic.
(ii) Với mỗi đa tạp hầu phức (M0, J0), họ OJ0,J(M0, M) là đồng liên tục.
(iii) Với mỗi p ∈ M có một lân cận U của p và một hằng số
c > 0 sao cho
KMJ (ξy) ≥ c|ξy|,∀ξy ∈ TyM, y ∈ U.
Chứng minh
(i) ⇒ (ii) : Đây là một hệ quả trực tiếp về tính hyperbolic của (M, J) và tính không tăng của (J0, J)-ánh xạ chỉnh hình đối với giả khoảng cách Kobayashi.
(ii) ⇒ (iii) : Giả sử điều kiện (iii) không thoả mãn, khi đó tồn tại điểm p ∈ M, một dãy (pn) trong M và ξn ∈ TpnM sao cho
limpn = p,
|ξn| = 1, lim
n→∞KMJ (pn, ξn) = 0.
Do đó tồn tại một dãy (Rn) trong R∗+ tiến tới +∞ (1) và một dãy (fn : ∆rn → M) các đường cong J-chỉnh hình với
fn(0) = pn, fn0(0) = ξn.
Cho (gn : ∆ → M) là một dãy các đường cong J-chỉnh hình xác định bởi gn(z) =fn(Rnz). Ta có
gn(0) = pn,
|gn0(0)| = Rn. (2)
Lấy W là một lân cận compact tương đối của p. Từ giả thiết, tồn tại r > 0 sao cho gn(∆r) ⊂ W với n đủ lớn. Theo bổ đề 2.2.1 ta có
kgnkC1(∆r
2) ≤ crkgnkC0(∆r),
từ đó suy ra rằng dãy (|g0n(0)| = Rn) bị chặn. (3) Từ (1); (2); (3) suy ra mâu thuẫn.
Vậy (iii) được thoả mãn.
(iii) ⇒ (i) : Cho p, p0 ∈ M với p 6= p0 và W là một lân cận compact tương đối của p sao cho p0 ∈/ W. Từ kMJ là dạng tích phân của metric vi phân Royden - Kobayashi KMJ (nhận xét 1.4.6), ta có
kMJ (p, p0) ≥ cdg(p, ∂W) > 0. Do đó (M, J) là hyperbolic.
2.2.3. Định nghĩa
Một đa tạp hầu phức (M, J) được gọi là có tính chất Landau nếu với mỗi p ∈ M và với mỗi lân cận compact tương đối W của p, tồn tại một hằng số C > 0 sao cho
sup{ |f0(0)| : f ∈ OJ(∆, M) với f(0) ∈ W} ≤ C.
Hệ quả sau là tương tự kết quả của Hahn-Kim [H-K] đối với các đa tạp phức.
2.2.4. Hệ quả
Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) (M, J) là hyperbolic.
(ii) (M, J) có tính chất Landau
Đặc biệt ta có đặc trưng sau về tính hyperbolic của đa tạp hầu phức compact.
2.2.5. Hệ quả
Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức compact. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) (M, J) là hyperbolic.
(ii) sup{f0(0) : f ∈ OJ(∆, M) < ∞
Chứng minh
Theo Hệ quả 2.2.4 và giả thiết (M, J) là compact nên (i) tương đương với (M, J) có tính chất Landau, theo Định nghĩa 2.2.3 ta suy ra (i) tương đương với (ii). Ta được điều phải chứng minh.
Sử dụng Bổ đề tham số hoá của Brody cho đa tạp hầu phức, ta có định lý sau.
2.2.6. Định lý
Cho (N, J) là một đa tạp hầu phức và M là một tập con compact của N. Khi đó chỉ một trong hai mệnh đề sau xảy ra:
(i) Tồn tại một lân cận mở của M trong N mà là hyperbolic.
(ii) Tồn tại một J-đường thẳng phức khác hằng trong M.
2.3. Đặc trưng của tính chất ∆∗-thác triển đối với đa tạp hầu phức
Kết quả chính trong phần này là: Một đa tạp hầu phức compact là hyperbolic nếu và chỉ nếu nó có tính chất ∆∗-thác triển.
2.3.1. Định nghĩa
Một đa tạp hầu phức (M, J) được gọi là có tính chất ∆∗-thác triển
nếu mọi đường cong giả chỉnh hình
f : ∆∗ →(M, J)
đều thác triển được thành một đường cong giả chỉnh hình
e
f : ∆ →(M, J).
2.3.2. Ví dụ
Trong [H-Kh] Haggui và A.Khalfallah đã chứng minh được rằng: Mỗi đa tạp hyperbolic hầu phức compact đều có tính chất ∆∗-thác triển.
Để chứng minh kết quả chính của phần này, trước hết ta xét mệnh đề sau.
2.3.3. Mệnh đề
Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức. Nếu (M, J) có tính chất ∆∗- thác triển thì (M, J) không chứa J-đường thẳng phức.
Chứng minh
Giả sử rằng tồn tại một đường cong J-chỉnh hình khác hằng σ :C →(M, J) với σ(1) 6= σ(−1). Xét ánh xạ chỉnh hình g từ ∆∗ đến C sao cho g 1 n = (−1)n.
Rõ ràng σ ◦g không thác triển được, do đó (M, J) không có tính chất ∆∗-thác triển. Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy mệnh đề được chứng minh.
Với giả thiết (M, J) là hyperbolic, việc thác triển của các đường cong giả chỉnh hình xác định trên ∆∗ có thể được đặc trưng bởi kết quả sau.
2.3.4. Định lý
Cho (M, J) là một đa tạp hyperbolic hầu phức và u : ∆∗ → (M, J)
là một đường cong J-chỉnh hình. Khi đó u thác triển được nếu và chỉ nếu với mỗi dãy (zk) trong ∆∗ với zk → 0, dãy (u(zk)) nằm trong một tập con compact của M.
Trước khi chứng minh định lý trên, ta xét bổ đề sau.
2.3.5. Bổ đề
Cho (M, J) là một đa tạp hyperbolic hầu phức, u ∈ OJ(∆∗, M) và
Nếu
σk = {z ∈ ∆∗ : |z| = |zk|}
thì
u(σk) →p.
Chứng minh
Ta biết rằng dãy độ dài hyperbolic (l(σk)) thoả mãn l(σk) →0. Do đó, với wk ∈ σk, ta có
kJM(u(wk), u(zk)) ≤ l(σk). Theo tính chất hyperbolic của (M, J) thì
u(σk) →p. Bổ đề được chứng minh.
Chứng minh Định lý 2.3.4
Ta chỉ phải chứng minh điều kiện đủ. Theo giả thiết, có một dãy (zk) thuộc ∆∗ với zk → 0 sao cho (u(zk)) nằm trong một tập compact thuộc M. Bằng cách xét một dãy con, ta có thể giả thiết rằng
u(zk) →p ∈ M.
Giả sử u không thác triển được. Khi đó tồn tại hai lân cận toạ độ địa phương compact tương đối W, U của p sao cho
W ⊂U,
W đồng phôi với hình cầu đơn vị B(p,1) trong Cn, tâm tại p, và có các dãy (z0k) và (zk00) thuộc∆∗ với u(zk0 ) ∈ M\U với mỗi k,zk0 → 0,zk00 →
0 và zk0 < zk00 < |zk|, u(z00k) ∈ ∂W với mỗi k, và u(zk00) →q ∈ ∂W. Cho G là một hàm độ dài trên M. Từ (M, J) là hyperbolic, tồn tại một hằng số c > 0 sao cho
KMJ ≥ cG trên U. (1) Theo Bổ đề 2.3.5, ta có
u(σk) →p, trong đó
σk = {z ∈ ∆∗ :|z| = |zk|}.
Gọi Rk là một vành khuyên mở lớn nhất chứa σk thoả mãn
u(Rk) ⊂W. (2)
Từ u(zk00) →q ∈ ∂W, tồn tại
ak ≥zk00 và bk ≥ zk
sao cho
Rk = {z ∈ C : ak < |z| < bk}.
Ta có thể giả sử rằng ak = zk00. Nếu không, tồn tại một dãy (wk) ⊂ ∆∗ sao cho |wk| = ak và u(wk) →q0 ∈ ∂W. Lấy e Rk = nz ∈ C : zk00 < |z| < |zk|o và ρk = n z ∈ ∆∗ :|z| = zk00 o .
Lại theo Bổ đề 2.3.5, ta có u(ρk) → q. Khi đó, với k đủ lớn ta có u(σk) ⊂B(p, 14),
u(ρk) ⊂U\B(p, 34). Do đó, có các điểm ck ∈ Rek sao cho
u(ck) ∈ ∂B(p, 1 2).
Vì tất cả các đường cong u(Rek) đều chứa trong W, theo Bổ đề về tính đơn điệu của Gromov [Mu] tồn tại các hằng số dương ε0, α sao cho với ε ∈ 0,inf ε0,1 4 , ta có
AreaG(u(Rek)) ≥ AreaG(u(Rek)∩B(u(ck), ε)) ≥ αε2.
Mặt khác, ta ký hiệu Area∆∗(Rek) là diện tích của Rek đối với metric Poincaré trên ∆∗. Khi đó ta có
Area∆∗(Rek) = 2π( 1 log(|zk|) − 1 log(zk00)) →0. Từ (1) và (2) ta nhận được AreaG(u(Rek)) ≤ 1 cArea∆∗(Rek) → 0, suy ra mâu thuẫn. Vậy định lý được chứng minh.
2.3.6. Nhận xét
Trong chứng minh trên đã sử dụng Bổ đề đơn điệu của Gromov thay thế cho lập luận của Noguchi [No] trong đó sử dụng các số Lelong.
Từ các kết quả của Định lý 2.2.6, Định lý 2.3.4 và Mệnh đề 2.3.3 ta có hệ quả sau:
2.3.7. Hệ quả
Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức compact. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) (M, J) là hyperbolic.
2.3.8. Nhận xét
Mỗi đa tạp hyperbolic hầu phức compact đều có tính chất ∆∗-thác triển.
Chứng minh
Cho M là một đa tạp hyperbolic hầu phức compact, G là một hàm độ dài trên M và f : ∆∗ → (M, J) là một đường cong J-chỉnh hình. Theo Định lý 2.2.2, tồn tại một hằng số c > 0 sao cho
KMJ ≥cG, điều đó chỉ ra rằng f0(z) G ≤ 1 cf ∗(KMJ )(z) ≤ 1 cK∆∗(z). Do đó
E(f |∆r) ≤(12c2)R ∆rK∆2∗(z) < ∞ với mỗi r ∈ (0,1). Vậy f thác triển đến một đường cong J-chỉnh hình
e
f : ∆ →(M, J). Ta có điều phải chứng minh.
Kết luận
Luận văn tìm hiểu một số đặc trưng của tính hyperbolic Kobayashi trên đa tạp hầu phức. Cụ thể là trình bày được các kết quả sau:
1. Định lý Brody về đặc trưng của tính hyperbolic trên đa tạp hầu phức compact (Định lý 2.1.2).
2. Một số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic của đa tạp hầu phức. (Định lý 2.2.2, Hệ quả 2.2.4, Hệ quả 2.2.5, Định lý 2.2.6).
3. Chứng minh tính hyperbolic tương đương với tính chất ∆∗-thác triển trên đa tạp hầu phức compact (Hệ quả 2.3.7).
Đề tài có thể tiếp tục nghiên cứu phát triển theo các hướng:
+) Tìm thêm các đặc trưng mới cho tính hyperbolic của đa tạp hầu phức.
+) Mở rộng tương tự như trong trường hợp phức như tính nhúng hyperbolic hay tính hyperbolic yếu.
Tài liệu tham khảo
[Ba] T.J. Barth,The Kobayashi distance induces the standard topol- ogy, Proc. Amer. Math. Soc. 35 (1972), 439-440.
[Br] R.Brody, Compact manifolds and hyperbolicity, Trans. Amer. Math. Soc. 235 (1978), 213-219.
[D] R. Dabalme, Kobayashi hyperbolicity of almost complex mani- folds, Pul. Irma, Lille 1999.
[H-Kh] F. Haggui and A.Khalfallah,Some characterizations of hyper- bolic almost complex manifolds, Annales Polonici Mathematici (to appear).
[H-Ki] T.K Hahn and T.K.Kim, Hyperbolicity of a complex mani- fold and other equivalent properties, Proc. Amer. Math. Soc. 91 (1984), 49-53.
[Kr] B. Kruglikov, Existence of close pseudoholomorphic disks for almost complex and their application to the Kobayashi-Royden pseudonorm, Funct. Anal. Appl. 33 (1999), 38-48.
[La] S.Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer - Verlag, NY, 1987.
[Mu] M.P. Muller, Gromov’s Schwarz lemma, in: Holomorphic Curves in Symplectic Geometry, M.Audin and J. Lafontaine (eds), Birkhauser, Basel, 1994, 217-231.
[Ro] H.Royden, Remarks on the Kobayashi metric, in Lecture Note in Math. 185, Springer, 1971, 125-137.
[Sk] J.Sikorav, Some properties of holomorphic curves in almost complex manifolds, Holomorphic curves in symplectic geometry (M.Audin and J. Lafontaine, eds), Birkhauser, Basel, 1994, pp.165- 189.