xạ đơn trị
Sử dụng các định lý về điểm cực tiểu trong không gian tích ta nhận được nguyên lý biến phân Ekeland véctơ cho ánh xạ đơn trị theo bài báo[12]
Ta bổ sung vàoY một phần tử ∞ không thuộc không gianY để được không gian Y• :=Y ∪{∞} . Ta xét y6K∞,∀y ∈Y. Bây giờ ta xét hàm f : X →Y•. Miền xác định của f làdom f ={ x∈X|f(x)6=∞} ; trên đồ thị của f làepi f =
{(x,y)∈X×Y|f(x)6K y}; đồ thị của f là gph f ={(x,f(x))|x∈dom f}. Ta nói f là không tầm thường (proper) nếu domf 6= /0. Với y∗ ∈ K+ ta đặt (y∗◦
f)(x):= +∞vớix∈X\dom f.
Định lý 3.4.1. Giả sử rằng (X,d) là một không gian mêtric đầy đủ, Y là một không gian véctơ thực và K ⊂Y là một nón lồi thật sự. Cho F thỏa mãn các điều kiện (F1)−(F3) và f :X →Y• có ít nhất một giá trị hữu hạn ( proper) .Giả sử rằng z∗◦ f (với z∗ thỏa mãn (F3)) bị chặn dưới và điều kiện sau được thỏa mãn
(H3)Với mỗi dãy{xn} ⊂dom f màxn→x∈X và
f(xn)∈ f(xn+1) +F(xn+1,xn) +K
với mọin∈N có f(xn)∈ f(x) +F(x,xn) +K với mọin∈N.
Khi đó, với mỗix0∈dom f tồn tạix∈dom f sao cho f(x0)∈ f(x)+F(x,x0)+
K và
∀x∈dom f : f(x)∈ f(x) +F(x,x) +K ⇒x=x
Chứng minh. ĐặtA:=gph f :={ (x,f(x))|x∈dom f } . Lấy dãy{(xn,yn)} ⊂A mà xn →x ∈X. Ta có, x ∈dom f và yn = f(xn) . Từ (H3), ta có yn = f(xn)∈
f(x) +F(x,xn) +K,∀n.
Đặt f(x) = y, ta có yn ∈y+F(x,xn) +K,∀n. Suy ra, (x,y)4K(xn,yn),∀n. Vậy∃y= f(x)∈Y sao cho(x,y)4K(xn,yn),∀n. Hay (H1) được thỏa mãn.
Áp dụng Định lý 3.2.8, với (x0,y0)∈ A tồn tại một phần tử cực tiểu (x,y)
củaAsao cho(x,y)4F,z∗(x0,y0). Ta cóx∈dom f.
Vì(x,y)4F,z∗(x0,y0)nên (x,y)4F(x0,y0). Suy ra,y0∈y+F(x,x0) +K hay f(x0)∈ f(x) +F(x,x0) +K.
Giả sử rằng f(x)∈ f(x) +F(x,x) +K vớix∈dom f, tức là y∈y+F(x,x) +K,
hay (x,y)4F(x,y). Suy ra (x,y)4F,z∗(x,y). Mà (x,y) là phần tử cực tiểu nên
(x,y) = (x,y). Vậy với mọix∈dom f mà f(x)∈ f(x)+F(x,x)+Kthìx=x.
Nhận xét 3.4.2. Như với Định lý3.2.8, trong định lý trên ta có thể giả sử rằng z∗ bị chặn dưới trên tập
KẾT LUẬN
Nguyên lý biến phân Ekeland đã được rất nhiều nhà toán học nghiên cứu và mở rộng. Trong bản luận văn này, chúng tôi trình bầy lại một số mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland cho các ánh xạ đơn trị và đa trị từ không gian mêtricX vào không gian véctơY đã được các tác giả Ch.Tammer, C.Zălinescu, Y.Araya, Trương Xuân Đức Hà nghiên cứu trong các bài báo [3],[10],[12] qua 3 chương.
• Chương 1trình bày Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển (1974) .
• Chương 2 trình bày mở rộng của Nguyên lý biến phân Ekeland cho ánh xạ đơn trị sử dụng vô hướng hóa và cho ánh xạ đa trị sử dụng quan hệ thứ tự bộ phận trên không gian2Y.
• Chương 3 trình bày một số mở rộng của nguyên lý biến phân Ekeland véctơ thông qua định lý về sự tồn tại của điểm cực tiểu của một tập trong không gian tíchX×Y.
Tài liệu tham khảo
[1] Hoàng Tụy,Bài giảng lý thuyết tối ưu, Viện toán học Việt Nam (2003). [2] Nguyễn Đông Yên , Giáo trình giải tích đa trị, Nhà xuất bản Khoa học tự
nhiên và công nghệ (2007).
[3] Y. Araya, Ekeland’s variational principle and its equivalent theorems in vector optimization, J. Math. Anal. Appl. 346 (2008), 9-16. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[4] T. Q. Bao, B. S. Mordukhovich,Variational principles for set-valued map- pings with applications to multiobjective optimization, Control Cybernet. 36 (2007), 531-562
[5] T. Q. Bao, B. S. Mordukhovich, Relative Pareto minimizers for multiob- jective problems: existence and optimality conditions, Math. Program. 122 (2010), no. 2, Ser. A, 301-347.
[6] I. Ekeland, On the variational principle, J. Math. Anal. Appl. 47 (1974), 324-353.
[7] A. Gopfert, H.Riahi, Chr. Tammer, C. Zălinescu,¨ Variational Methods in Partially Ordered Spaces, CMS Books in Mathematics 17, Springer, New York, 2003.
[8] A. Gopfert, Chr. Tammer, C. Zălinescu,¨ On the vectorial Ekeland’s varia- tional principle and minimal points in product spaces, Nonlinear Anal. 39 (2000), 909-922.
[9] C. Gutiérrez, B. Jiménez, V. Novo, A set-valued Ekeland’s variational principle in vector opitimization, SIAM J. Control Optim. 47 (2008), 883- 903.
[10] T. X. D. Ha, Some variants of the Ekeland variational principle for a set- valued map, J.Optim. Theory Appl. 124 (2005), 187-206.
[11] A. H. Hamel, Chr. Tammer, Minimal elements for product orders, Opti- mization 57 (2008), 263-275.
[12] Chr. Tammer, C. Zălinescu, Vector variational principle for set-valued functions, Martin - Luther Universitat, Halle - Wittenberg Institut f¨ ur¨ Mathematik, Report No.17 (2009).
[13] M. Turinici,Maximal elements in a class of order complete metric spaces, Math. Japonica 25 (1980), 511-517.
[14] C. Zălinescu,Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scientific, Singapore, 2002.