Phân tích độ nhạy của nghiệm hữu hiệu

2 ĐỘ NHẠY VÀ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO NGHIỆM CỦA

2.4 Phân tích độ nhạy của nghiệm hữu hiệu

Với mỗi giá trị của tham số nhiễu π ∈ Π ta xét bài toán tối ưu vectơ nhiễu sau đây:

(V OPπ) min F(x, π), G(x, π) = 0, H(x, π) ∈ Rm−,

trong đó

(F, G, H) : X ×Π →Y ×Z ×Rm,

với X, Y, Z,Π là không gian Banach thực, X phản xạ. Tập chấp nhận được của bài toán (V OPπ) là

Hàm Lagrange của bài toán (V OPπ) là L(x, π, λ, u, v) =hλ, F(x, π)i +hu, G(x, π)i+ m X i=1 vihi(x, π). Định nghĩa 2.5

Cho π∗ ∈ Π. Ta nói rằng x∗ ∈ S(π∗) thỏa mãn điều kiện độ nhạy đủ

(SSC)σ của (V OPπ∗) nếu x∗ thỏa mãn (SC)σ của định nghĩa 2.3 đối với

(V OPπ∗), tức là tồn tại λ∗ ∈ Λσ, u∗ ∈ Z∗, v∗ ∈ Rm

+ và α > 0 sao cho các quan hệ sau đây đúng:

(i) Điều kiện dừng và điều kiện bù:

∇xL(x∗, π∗, λ∗, u∗, v∗) = 0, vi∗hi(x∗, π∗) = 0,∀i ∈ {1, . . . , m};

(ii) h∇2

xL(x∗, π∗, λ∗, u∗, v∗)ξ, ξi ≥ αkξk2,∀ξ ∈ Ker∇x(G, HI)(x∗);

(iii) Điều kiện bù chặt:

v∗i > 0, ∀i ∈ I = I(x∗, π∗) = {i ∈ {1, . . . , m} : hi(x∗, π∗) = 0}.

Hơn nữa, ta giả sử các điều kiện sau đây đúng: (iv) Tính chính quy: F, G, H, ∂ 2F ∂x2, ∂ 2G ∂x2 , ∂ 2H ∂x2 , ∂ 2F ∂x∂π, ∂2G ∂x∂π, ∂2H ∂x∂π

liên tục trong một lân cận của (x∗, π∗). (v) Điều kiện chính quy:

B = ∇x(G, HI)(x∗) ∈ L(X, Z ×R|I|)

là toàn ánh.

Ta có thể giả sử rằng bài toán không nhiễu là (V OPπ∗), và nó ứng với

π = π∗. Kết quả tiếp theo chỉ ra rằng với điều kiện (SSC)σ, điểm chấp nhận được của bài toán không nhiễu là điểm σ- hữu hiệu địa phương và

bảo toàn tính chất này sau một nhiễu nhỏ. Định lý 2.4

Giả sử x∗ ∈ S(π∗) thỏa mãn (SSC)σ của (V OPπ∗) với nhân tử La- grange (λ∗, u∗, v∗). Khi đó:

(i) x∗ là nghiệm σ-hữu hiệu địa phương của bài toán không nhiễu

(V OPπ∗).

(ii) Tồn tại một lân cận Ω ⊂ Π×Y∗ của (π∗, λ∗) và C1 ánh xạ duy nhất

Ω∩(Π×Λσ) →X ×Z∗ ×Rm,

(π, λ) 7→(x(π, λ), u(π, λ), v(π, λ)),

(π∗, λ∗) 7→(x∗, u∗, v∗)

sao cho x(π, λ) ∈ S(π) thỏa mãn (SSC)σ của (V OPπ) với các nhân tử La- grange là (λ, u(π, λ), v(π, λ)). Như vậy với mỗi (π, λ) gần (π∗, λ∗), x(π, λ)

là nghiệm σ- hữu hiệu địa phương của bài toán nhiễu (V OPπ).

Chứng minh

Để chứng minh định lý này, trước tiên ta trình bày một kết quả về độ nhạy cho bài toán nhiễu vô hướng. Đây là một tổng quát hóa vô hạn chiều của định lý Fiacco [9].

Giả sử P, X, Z là các không gian Banach thực, X phản xạ và ánh xạ:

X × P 3 (x, p) 7→ (f(x, p),G˜(x, p),H˜(x, p)) ∈ R×Z ×Rm.

Với mỗi giá trị của tham số nhiễu p ∈ P, xét bài toán tối ưu nhiễu vô hướng: ( ˜Pp) min f(x, p), ˜ G(x, p) = 0 ˜ H(x, p) ∈ Rm−

bởi ˜ L(x, p, u, v) = f(x, p) +hu,G˜(x, p)i + m X i=1 vi˜hi(x, p).

Ta giả sử rằng bài toán không nhiễu là ( ˜Pp∗) ứng với p = p∗. Trong trường hợp vô hướng này, các điều kiện (SSC)σ được mô tả bởi định nghĩa dưới đây.

Định nghĩa 2.6

Ta nói rằng x∗ ∈ S˜(p∗) thỏa mãn điều kiện(SC)của bài toán vô hướng

( ˜Pp∗) nếu x∗ thỏa mãn (SSC)σ trong trường hợp riêng Y = R,Π = P và

F = f với λ∗ = 1.

Kết quả tiếp theo là một tổng quát hóa vô hạn chiều định lý của Fiacco [9].

Bổ đề 2.3

Cho x∗ ∈ S˜(p∗) thỏa mãn (SC) của ( ˜Pp∗) với các nhân tử Lagrange

(u∗, v∗). Khi đó,

(a) x∗ là cực tiểu địa phương chặt của bài toán vô hướng không nhiễu

( ˜Pp∗) và các nhân tử Lagrange (u∗, v∗) là duy nhất.

(b) Tồn tại lân cận Ω˜ ⊂ P của p∗ và hàm khả vi liên tục duy nhất

Ω →X ×Z∗ ×Rm, p7→ (x(p), u(p), v(p)), p∗ 7→ (x∗, u∗, v∗),

sao cho x(p) ∈ S˜(p) thỏa mãn điều kiện (SC) của ( ˜Pp) và có các nhân tử Lagrange duy nhất (u(p), v(p)). Như vậy với mọi p ∈ Ω˜, x(p) là cực tiểu địa phương chặt của bài toán vô hướng nhiễu ( ˜Pp).

Chứng minh

(a) Ta biết rằng xem [3] x∗ là cực tiểu địa phương chặt. Với mỗi phần tử :

ta kí hiệu

η0 = (u, vI) ∈ Z∗ ×R|I|,

trong đó I là tập chỉ số các ràng buộc tích cực của bài toán không nhiễu

( ˜Pp∗) tại x∗ và

LI(x, p, η0) = f(x, p) +hu,G˜(x, p)i+X

i∈I

vi˜hi(x, p).

Mỗi nhân tử Lagrange thỏa mãn

∂f /∂x(x∗, p∗) +B∗η0 = 0, vi = 0,∀i /∈ I,

trong đó B∗ ∈ L(W∗, X∗) là liên hợp của toán tử B và W∗ = Z∗×R|I| là đối ngẫu của W = Z ×R|I|. Do B là toàn ánh [điều kiện (v)] và điều này kéo theo tính đơn ánh của B∗, ta suy ra tính duy nhất của η∗ = (u∗, v∗).

(b) Tiếp theo, sử dụng định lý hàm ẩn ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất của hàm khả vi liên tục:

p 7→(x, η0) = (x(p), η0(p)),

thỏa mãn quan hệ dưới đây với mọi p gần p∗:

∇xL˜I(x, p, η0) = 0, (2.9) ˜ G(x, p) = 0, (2.10) ˜ hi(x, p) = 0,∀i ∈ I (2.11) (x(p∗), η0(p∗)) = (x∗, η0∗). (2.12) Ta chỉ cần chứng minh tính song ánh của toán tử Jacobian theo (x, η0), tại điểm x∗, p∗, η0∗ của hàm đã được xác định hệ trên. Đặt

A= ∇2xL˜(x∗, p∗, η∗) =∇2xL˜I(x∗, p∗, η0∗).

Ta sẽ chỉ ra rằng toán tử Jacobian sau là song ánh:

J = A B∗ B 0 ∈ L(X ×W∗, X∗ ×W). (2.13)

Giả sử (x, z) ∈ KerJ. Khi đó: Ax+B∗z = 0, Bx = 0. Vì vậy, x ∈ KerB,hAx, xi+hB∗z, xi = 0. Do đó, hAx, xi = 0,

và điều kiện (ii) kéo theo x = 0. Khi đó, do tính đơn ánh của B∗, ta nhận được z = 0.

Như vậy J là đơn ánh.

Bây giờ ta xét (y, w) ∈ X∗ ×W. Ta sẽ chỉ ra rằng hệ:

Ax+ B∗z = y, (2.14)

Bx = w, (2.15)

có nghiệm (x, z) ∈ X × W∗. Bởi vì B là toàn ánh, ta có thể tìm được

x0 ∈ X sao cho (2.15) thỏa mãn. Đặt

x = x0+x00,với x00 ∈ KerB,

và cố định x0. Bởi vì Bx = w, ta chỉ cần tìm được x00 ∈ KerB, z ∈ W∗

sao cho

Ax” +B∗z = y −Ax0.

Như vậy, ta phải chỉ ra:

Γ =X∗, (2.16)

trong đó

Γ = AKerB +B∗(W∗) =AKerB + (KerB)⊥,

bởi vì B là toàn ánh kéo theo :

trong đó

(KerB)⊥ = {χ ∈ X∗ : hχ, ξi = 0,∀ξ ∈ KerB}.

xem [3]. Trước hết ta chứng minh Γ là tập con đóng của X∗. Xét dãy

γ(i) = Aξ(i)+χ(i) ∈ Γ, với ξ(i) ∈ KerB, χ(i) ∈ (KerB)⊥, γ(i) hội tụ tới phần tử γ ∈ X∗. Ta có hγ(i)−γ(j), ξ(i)−ξ(j)i = hA(ξ(i)−ξ(j)), ξ(i) −ξ(j)i ≥ α||ξ(i) −ξ(j)||2. Từ đó α||ξ(i)−ξ(j)|| ≤ ||γ(i)−γ(j)||.

Do đó, dãy (ξ(i))i hội tụ tới phần tử ξ. Từ đó suy ra dãy (χ(i))i cũng hội tụ tới phần tử χ. Nhưng KerB và (KerB)⊥ là đóng, nên

γ = Aξ +χ ∈ Γ.

Vậy Γ là đóng. Bây giờ ta giả sử rằng Γ 6= X∗, khi đó tồn tại γˆ ∈

Γ⊥ \ {0}. Nhưng do tính phản xạ của X nên γˆ ∈ X \ {0}. Như vậy ∀ξ ∈ KerB và z ∈ W∗, Ta được:

hAξ,γˆi = 0, hB∗z,γˆ = 0i. (2.17) Do vậy

hz, Bˆγi = 0, ∀z ∈ W∗.

Sử dụng hệ quả của định lý Hahn- Banach, ta nhận được Bγˆ = 0, tức là γˆ ∈ KerB. Hơn nữa, khi lấy ξ = ˆγ trong (2.17), từ điều kiện (ii) ta nhận được một mâu thuẫn: γˆ = 0. Do đó, Γ = X∗ và như vậy J là toàn ánh.

Theo định lý hàm ẩn, tồn tại duy nhất một hàm khả vi liên tục, xác định gần p∗ vào X ×W∗,

p7→ (x, η0) = (x(p), η0(p)) = (x(p), u(p), vI(p)),

thỏa mãn (2.9)- (2.12). Hơn nữa, do tính liên tục và điều kiện độ bù chặt (iii), với mọi p gần p∗ ta có

vi(p) > 0, ∀i ∈ I.

Với mọi p gần p∗, ta đặt

vi(p) = 0, ∀i /∈ I.

Tính liên tục kéo theo: ∀p gần p∗, điều kiện (iv) thỏa mãn và

hi(x(p), p) < 0, ∀i /∈ I.

Khi đó, x(p) ∈ S˜(p) và thỏa mãn (i), (iii), (iv) của ( ˜Pp) có các nhân tử Lagrange là (u(p), v(p)) và tập chỉ số ràng buộc tích cực không phụ thuộc

p, tức là

I(x(p), p) =I = I(x∗, p∗).

Mặt khác, ta biết rằng xem [3]: tập các toán tử toàn ánh là một tập mở trong không gian L(X, W). Do đó, điều kiện (v) đúng với ∀(x(p), p), với

p gần p∗.

Bây giờ, để kết thúc chứng minh, ta sẽ chỉ ra rằng x(p) thỏa mãn (ii), tức là với mỗi p gần p∗, tồn tại số α(p) > 0 sao cho

hApξ, ξi ≥ α(p)||ξ||2,∀ξ ∈ KerBp, (2.18) trong đó

Ap = ∇2xL˜(x(p), p, u(p), v(p)), Bp = ∇x( ˜G,h˜I)(x(p), p).

Theo bổ đề Hoffmann xem [2], tồn tại hằng số k1 > 0 sao cho

Điều này tương đương với việc nói rằng tồn tại hằng số k2 > 0 (k2 > k1) sao cho mỗi ξ ∈ X có thể viết được

ξ = ξ0+ξ00, với ξ ∈ KerB và ||ξ00|| ≤ k2||Bξ||.

Ta lấy ξ ∈ KerBp. Do Bpξ = 0, ta nhận được:

||ξ00|| ≤ k2||B −Bp||||ξ||. (2.19)

Mặt khác,

hApξ, ξi = hAξ, ξi+h(Ap−A)ξ, ξi

≥ hAξ, ξi − ||Ap−A||||ξ||2, (2.20)

và

hAξ, ξi = hAξ0, ξ0i+ 2hAξ0, ξ00i+hAξ00, ξ00i.

Do đó

hAξ, ξi ≥ α||ξ0||2 − ||ξ00||(2||A||||ξ0||+||A||||ξ00||);

Nhưng từ (2.19) và do ||ξ0|| ≤ ||ξ||+||ξ00||, ta có

(2||A||||ξ0||+ ||A||||ξ00||) ≤k3||ξ||

với k3 là hằng số không phụ thuộc ξ. Ta xét ptrong lân cận của p∗ sao cho

k2||B −Bp|| ≤1/2. Khi đó do (2.19) và ||ξ0|| ≥ ||ξ|| − ||ξ00||, ta nhận được ||ξ0|| ≥(1/2)||ξ||. Do đó, hAξ, ξi ≥ (1/4)α|ξ||2 −k2||B −Bp||||ξ||2k3. (2.21) Từ (2.20)- (2.21) ta suy ra (2.18) đúng với α(p) = (1/4)α−k2k3||B −Bp|| − ||Ap−A||,

và α(p) > 0, với p gần p∗. Do đó điều kiện (ii) thỏa mãn tại x(p). Như vậy

x(p) thỏa mãn (SC). Bổ đề 2.3 được chứng minh.

Bây giờ ta quay lại chứng minh định lý 2.4 . Ta xét bài toán vô hướng hóa (V OPπ) sau đây

(Pλπ) minhλ, F(x, π)i

x ∈ S(π).

Áp dụng bổ đề 2.3 cho

f(x, p) = hλ, F(x, π)i,G˜(x, p) =G(x, π),H˜(x, p) = H(x, π),

với P = Π×Y∗, p = (π, λ).

Trong trường hợp này, (Pλπ) là ( ˜Pp). Hơn nữa, x ∈ S(π) thỏa mãn

(SC) của bài toán vô hướng (Pλπ) với λ ∈ Λσ, tham số nhiễu (π, λ) và các nhân tử Lagrange (u, v), khi và chỉ khi x thỏa mãn (SSC)σ của (V OP)π

với nhân tử Lagrange (λ, u, v) và tham số nhiễu π.

Nếu ta đặt Ω = ˜Ω, thì rõ ràng ánh xạ cho trong định lý là hạn chế trên Ω∩(Π×Λσ) của ánh xạ đang xét trong bổ đề. Sử dụng (2.3) và nhận xét 2.1, suy ra kết luận cần chứng minh của định lý.

Bây giờ ta trình bày độ nhạy Lipschitz.

Xét bài toán vectơ nhiễu (V OPπ) trong trường hợp X = Rn, Z =

Rs, G = (g1, . . . , gs). Không gian nhiễu là Π = Rq. Điều kiện Jittorntrum có thể phát biểu trong trường hợp vectơ như sau:

Định nghĩa 2.7

Ta nói rằng điểm x∗ ∈ S(π∗) thỏa mãn (SSC0)σ của (V OPπ∗) nếu x∗

thỏa mãn (SC0)σ [điều kiện (i)-(ii) từ định nghĩa 2.4 ] và các điều kiện sau:

(iii) Các hàm F, gj, hi là lớp C2 với (x, π) trong lân cận của (x∗, π∗)

(iv) Các vectơ {∇xgj(x∗, π∗),∇xhi(x∗, π∗), j = 1, . . . , s,∀i ∈ I} là độc lập tuyến tính.

Nhận xét 2.11

Trong trường hợp hữu hạn chiều, điều kiện (v) của (SSC)σ tương đương với điều kiện (iv) của (SSC0)σ.

Định lý 2.5

Cho điểm x∗ ∈ S(π∗) thỏa mãn (SSC0)σ của (V OPπ∗) với các nhân tử Lagrange (λ∗, u∗, v∗) cho bởi (i) của (SC0)σ. Khi đó,

(i) x∗ là nghiệm σ- hữu hiệu địa phương của bài toán không nhiễu

(V OPπ∗).

(ii) Tồn tại lân cận Ω ⊂Rq×Y∗ của (π∗, λ∗) và ánh xạ Lipschitz duy nhất:

Ω∩(Rq ×Λσ) →Rn×Rs×Rm,

(π, λ) 7→(x(π, λ), u(π, λ), v(π, λ)),

(π∗, λ∗) 7→(x∗, u∗, v∗)

có đạo hàm theo phương (một phía) cấp 1 tại (π∗, λ∗) theo mọi phương sao cho x(π, λ) ∈ S(π) và thỏa mãn điều kiện (SSC0)σ của (V OPπ) với các nhân tử Lagrange (λ, u(π, λ), v(π, λ)). Như vậy với mỗi (π, λ) gần

(π∗, λ∗), x(π, λ) là một nghiệm σ- hữu hiệu địa phương của bài toán nhiễu

(V OPπ).

Chứng minh

Chứng minh dựa trên kết quả độ nhạy của bài toán vô hướng của Jittorntrum.

Ta xét bài toán vô hướng tham số (P˜

p) . Trong trường hợp hữu hạn chiều bài toán này có thể được viết lại như sau:

( ˜Pp) min f(x, p),

gj(x, p) = 0, ∀j = 1, . . . , s,

với X = Rn và P = Rl. Điều kiện Jittorntrum ở đây là (SCJ) tương tự điều kiện (SSC0)σ với λ∗ = 1.

Định lý 2.6 ([11])

Cho x∗ ∈ S˜(p∗) thỏa mãn (SCJ) của bài toán (P˜

p∗) với các nhân tử Lagrange (u∗, v∗) cho bởi (i) từ định nghĩa 2.4. Khi đó,

(a) x∗ là điểm cực tiểu địa phương chặt của bài toán không nhiễu (P˜p∗)

và các nhân tử (u∗, v∗) là duy nhất.

(b) ∀p gần p∗, tồn tại duy nhất ánh xạ liên tục p 7→ (x(p), u(p), v(p))

sao cho (x(p∗), u(p∗), v(p∗)) = (x∗, u∗, v∗) và có đạo hàm theo phương cấp 1 tại p∗ theo mọi phương và thỏa mãn (SCJ) của (P˜

p). Như vậy, x(p) là cực tiểu địa phương chặt của bài toán nhiễu (P˜p) với các nhân tử Lagrange (u(p), v(p)).

||(x(p), u(p), v(p))−(x∗, u∗, v∗)|| ≤ L||p−p∗||.

Chứng minh định lý 2.5 cũng tương tự như chứng minh định lý 2.4 . Điểmx thỏa mãn (SSC0)σ của (V OPπ) khi và chỉ khi x thỏa mãn (SCF)

cho ( ˜Pp) ≡ (Pπ

λ) với tham số nhiễu p = (π, λ). Như vậy, có thể kiểm tra mọi giả thiết của định lý Jittorntrum đúng với bài toán vô hướng (Pπ

λ) và sử dụng (2.3) với nhận xét 2.1 ta suy ra kết luận của định lý 2.5.

Nhận xét 2.12

Ta có thể thấy từ (2.1) rằng định lý 2.4 và 2.5 cũng đúng cho các nghiệm hữu hiệu khi xét với σ = p.

Kết luận

Luận văn đã trình bày các kết quả nghiên cứu về độ nhạy của đỉnh hữu hiệu và diện hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu tuyến tính cùng với các kết quả về độ nhạy Fréchet và độ nhạy Lipschitz của nghiệm hữu hiệu của bài toán đa mục tiêu phi tuyến với các hàm khả vi Fréchet.

Đối với bài toán đa mục tiêu tuyến tính, luận văn trình bày các điều kiện đảm bảo sau một nhiễu nhỏ, một đỉnh hữu hiệu và một diện hữu hiệu vẫn tương ứng là một đỉnh hữu hiệu và một diện hữu hiệu của bài toán nhiễu.

Đối với bài toán đa mục tiêu phi tuyến với dữ liệu khả vi Fréchet, luận án trình bày các điều kiện đảm bảo nghiệm hữu hiệu của bài toán thuộc lớp C1 hoặc Lipschitz địa phương theo tham số nhiễu.

Nghiên cứu độ nhạy của nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu là đề tài thời sự, cần được tiếp tục nghiên cứu và phát triển.

Tài liệu tham khảo

Tài liệu tiếng Việt

[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, (2000),Giải tích lồi , NXB Khoa học và kỹ thuật Hà nội.

[2] Đỗ Văn Lưu, (1999), Lý thuyết các điều kiện tối ưu, NXB Khoa học và kỹ thuật Hà nội.

Tài liệu tiếng Anh

[3] Alexée, V., Tikhomirov, V., M. and Fomin, S. (1982), Commande optimale , MIR, Moscow, Russia.

[4] Benson, H., P. (1983), Efficient and Proper effciency in vector Maxi- mization with respect to cones, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 93, pp 273- 289.

[5] Bolitinéanu, S. and Craven, B. D. (1992), Linear multicriteria sensitivity and shadow costs, Optimization 26, 115- 127.

[6] Bolitinéanu, S. and El Maghri, M. (1998) , Second order effciency conditions and sensitivity of efficient points,Journal of Optimization Theory and Applications , 98(3), 569-592.

[7] Dantzig, G. B., Orden, A. and Wolfe, P. (1955), The generalized sim- plex algorithm for minimizing a linear form under linear inequality restraints, Pacific Journal of Mathematics . 5, 183- 195.

[8] El Maghri, M. (2002), Degenerate linear multicriteria sensitivity, Op- timization . 51(1), 93-108.

[9] Fiacco,A. (1983), Introduction to sensitivity and stability analysis in nonlinear programming, Academic Press, New York, New York.

[10] Ioffe, A., D. and Tikhomirov, V., M. (1979), Theory of extremal prob- lems, North Holland Publishing Company, Amsterdam, Netherlands.

[11] Jittorntrum, K. (1984), Solution point differentiability without strict complementarity in nonlinear programming, Mathematical Program- ming Studies, Vol 21, pp 127 - 138.

[12] Luc, D., T. (1989), Theory of vector optimization , Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer Verlag, Berlin, Ger- many.

[13] Murty, K. G. (1983), Linear programming ,Wiley & Sons, New York. [14] Yu, P. L(1985), Multiple- Criteria decision making, Plenum, New