III.1. BÀI TẬP CƠ BẢN
BT1: Xác định biên độ, chu kì, tần số, pha ban đầu của các dao động sau: a) 2 cos( ) 2 sin( ) ( , ) 3 6 x= πt−π + πt+π cm s b) 4 cos (22 ) 2 ( , ) 6 x= πt−π − cm s c) 3 6 sin (42 ) ( , ) 3 x t π cm s π = − − d) x=4sin (42 πt) (cm s, )
BT2: Một quả cầu gắn vào lò xo làm lò xo biến dạng 4cm khi treo thẳng đứng. Lấy g = π2 = 10m/s2
a) Tìm chu kì dao động? b) Xác định số dao động toàn phần trong 10s.
BT3:Một quả cầu m = 1kg gắn vào lò xo độ cứng k dao động với phương trình: 4 cos(10 ) ( , ) 4
x t π cm s
π
= −
a) Xác định k? b) Tìm li độ khi t = 1,5 (s)
BT4: Một quả cầu m1 dao động với chu kì T1 = 3(s), khi gắn quả cầu m2 dao động với chu kì T2 = 4(s). Tính chu kì dao động khi gắn cả m1 và m2?
BT5: Một quả cầu m dao động với chu kì T1 = 2,5(s). Hỏi khi khối lượng quả cầu giảm 0,2% thì chu kì dao động là bao nhiêu?
BT6: Một quả cầu khi gắn vào lò xo độ dài tự nhiên 30cm dao động với chu kì T = 2(s). Nếu cắt bỏ lò xo còn 20cm thì chu kì dao động của nó là bao nhiêu?
BT7:Hai lò xo cùng chiều dài l0 có độ cứng lần lượt là k1; k2 lần lượt mang vật nặng khối lượng m = 200g thì dao động với chu kì lần lượt là T1 = 0,6(s) và T1 = 0,8(s).
a) Nối 2 lò xo với nhau để được lò xo dài gấp đôi rồi treo vật khối lượng m vào thì chu kì dao động là bao nhiêu? Muốn chu kì dao động là 1( 1 2)
2
a
T = T +T thì phải tăng, giảm khối lượng vật như thế nào?
b) Nối 2 đầu lò xo với nhau để được lò xo dài l0 rồi treo vật khối lượng m vào thì chu kì dao động là bao nhiêu? Muốn chu kì dao động là Tb = 0,6s thì phải tăng, giảm khối lượng vật như thế nào?
BT8: Một lò xo có chiều dài tự nhiên l0 = 20cm mang vật nặng m đặt trên mặt phẳng nghiêng nhẵn, hợp với mặt phẳng ngang một góc 300. Biết khi cân bằng lò xo có chiều dài l = 21,25cm. Lấy g = π2 = 10m/s2. Tính chu kì dao động của vật?
BT9: Một vật khối lượng m= 2kg gắn vào 2 lò xo có độ cứng k1; k2 mắc song song thì chu kì dao động của vật là T =2π/3 (s). Nếu nối tiếp 2 lò xo này thì chu kì dao động là T’ = 3T
2. Tính k1 và k2?
III.2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG Tìm A; φ; ω
BT10: Một quả cầu khối lượng m = 1kg gắn vào lò xo độ cứng k = 40N/cm treo thẳng đứng. Lấy g = π2 = 10m/s2.
a) Tìm độ biến dạng của lò xo?
b) Từ vị trí cân bằng đưa quả cầu đến vị trí lò xo bị nén 4,75cm rồi buông tay để m chuyển động theo chiều dương, chọn t = 0 lúc buông tay, gốc tọa độ ở vị trí cân bằng. Viết phương trình chuyển động của vật?
BT11: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Từ vị trí cân bằng người ta kéo quả cầu để lò xo dãn thêm 10cm rồi buông tay thì thấy trong 1 phút quả cầu qua vị trí cân bằng 240 lần. Chọn chiều dương hướng lên, gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, t = 0 lúc buông tay. Viết phương trình chuyển động?
BT12: Một hệ dao động gồm quả cầu khối lượng m =100g treo vào lò xo có độ cứng k = 400N/m theo phương thẳng đứng. Từ vị trí cân bằng kéo dãn lò xo một đoạn 5cm rồi buông nhẹ.
a) Viết phương trình chuyển động của vật khi chọn t = 0 lúc buông tay, gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều (+) hướng lên.
b) Tính số dao động thực hiện trong 1 phút.
BT13: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có quả cầu khối lượng m = 1kg, độ cứng k = 100N/m. Từ vị trí cân bằng kéo dãn lò xo thêm 10cm và truyền cho quả cầu vận tốc 1m/s hướng về vị trí cân bằng. Chọn chiều dương hướng xuống. a) Viết phương trình dao động? b) Xác định quãng đường di chuyển của m trong 2π s.
BT14 Một hệ dao động gồm quả cầu gắn vào lò xo có độ cứng k = 10N/m treo thẳng đứng. a) Tính khối lượng của vật biết rằng nó thực hiện 360 dao động trong 1 phút.
b) Chọn t = 0 khi quả cầu qua vị trí cân bằng theo chiều dương với vận tốc 1,8884m/s. Viết phương trình dao động.
BT15: Một lò xo khi treo vật nặng m1= 1kg có chiều dài 1m, khi treo vật nặng m2 = 3kg có chiều dài 101cm. Cho
g = 10m/s2.
a) Xác định độ cứng của lò xo.
b) Lò xo trên được gắn với quả cầu khối lượng m = 200g rồi cho dao động từ vị trí cách vị trí cân bằng 5cm,
chuyển động ra xa vị trí cân bằng theo chiều dương với vận tốc 5 3 /m s. Viết phương trình dao động. c) Tính li độ, vận tốc của vật tại thời điểm t = 1,5π (s)
BT16: Một chất điểm dao động với biên độ 10cm, tần số 20Hz. Chọn gốc thời gian khi vật cách vị trí cân bằng 5cm, chuyển động về phía cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động.
BT17: Một quả cầu khối lượng m =100g gắn vào lò xo có độ cứng k = 100N/m dao động thẳng đứng. Biết rằng khi
t = 0,5s quả cầu có li độ x = 4cm và có vận tốc v= −40π 3(cm s/ ). Viết phương trình dao động.
BT18: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T = 1s. Lúc t = 2,5s vật nặng qua li độ x= −5 2cm và có vận tốc v= −10π 2cm s/ . Viết phương trình dao động.
III.3. TÌM THỜI ĐIỂM VẬT CÓ LI ĐỘ x = x0 giải pt lượng giác hoặc sử dụng đường tròn lượng giác.
BT19: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình: 2 cos(4 )
4
x= πt−π cm
. Xác định thời điểm chất điểm qua vị trí có li độ x= 2cm lần thứ 2 và lần thứ 5. Tính vận tốc chất điểm ở 2 thời điểm trên.
BT20: Một vật dao động điều hòa với phương trình: 10 cos(5 )
3
x= πt−π cm
. Xác định thời điểm vật nặng qua li độ
x = 5cm lần thứ 2 và đi theo chiều dương.
BT21: Một chất điểm dao động điều hòa trên đoạn thẳng AB dài 20cm. Thời gian đi từ A đến B là 0,25s. Chọn t = 0 khi vật ở A, gốc tọa độ tại O là trung điểm AB, chiều dương từ A đến B.
a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Gọi M là trung điểm OB, xác định tốc độ trung bình chất điểm đi từ A đến M và thời điểm chất điểm đi qua M trong chu kì thứ 2.
BT22: Một hệ dao động điều hòa gồm quả cầu khối lượng m = 400g treo vào lò xo có độ cứng
k = 100N/m theo phương thẳng đứng. Từ vị trí cân bằng kéo vật để lò xo bị dãn 12cm rồi buông nhẹ. Lấy g = π2 = 10m/s2.
a) Viết phương trình dao động của vật. Chọn t = 0 khi buông tay, gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng lên.
b) Xác định thời điểm lò xo không bị biến dạng lần đầu tiên.
III.4. NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG
BT23: Quả cầu gắn vào lò xo thẳng đứng. Ở vị trí cân bằng lò xo dãn 9cm. Kích thích quả cầu dao động theo phương thẳng đứng, động năng của quả cầu ở li độ 3cm là 0,032J. Lấy g = π2 = 10m/s2.
1. Tính chu kì dao động. 2. Tính độ cứng lò xo.
3. Chọn gốc thời gian là lúc quả cầu đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương: a) Viết phương trình dao động.
b) Xác định thời điểm khi động năng của vật bằng 3 lần thế năng trong chu kì đầu tiên.
BT24: Lò xo có độ cứng k = 100N/m treo thẳng đứng có độ dài l0 = 40cm. Treo vào đầu lò xo một vật có khối lượng m = 1kg rồi kích thích cho vật dao động điều hòa.Ta thấy chiều dài nhất của lò xo là
lM = 55cm.
a) Hãy tính độ lớn của vận tốc của vật khi lò xo dài l = 54cm. b) Tìm chiều dài lò xo khi động năng bằng 3 lần thế năng.
BT25: Một lò xo khối lượng không đáng kể, độ dài tự nhiên l0 = 20cm, độ cứng k = 200N/m. Đầu trên O của lò xo được giữ cố định, người ta treo vào đầu dưới của lò xo một vật A khối lượng m = 200g. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống.
1/ Vật A dao động thẳng đứng với vận tốc cực đại 62,8cm/s. Viết phương trình dao động của vật A và tính khoảng cách cực đại cực tiểu từ điểm O tới vật A.Lấy g = π2 = 10m/s2.
k1 k2 m 8 4 x(cm) 1 t (s)
2/ Lấy một lò xo khác giống hệt lò xo trên và nối tiếp hai lò xo với nhau. Treo vật A vào đầu dưới của lò xo rồi cho dao động. Biết cơ năng của vật A trong trường hợp này vẫn bằng co năng của nó ở câu 1/. Viết phương trình dao động của A và tính khoảng cách cực đại, cực tiểu từ vật A đến điểm treo.
BT26: Một vật dao động điều hòa với biên độ 8cm, tần số 5Hz. Tính li độ, tốc độ của vật khi động năng của vật bằng 1/3 lần thế năng.
BT27: Một con lắc lò xo khối lượng m = 500g dao động điều hòa với chu kì T = 0,5s, biên độ A = 10cm. Tính động năng của vật khi pha dao động là 2π/3rad.
BT28: Một con lắc lò xo có vật khối lượng m = 400g dao động điều hòa với phương trình: 8 cos(5 )
6
x t π cm
π
= − . Tính thế năng đàn hồi của lò xo và động năng của vật khi t=1,2s.
III.5. LỰC KÉO VỀ - LỰC ĐÀN HỒI LÒ XO
BT31: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có khối lượng quả cầu m = 0,5kg dao động với phương trình: 10 cos(10 )
x= πt−π cm. Lấy g=π2=10( /m s2). Tính lực đàn hồi của lò xo khi: a) Quả cầu ở vị trí thấp nhất.
b) Quả cầu ở vị trí cao nhất.
BT32: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 40N/m, khối lượng quả cầu m = 0,1kg treo thẳng đứng. Lấy g =π2=10( /m s2). Kéo quả cầu để lò xo dãn thêm 5cm rồi buông tay để nó chuyển động theo chiều dương. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, t=0 khi buông tay.
a) Viết phương trình chuyển động của con lắc. b) Tính động năng, thế năng đàn hồi khi t = π/3s. c) Tính lực kéo về và lực đàn hồi của lò xo khi t = 2/3s.
BT33: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có tỉ số lực đàn hồi lớn nhất và nhỏ nhất trong quá trình dao động là 3. Biết biên độ dao động là A = 4,5cm. Tính chu kì dao động (Lấy 2
10
π = )
BT34: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa có phương trình: 10 cos(10 ) 2
x t π cm
π
= − , khối lượng quả cầu là m = 0,5kg. Cho g=10( /m s2). Hãy tính lực tác dụng vào điểm treo lò xo khi:
a) Quả cầu cân bằng.
b) Quả cầu ở vị trí cao nhất, thấp nhất. c) t = 2/3(s). Chiều dương hướng xuống.
BT35: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, dao động theo phương trình: 10 cos(2 )
3
x t π cm
π
= − . Lò xo có độ cứng
k. Vật có khối lượng m = 1kg, kích thước không đáng kể. Lấy g=π2=10( /m s2). Tìm lực đẩy đàn hồi cực đại của lò xo. Tính khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 đến thời điểm lực đàn hồi đạt giá trị cực đại lần thứ nhất và quãng đường của vật trong khoảng thời gian đó.
BT36:Cho hệ cơ như hình vẽ: các lò xo có độ cứng k1 = 40N/m và k2 = 60N/m, khối lượng không đáng kể, khối lượng vật m = 0,25kg. Khi vật m cân bằng thì tổng độ dãn 2 lò xo là 5cm. Đưa m về vị trí lò xo k1không bị biến dạng và truyền cho vật vận tốc 0,8m/s theo chiều dương để m dao động. Bỏ qua mọi ma sát.
1/ Tìm độ biến dạng của mỗi lò xo khi hệ cân bằng. Chứng tỏ m dao động điều hòA.
2/ Tìm phương trình dao động của m. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, t=0 khi vật bắt đầu chuyển động. 3/ Xác định vị trí vật m mà tại đó tỷ số độ lớn của lực đàn hồi của lò xo k2và k1 là 3/8.
III.6. TÍNH QUÃNG ĐƯỜNG ĐI SAU THỜI GIAN ∆t
BT29: Một chất điểm dao động điều hòa với phương trình: 10 cos(2 )
3
x t π cm
π
= − .
1/ Tính quãng đường đi được của chất điểm sau thời gian:
a) 4s b) 2,5s c) 3,25s d) 7/3s
2/ Tính quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 2,5s đến t2 = 10/3s.
BT30: Một vật dao động điều hòa có li độ được biểu diễn như hình vẽ: a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Vẽ giãn đồ diễn tả sự thay đổi vận tốc của vật. c) Tính quãng đường vật đi được sau thời gian 10/3s.
III.7. CHU KÌ CON LẮC ĐƠN
BT37: Một con lắc đơn chiều dài l = 1m đặt tại một nơi dao động điều hòa với chu kì T = 2s. Tính chu kì dao động của các con lắc đơn đặt tại đó có chiều dài lần lượt là: 121cm; 81cm.
BT38:Tại cùng một nơi có 3 con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì lần lượt là T1, T2, T3. Chiều dài các con lắc đơn lần lượt là: l1, l2, l3.
a) Biết T1 = 0,6s, T2 = 0,8s, l3 = l2 – l1. Tính T3? b) Nếu l3 = l2 + l1thì T3 = 0,529s. Tính T1, T2?
BT39: Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2s.
a) Muốn con lắc đơn dao động với chu kì T1 = 1,5s thì phải tăng (giảm) chiều dài bao nhiêu phần trăm? b) Muốn chu kì tăng 20% thì phải tăng (giảm) chiều dài thế nào?
BT40: Tại một nơi có 2 con lắc đơn dao động điều hòa. Sau thời gian t số dao động toàn phần của chúng thực hiện lần lượt là n1 = 54 dao động và n2 = 36 dao động. Biết chiều dài chúng lệch nhau là 75cm. Tính chiều dài mỗi con lắc.
BT41: Một con lắc đơn chiều dài 20cm treo tại một nơi cố định. Kéo con lắc khỏi phương thẳng đứng một góc bằng 0,1rad về phía bên phải rồi truyền cho con lắc một vận tốc đầu bằng 14cm/s theo phương vuông góc với dây về vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động theo li độ cong của con lắc. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng về phía cân bằng phía bên phải, gốc thời gian là lúc con lắc đi qua vị trí cân bằng lần thứ nhất. Lấy
2 10( / 2)
g=π = m s .
BT42: Một con lắc đơn chiều dài 64cm. Từ vị trí cân bằng kéo vật để dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc 0,1rad và truyền một vận tốc cho vật là 8cm/s hướng về vị trí cân bằng để vật bắt đầu chuyển động theo chiều dương (vectơ vận tốc nằm trong mặt phẳng thẳng đứng). Bỏ qua mọi lực cản. Lấy g =10( /m s2).
a) Viết phương trình dao động theo góc lệch của con lắc.
b) Tìm góc lệch của dây treo khi động năng của vật bằng 1,25 lần thế năng của nó.
III.8. ĐỘ BIẾN ĐỔI CHU KÌ CỦA CON LẮC ĐƠN (Do thay đổi nhiệt độ hay độ cao)
BT43: Con lắc đồng hồ chỉ đúng giờ ở mặt đất. Đưa đồng hồ lên cao 640m thì mỗi ngày đồng hồ chạy nhanh chậm như thế nào? Giả sử nhiệt độ không thay đổi.
BT44: Con lắc đồng hồ chỉ đúng giờ ở mặt đất ở nhiệt độ 200C.Dây treo có hệ số nở dài α=2.10 (−5 K−1).
a) Đưa đồng hồ lên cao 640m thì trong một ngày đêm đồng hồ nhanh chậm bao nhiêu? Giả sử nhiệt độ không đổi, bán kính Trái đất là R = 6400km.
b) Thực ra cứ lên 100m so với mặt đất thì nhiệt độ giảm 0,60C. Tìm thời gian nhanh (chậm) của đồng hồ trong