Phép biến đổi laplace của hàm f(t) đ−ợc định nghĩa nh− sau:
∫ +∞ ∞ − − = f t e dt
L[f](s) ( ) ts và phép biến đổi laplace ng−ợc là:
∫∞ + ∞ − π = c i st 1 - ds e s f j 2 1 [f](t) L ( )
+ L = laplace(F): Biến đổi Laplace của hàm F với biến độc lập mặc định là t. Kết quả trả về là một hàm của s. Nếu F = F(s) thì Laplace trả về một hàm của t: L = L(t). Theo định nghĩa, L(s) = int(F(t)*exp(-s*t),0,inf) và phép tích phân đ−ợc thực hiện với t.
+ L = laplace(F,t): L là một hàm của t thay thế biến mặc định s. L = laplace(F,t) <=> L(t) = int(F(x)*exp(-t*x),0,inf)
+ L = laplace(F,w,z): L là hàm của z và F là hàm của w, nó thay thế các biến symbolic mặc định s và t t−ơng ứng. L = laplace(F,w,z) <=> L(z) = int(F(w)*exp(-z*w),0,inf) Ví dụ: >>syms t v x a >>f = t^4 >>laplace(f) ans = 24/s^5 >>g=1/sqrt(s) >>laplace(g) ans = 1/s^(1/2)*pi^(1/2) >>f=exp(-a*t) >>laplace(f,x) ans= 1/(x + a)
>>f=1- cos(t*v) >>laplace(f,x)
ans = 1/x-x/(x^2+v^2)
• Biến đổi laplace ng−ợc
+ F = ilaplace(L): là phép biến đổi laplace ng−ợc của hàm vô h−ớng L với biến độc lập mặc định s. Kết quả trả về mặc định của phép biến đổi ng−ợc này là một hàm của t. Phép biến đổi laplace ng−ợc đ−ợc áp dụng cho một hàm của s và trả về một hàm của t: L=L(t) =>F=F(s). Nếu L=L(s) thì ilaplace(L) trả về một hàm của x: F = F(x). Theo định nghĩa, F(t) = int(L(s)*exp(s*t),s,c-i*inf,c+i*inf) trong đó c là một số thực, phép tích phân đ−ợc thực hiện đối với s.
+ F = ilaplace(L,y): F là hàm của y thay thế biến mặc định t. ilaplace(L,y) <=> F(y) = int(L(y)*exp(s*y),s,c-i*inf,c+i*inf).
+ F = ilaplace(L,y,x): F là hàm của x và L là hàm của y, nó thay thế các biến symbolic mặc định t và s.
ilaplace(L,y,x) <=> F(y) = int(L(y)*exp(x*y),y,c-i*inf,c+i*inf), phép tích phân đ−ợc thực hiện đối với biến y.
Ví dụ : >>syms s a t >>f=1/s^2 >>ilaplace(f) ans = t >>g=1/(t-a)^2 >>ilaplace(g) ans = x*exp(a*x) >>syms u a x >>f=1/(u^2-a^2) >>ilaplace(f,x)
ans = 1/(-a^2)^(1/2)*sin((-a^2)^(1/2)*x) >>syms s v x >>f=s^3*v/(s^2+v^2) >>ilaplace(f,v,x) ans = s^3*cos(s*x) 5.5.3- Phép biến đổi Z và Z ng−ợc
Phép biến đổi Z (một phía) của hàm f(n) đ−ợc định nghĩa nh− sau:
∑∞ = − = 0 n n z n f z f Z[ ]( ) ( )
ký hiệu Z[f] ám chỉ phép biến đổi z của f tại z. Phép biến đổi z có các cú pháp nh− sau:
F = ztrans(f) là biến đổi z của đại l−ợng vô h−ớng f với biến độc lập n. Kết quả trả về mặc định là một hàm của z: f = f(n) => F = F(z).
Biến đổi z của f đ−ợc định nghĩa nh− sau: F(z) = symsum(f(n)/z^n, n, 0, inf), trong đó n là biến độc lập của f do hàm findsym quyết định. Nếu f = f(z), thì ztrans(f) trả về một hàm của w: F = F(w).
+ F = ztrans(f,w) trả về F là một hàm của biến symbolic w thay vì biến độc lập mặc định z: ztrans(f,w) <=> F(w) = symsum(f(n)/w^n, n, 0, inf).
+ F = ztrans(f,k,w): f là hàm của biến symbolic k thay vì biến độc lập mặc định: ztrans(f,k,w) <=> F(w) = symsum(f(k)/w^k, k, 0, inf).
Ví dụ:
>>syms k n w z
>>ztrans(2^n) kết quả là: z/(z-2)
>>ztrans(sin(k*n),w) kết quả là: sin(k)*w/(1-2*w*cos(k)+w^2)
>>ztrans(cos(n*k),k,z) kết quả là: z*(-cos(n)+z)/(-2*z*cos(n)+z^2+1) >>ztrans(cos(n*k),n,w) kết quả là: w*(-cos(k)+w)/(-2*w*cos(k)+w^2+1) >>ztrans(sym('f(n+1)')) kết quả là: z*ztrans(f(n),n,z)-f(0)*z
• Phép biến đổi z ng−ợc
Phép biến đổi z ng−ợc của một hàm g(z) tại n đ−ợc định nghĩa nh− sau:
∫ = − − π = R z 1 n 1 dz z z g i 2 1 n g Z | | ) ( ) ](
[ , trong đó n = 1,2,… và R là một số nguyên d−ơng sao
cho hàm g(z) giải tích trên và bên ngoài đ−ờng tròn |z| = R. Ký hiệu Z-1[f] có nghĩa là biến đổi z của f tại n. Phép biến đỏi z ng−ợc th−ờng đ−ợc dùng để giải ph−ơng trình vi phân.
+ f = iztrans(F) là biến đổi z của đại l−ợng vô h−ớng F theo biến độc lập mặc định là z. Kết quả trả về mặc định là một hàm của n: F = F(z) => f = f(n). Nếu F = F(n), thì iztrans(F) trả về một hàm của k: f = f(k).
f = iztrans(F,k): f là một hàm của k thay vì biến độc lập mặc định n.
f = iztrans(F,w,k): F là một hàm của w và trả về một hàm của k: F=F(w)&f=f(k).
Ví dụ:
>>iztrans(z/(z-2)) kết quả là 2^n >>iztrans(exp(x/z),z,k) kết quả là x^k/k!
5.5.4- Chuyển ph−ơng trình hệ số sang ph−ơng trình tham số
Để chuyển ph−ơng trình hệ số sang ph−ơng trình tham số, sử dụng lệnh poly2sym. Lệnh này chuyển đa thức hệ số thành đa thức symbolic.
poly2sym(C) trả về một đa thức theo biến x với các hệ số là các phần tử của véctơ C.
poly2sym(C,'V') và poly2sym(C,sym('V') trả về một đa thức theo biến đ−ợc xác định ở đối số thứ hai với các hệ số là các phần tử của véc tơ C. Ví dụ:
>>poly2sym([1 0 -2 -5]) ans = x^3-2*x-5
>>t = sym('t') >>poly2sym([1 0 -2 -5],t) ans = t^3-2*t-5 >> y = [1 2 3 0 1] y = 1 2 3 0 1 >> poly2sym(y) ans = x^4+2*x^3+3*x^2+1
* Chuyển từ ph−ơng trình tham số sang ph−ơng trình hệ số:
Sử dụng lệnh sym2poly để chuyển đa thức symbolic thành véc tơ các hệ số của đa thức.
Lệnh sym2poly (P) trả về một véc tơ hàng chứa các hệ số của đa thức symbolic P. Ví dụ:
>>sym2poly(x^3 - 2*x - 5) và kết quả trả về [1 0 -2 -5].
5.5.5- Tìm hàm ng−ợc
Để tìm hàm ng−ợc của một hàm symbolic f nào đó ta sử dụng lệnh finverse(f).
+ g = finverse(f) trả về hàm ng−ợc của f, f là một symbol vô h−ớng biểu diễn một hàm một biến symbolic x. Thì g là một symbol vô h−ớng thoả mãn: g(f(x)) = x.
+ g = finverse(f,v) sử dụng biến symbolic v trong đó v là một symbol nh− là biến độc lập. Thì g là một symbol thoả mãn: g(f(v)) = v. Cú pháp này đ−ợc sử dụng khi f chứa nhiều hơn một biến symbolic. Ví dụ:
Ví dụ:
>>syms u v x y >>finverse(1/tan(x)) ans = atan(1/x)
>>finverse(exp(u-2*v),u) ans = 2*v+log(u) >>f = x^2+y; >>finverse(f,y) ans = -x^2+y. >>finverse(f)
Warning: finverse(x^2+y) is not unique.
> In C:\matlabR12\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43 ans =
(-y+x)^(1/2)
Lệnh finverse(x^2+y) mà không xác định biến độc lập là y thì xuất hiện một cảnh báo (Warning: finverse(x^2+y) is not unique) là hàm ng−ợc của f theo x là không duy nhất.
Mục lục Nội dung trang Phần 1 - Cơ sở Matlab... 1
Ch−ơng 1 – Khái niệm chung ... 1
1.1- Giới thiệu ... 1
1.2- Cài đặt ch−ơng trình:... 3
1.2.1- Khởi động windows. ... 3
1.2.2- Tiến hành cài đặt ... 3
1.2.3- Nhập thông tin của ng−ời dùng và Personal License Password. ... 4
1.2.5- Hoàn thành cài đặt ... 5
1.3- Môi tr−ờng làm việc của Matlab... 6
1.3.1- Khởi động và thoát khỏi Matlab... 6
1.3.2- Cửa sổ lệnh của Matlab (Matlab Command Window) ... 8
1.3.3- Không gian làm việc của Matlab (Matlab Workspace)... 11
Ch−ơng 2 - Các menu của MATLAB ... 13
2.1- Menu File ... 13
2.2- Menu Edits: ... 19
2.3- Menu View: ... 21
2.4- Menu Window:... 21
Ch−ơng 3 - Các khái niệm cơ bản ... 22
3.1-Một số phím chuyên dụng và lệnh thông dụng ... 22
3.2- Biến trong MATLAB... 23
3.2.1- Tên biến: ... 23
3.2.2- Một số lệnh với biến: ... 23
3.2.4- Biến toàn cục (global variables) ... 24
3.3- Các phép toán trong matlab... 25
3.3.1- Phép toán số học: ... 25
3.3.2- Thứ tự −u tiên trong phép toán số học:... 26
3.3.3- Các phép toán quan hệ và phép toán logic ... 26
3.3.4- Các ví dụ: ... 30
3.4- Số phức và các phép toán về số phức... 31
3.4.1- Biểu diễn số phức: ... 31
3.4.2- Các phép toán đối với số phức:... 31
3.5- Sử dụng các file lệnh (lập trình M-file) ... 32
3.6 - Dòng nhắc gán giá trị các biến:... 32
3.7- Cách tạo một hàm:... 35
3.8- Vẽ các hàm... 36
3.9- L−u và lấy dữ liệu: ... 37
3.10- Cấu trúc câu lệnh điều kiện: ... 38
3.11- Cấu trúc vòng lặp... 41 3.12- Một số hàm toán học: ... 43 ch−ơng 4 - Ma trận và các phép toán về ma trận ... 46 4.1- Khái niệm: ... 46 4.1.1- Các qui định để định nghĩa một ma trận: ... 47 4.1.2- Các cách để nhập một ma trận: ... 47 4.1.3- Hiển thị lại ma trận: ... 49 4.2- Xử lý trong ma trận: ... 50 4.2.1- Tạo véctơ:... 50 4.2.2- Gọi các phần tử trong ma trận. ... 50 4.2.3- Gọi 1 ma trận con từ một ma trận lớn. ... 52
4.3- Các ma trận đặc biệt: ... 52 4.3.1- Ma trận zeros... 52 4.3.2- Ma trận ones.... 53 4.3.3- Ma trận ma ph−ơng Magic ... 53 4.3.4- Ma trận eye. ... 53 4.3.5- Ma trận Pascal:... 54 4.4- Các phép toán vector ... 54 4.4.1- Các phần tử là các số thực:... 54 4.4.2- Các phần tử là các số phức. ... 55 4.4.3- Các phần tử là các tham số:... 56 4.5- Các phép toán về ma trận ... 56 4.5.1- Phép chuyển vị ... 56 4.5.2- Phép nghịch đảo ma trận ... 58 4.5.3- Phép cộng - trừ ma trận.( + , - )... 58 4.5.4- Phép nhân, chia ma trận: ... 59
4.5.5- Phép luỹ thừa và số mũ của ma trận... 62
4.5.6- Phép quay ma trận... 63
4.5.7- Phép đảo ma trận... 64
4.5.8- Tính định thức ma trận ... 64
4.6- ứng dụng các phép toán ma trận ... 64
4.6.1- Nhân đa thức ... 64
4.6.2- Giải ph−ơng trình bậc cao ... 65
4.6.3- Biết nghiệm tìm lại ph−ơng trình ... 66
4.6.4- Giải hệ ph−ơng trình tuyến tính: ... 66
Ch−ơng 5 – Symbolic toolbox... 69
5.2- Các phép tính ... 71
5.2.1- Đạo hàm ... 72
5.2.2- Tích phân... 72
5.2.3- Tìm giới hạn ... 74
5.2.4- Tính tổng của dãy số symbolic... 74
5.2.5- Khai triển taylor ... 76
5.3- Đơn giản hoá biểu thức và thay thế ... 77
5.3.1- Gom số hạng, biến ... 77
5.3.2- Khai triển biểu thức... 78
5.3.3- Phân tích biểu thức thành thừa số... 78
5.3.4- Đơn giản biểu thức ... 80
5.3.5- Thay thế ... 82
5.3.6- Biểu diễn biểu thức symbolic d−ới dạng toán học... 83
5.4- Giải ph−ơng trình... 84
5.4.1- Giải ph−ơng trình đại số... 84
5.4.2- Ph−ơng trình vi phân ... 86
5.5- Phép Biến đổi tích phân... 86
5.5.1- Biến đổi fourier và fourier ng−ợc ... 86
5.5.2- Biến đổi laplace và laplace ng−ợc ... 89
5.5.3- Phép biến đổi Z và Z ng−ợc ... 91
5.5.4- Chuyển ph−ơng trình hệ số sang ph−ơng trình tham số ... 92