3.1 Nhập ma trận trong Matlab
3.1.1 Các Cách nhập matrận trong Matlab
Matlab cung cấp một vμi ph−ơng tiện cho ng−ời sử dụng để tạo ra một matrận, mỗi ph−ơng tiện có những −u điểm của nó vμ đ−ợc sử dụng tuỳ theo từng yêu cầu bμi toán.Nói chung Matlab cung cấp ba ph−ơng tiện.
• Nhập Matrận trực tiếp từ cửa sổ command Window.
• Nhập Matrận từ một file( sử dụng M-file hoặc load)
• Nhập matrận từ những hμm có sẵn trong Matlab. ạ Nhập Matrận trực tiếp từ cửa sổ command Window
Trong môn học toán cao cấp chúng ta đã biết nhập một matrận nh− sau A=
Đây lμ một ma trận có số hμng m = 3 vμ số cột n= 3 1 2 3
4 5 6 7 8 9
Để nhập matrận trên trong Matlab ta nhập trực tiếp nh− sau Từ dòng nhắc lệnh trong cửa sổ command Window >> ta nhập >> A=[ 1,2,3 ; 4 5 ,6;7 8 9]; hoặc >>A=[ 1 2 3
4 5 6 7 8 9]; 7 8 9];
Các hμng đ−ợc cách nhau bằng một dấu chấm phẩy (;) nh− trên,các phần tử trong một hμng đ−ợc cách nhau bằng dấu cách(thanh space) hoặc dấu phẩy(,) . Kết thúc dòng lệnh có hoặc không có dấu ;
Nếu không có dấu chấm phẩy ở cuối dòng thì Matlab sẽ in ra kết quả matrận vừa nhập Nh− ví dụ trên:
>> A=[ 1,2,3 ; 4 5 ,6;7 8 9] nhấn Enter sẽ cho kết quả lμ A=
1 2 3 4 5 6 4 5 6
Trong tr−ờng hợp số phần tử trên một hμng quá dμi ta có thể xuống dòng bằng dấu ba chấm ...
Ví dụ >> b=[1,2,3,4,...
L−u ý rằng trong một số tr−ờng hợp matrận hoặc mảng dữ liệu dμi thì việc không thêm dấu chấm phẩy sau câu lệnh nhập, Matlab sẽ in ra số liệu dμi trong cửa sổ command Window, gây khó nhìn cho ng−ời dùng
b. Nhập Matrận từ M-file
Ta có thể nhập một matrận bằng cửa sổ soạn thảo M-file, mở cửa sổ nμy bằng cách vμo File- New- M-filẹ Một cửa sổ soạn thảo sẽ đ−ợc hiện ra cho phép bạn soạn thảo d−ới dạng text, do lμ cửa sổ soạn thảo dạng text cho nên bạn có thể soạn thảo từ file word sau đó copy vμo cửa sổ M-filẹĐể nhập matrận ta soạn thảo t−ơng tự nh− trong cửa sổ command window sau đó l−u vμo file nh− sau:
Ví dụ:
A=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7, 8,9];% không có dấu chấm phẩy sẽ in ra kết quả
Cũng t−ơng tự nh− trên nếu số phần tử trên một hμng quá nhiều thì ta có thể xuống dòng A=[1 2 3 4 ...
5 6 7 8 9 10];
Sau khi kết thúc soạn thảo ta l−u vμo tên_file .
Để thực thi các lệnh nhập trong M-file ta dùng lệnh sau trong command window nh− sau: >> ten_file ;
c. Nhập matrận từ các hμm có sẵn
Matlab có một th− viện các hμm cho phép tạo ma trận.Sau đây lμ một số hμm
• ones(m,n) tạo ma trận m hμng vμ n cột ,với các phần tử đều bằng 1, ones(m) tạo ma trận vuông cấp m, với các phần tử đều lμ 1.
• zeros(m,n) tạo ma trận kích th−ớc m x n, với các phần tử đều bằng 0, zeros(m) tạo ma trận vuông cấp m.
• eyes(m,n) tạo ma trận kích th−ớc m xn với các phần tử đều bằng 1, eyes(m) tạo ma trận vuông cấp m . ví dụ: ones(2,3) ans= 1 1 1 1 1 1 eyes(2,3) ans= 1 0 0 0 1 0 zeros(2,3) ans= 0 0 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
0 0 0 3.2 Ma trận số phức
Số phức trong matlab đ−ợc viết nh− sau: Ví dụ số phức 3+4*i dùng i để chỉ số ảo >> a=3+ 4*i
a=
3+ 4*i
Nếu muốn ii để chỉ số ảo Ta định nghĩa ii= sqrt(-1) Sau đó bạn viết:
>> a=3+ 4*ii a=
3+ 4*i
>>A=[ 1+2*i , 3+4*i ; 5+6*i, 4+5*i ] A=[ 1+2*i 3+ 4*i
5+6*i 4+5*i ] 3.3 Tạo vec tơ
Khi ta cần khảo sát đặc tính của đồ thị nμo đó trong một khoảng xác định, khoảng xác định nμy đ−ợc biểu diễn d−ới dạng vectơ
Ví dụ khảo sát đặc tính đồ thị trong khoảng x=1 đên 100 >> x= 1:100; % x lấy giá trị từ 1 đên100, b−ớc tăng của x lμ 1 >>t=0: 0.1 : 10;% b−ớc nhảy lμ của t lμ 0.1
Công thức chung tạo vec tơ lμ X=Xmin : b−ớc_tăng: Xmax 3.4 Truy nhập các phần tử của ma trận
Đê truy nhập các phần tử của ma trận ta lμm nh− sau: Giả sử ma trận A= Thì >> Ăi,j) ; sẽ truy nhập đến phần tử hμng thứ i vμ cột thứ j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ví dụ để truy nhập đến phần tử thứ nhất ta : >> Ă1,1) ans= 1
Đặc biệt để gọi toμn bộ số hμng hoặc toμn bộ số cột dùng toán tử (:) >> Ă:,1) % gọi toμn bộ số hμng t−ơng ứng với cột 1
1 4 7
>>Ă1,:) % gọi toμn bộ số cột t−ơng ứng hμng 1 ans=
2 3
>> Ă1:2,1) % gọi hμng 1 đến hμng 2 t−ơng ứng với cột thứ nhất ans=
1 4
>>Ă1:2,:) % gọi hμng 1 đến hμng 2 t−ơng ứng với tất cả các cột ans=
1 2 3 4 5 6 4 5 6
3.5 Phép tính ma trận vμ mảng ạ Phép tính ma trận
• Phép tính cộng , phép tính trừ :Điều kiện hai ma trận A vμ B phải có cùng kích th−ớc hoặc một trong hai lμ số vô h−ớng
ví dụ: >>a=[1 2 3 ;4 5 6; 7 8 9]; >>b=[2 3 4; 5 6 7; 8 9 10]; >>a+b; ans= 5 7 9 11 13 15 17 19 • Nhân hai ma trận
A*B l−u ý rằng số cột của ma trận A phải bằng số cột của ma trận B, ngoại trừ một trong hai lμ số vô h−ớng
• Chia trái ma trận (\)
X=A\B t−ơng đ−ơng với việc giải hệ ph−ơng trình tuyến tính A*X=B, gần t−ơng đ−ơng với X=inv(A)*B
• Chia phải ma trận(/)
X=B/A t−ơng đ−ơng với việc giải ph−ơng trình tuyến tính X*A=B gần t−ơng đ−ơng với X= B*inv(A)
Cho hai mảng sau: >>x=[1 2 3]; >>y=[2 3 4]; (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• Phép tính cộng , trừ giống nh− phép tính đối với ma trận >>x+y ans= 5 7 • Phép tính nhân(.*) >>x.*y ans= 2 6 12 • Phép tính chiặ/ hoặc .\) >> x./y ans= 0.5 0.66 0.75 >>x .\y ans= 2 1.5 0.75
3.6 Giải hệ ph−ơng trình tuyến tính 3.6.1 Hệ ph−ơng trình tuyến tính : Xét hệ ph−ơng trình sau:
a11*x1 + a12*x2+ . . . +a1n*xn=b1 a21*x2 + a22*x2+ . . . +a2n*xn=b2 .
.
am1*x1 + am2*x2+ . . . +amn*xn=bm
Bμi toán đặt ra lμ tìm véc tor x=[x1;x2;x3....;xn] sao cho thoả mãn bμi toán trên 3.6.2 Hệ Ph−ơng trình tuyến tính không đồng nhất
Ph−ơng trình nh− sau gọi lμ ph−ơng trình tuyến tính KĐN a1*x1 + a2*x2 + . . . + an*xn = b
b đứng độc lập (nó không nhân với biến nμo cả) Xét hệ thống sau:
a11*x1 + a12*x2+ . . . +a1n*xn=b1 a21*x2 + a22*x2+ . . . +a2n*xn=b2 .
.
am1*x1 + am2*x2+ . . . +amn*xn=bm
X=[x1 x2.... xn]; B=[b1 b2 ... bn];
Trong đó A đ−ợc gọi lμ ma trận hệ số, X lμ vector kết quả 3.6.2.1 Giải hệ ph−ơng trình bằng hμm nghịch đảo inv
Nếu m=n thì A lμ ma trận vuông, vμ nếu det(A) lμ khác 0 thì tồn tại A-1 vμ vector kết quả X đ−ợc cho bởi : A-1*A*X=X=A-1*B Ví dụ Giải hệ sau: 2*x1 - x2 = 2 x1 + x2 = 5 Matlab command >> A=[ 2 -1 ; 1 1 ]; >> B=[ 2 ; 5]; >> X= inv(A)*B >> X= 2.3333 2.667 >> X= rats(X) X= 7/3 8/3
Tuy nhiên chúng ta không thể áp dụng ph−ơng pháp trên cho 2*x1 - x2 = 2
2*x1 - x2 = 0 Ma trận hệ số A=[ 2 -1 ; 2 -1];
Vì det(A)=0 => không áp dụng đ−ợc hμm nghịch đảo cho ma trận A 3.6.3 Hệ ph−ơng trình tuyến tính đồng nhất
Biểu diễn d−ới dạng ma trận nh− sau A*x=0
• Nếu det(A)#0 hệ có nghiệm duy nhất lμ X=0 Ví dụ xét hệ ph−ơng trình tuyến tính sau
2*x1 - x2=0 x1+ x2=0
ở đây det(A)= 3 cho nghiệm x1=0 , x2=0
• Đối với hệ ph−ơng trình thuần nhất có det(A)=0 thì hệ nμy có vô số nghiệm Ví dụ Xét hệ ph−ơng trình tuyến tính sau
-6* x1 + 3*x2 = 0 2* x1 - x2 = 0
Ma trận hệ số A= [ -6 3 ; 2 -1] , det(A)= 0 biểu diễn trên đồ thị thấy rằng hai đ−ờng nμy trùng nhau do vậy hệ trên có vô số nghiệm
• Tr−ờng hợp số biến n< số ph−ơng trình m Ví dụ nh− sau: 3*x1 + 4*x2 - 2*x3= 0 -2*x1 + 3*x2 - 4*x3= 0 5*x1 + x2 + 2*x3= 0 -9*x1 + 5*x2 - 10*x3= 0 Ma trận hệ số lμ ma trận 4 x 3 ,định thức lớn nhất có thể đ−ợc xây dựng từ ma trận A lμ định thức ma trận 3 x 3, nh−ng định thức của ma trận kích th−ớc 3 by 3 =0 ( A1=[ 3 4 - 2; -2 3 - 4 ; 5 1 2]=> det(A1)=0 ) Do đó ta xác định tiếp ma trận 2 x 2 Ví dụ nh− sau
A2=[ 3 4; -2 3] vμ det(A) # 0 ta nói rằng hạng của ma trận Ăma trận hệ số) lμ bằng 2 đồng nghĩa với việc ta chỉ giải hai ph−ơng trình bất kỳ trong số tất cả các ph−ơng trình trên, vμ số biến chúng ta gán giá trị tuỳ ý lμ = n- r ( trong đó n lμ số biến còn r lμ hạng của ma trận A)
Giải hai ph−ơng trình :
3*x1 + 4*x2 - 2*x3= 0 -2*x1 + 3*x2 - 4*x3= 0
Kết quả : x1= (-10/17)*x3 vμ x2=(16/17)*x3 , với x3 lấy giá trị tuỳ ý 3.6.4 Giải hệ ph−ơng trình tuyến tính bằng Matlab(Dùng toán tử \)
2*x1 - x2 = 2 x1 + x2 = 5 >> A=[ 2 -1 ; 1 1]; >> B=[2 ; 5]; >>X=A\B (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ph−ơng pháp giải nμy gọi lμ ph−ơng pháp Gaussian elimination
Toán tử (\) thông th−ờng cung cấp một kết quả trong Matlab , trong một số tr−ờng hợp nó lμ ph−ơng pháp giải riêng
3.7 Điều kiện có nghiệm Theo Kronecker-Capelli thì
Một hệ ph−ơng trình có một lời giải khi vμ chỉ khi ma trận hệ số A vμ ma trận [A B] có cùng hạng.
Giả sử hạng của hai ma trận đều lμ r thì xảy ra các tr−ờng hợp sau đây
• r< n Hệ ph−ơng trình có vô số nghiệm, chúng ta có thể giải cho r biến nh− lμ hμm của n-r biến khác ,các biến khác nμy có thể lấy giá trị tuỳ ý
Ví dụ trên
rank(a)= rank([a b]) = n cho nên hệ nghiệm duy nhất >> rank(A), rank([A B]) ans= 2 ans= 2 Chúng ta xem xét ví dụ sau: 2* x1 + 3* x2 + 4*x3 = 4 x1 + x2 + x3 = 5 >> A=[ 2 3 4 ; 1 1 1]; >>B=[ 4 ; 5]; >>rank(A), rank([A B]) ans= 2 ans= 2 >> X= A\B X= 8 0 3
Hạng của hai ma trận A vμ [A B] bằng nhau vμ bằng 2 cho nên hệ có một lời giải , nh−ng do rank(A) < n cho nên ta chỉ giải cho hai biến nh− lμ hμm của biến còn lạị Kết quả Matlab cho trên chỉ lμ một tr−ờng hợp riêng (n-r biến đ−ợc gán =0)
Xét hệ sau
x1 + 2 *x2 + 3 *x3 = 12 3* x1 + 2 *x2 + x3 = 15 3*x1 + 4 *x2 + 7 *x3 = 13 10*x1 + 9 *x2 + 8 *x3 = 17 Tính toán bằng Matlab nh− sau
>> A=[1 2 3 ; 3 2 1 ; 3 4 7; 10 9 8]; >>B= [12 ; 15; 13 ; 17 ];
>>rank(A), rank([A B]) ans=
3 ans= 4 >> X= A\B ans= 1.0887 -0.2527 1.5349 Khi thử lại nh− sau >> A* ans ans= 5.1882 4.2957 13.0000 20.8925 Kết quả không bằng B
Hệ ph−ơng trình trên vô nghiệm ,tuy nhiên Matlab vẫn cho nghiệm ,nghiệm nμy không phải nghiệm đúng mμ lμ nghiệm xấp xỉ giải theo tiêu chuẩn bình ph−ơng tối thiểu( ta không đề cập tới)
3.8 Hệ điều kiện yếu
Chúng ta nói rằng một vấn đề đ−ợc coi lμ điều kiện yếu nếu một sự thay đổi nhỏ trong dữ liệu sẽ dẫn đến thay đổi lớn trong kết quả. Điều nμy lμ rất nguy hiểm đối với các kỹ s− lμm việc với các thiết bị , sai số ở các thiết bị , sai số do lμm tròn (điều nμy chắc chắn xảy ra) Nếu dữ liệu nμy lμ đầu vμo đối với vấn đề trên thì kết quả thu đ−ợc sẽ khủng khiếp Vấn đề chúng ta bμn tới lμ Điều kiện yếu của hệ ph−ơng trình tuyến tính
Ma trận yếu điển hình lμ ma trận Hibert có dạng nh− sau: A=[ 1 1/2 1/3...1/n;1/2 1/3 ...1/(n+1)
1/3 1/4 1/5.... 1/(n+2) 1/n .. 1/(2n)]
Ví dụ sau đây: Giải hệ ph−ơng trình tuyến tính có ma trận hệ số sau A=[1 1; 1 1.01] B=[2 ; 2.01];
>> X= A\B X= 1.0000 1.0000
Một sai số nhỏ đ−ợc thể hiện trong long format >> format long; X= A\B
1.000000000002 0.999999999998
Nếu ta thay đổi một phần tử của A ví dụ Ă1, 2)=1.005 >> Ă1,2)=1.005 ; X= A\B
X=
-0.0000000099991 1.9999999999991
Thay đổi Ă1,2) =1.005 so với giá trị cũ lμ 1 tức lμ tăng 0.5% t−ơng ứng với giá trị x(1) giảm 101%, vμ tăng x(2) tăng 100%
Cách giải hệ ph−ơng trình điều kiện yếu A*X=B
Nếu A lμ ma trận Hillbert sử dụng hμm tính nghịch đảo invhilb(n) trong đó n lμ kích th−ớc của ma trận đó
Ví dụ >>A= [ 1/1 1/2 ; 1/2 1/3]; >> B=[1 ;1/2] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
>>X= invhilb(2)* b
Nếu A không phải lμ ma trận hilbert thì sử dụng hμm symbolic Ví dụ A= [ 1 1.01; 0.5 1.02];
A=sym( [1 1.01 ; 0.5 1.02] ); B=[ 1.1; 1.2];
X= A\b
3 .9 Lệnh cond Tính điều kiện của ma trận Cấu trúc:
>> cond(A) % A lμ ma trận
kết quả trả lại dạng nh− sau: a* 10k ; 0 < a < 9
k lμ số digits không tin cậy trong kết quả giải hệ ph−ơng trình tuyến tính vμ trong việc nghịch đảo ma trận. Nếu k xấp xỉ 1 thì đólμ ma trận có well -condition
Ví dụ >>A=[1/2 1/3 1/4 ; 1/3 1/4 1/5; 1/4 1/5 1/6]; >> cond(A)
ans=
1.3533e+003
Ta thấy rằng k= 3 tức lμ có 3 số không đáng tin cậy Tổng kết
Định nghĩa :Hạng ma trận
Ar lμ một ma trận r hμng r cột đ−ợc xây dựng từ A , không nhất thiết theo thứ tự trong ma trận A vμ det(Ar)#0 .Nếu bất kỳ ma trận Ar+1 nμo đ−ợc xây dựng từ r+1 hμng vμ r+1 cột của A, det(Ar+1)=0 thì chúng ta nói rằng Matrận A có hạng bằng r
a21*x1 + a22*x2+ . . . +a2n*xn=b2 .
.
am1*x1 + am2*x2+ . . . +amn*xn=bm Có thể viết d−ới dạng form ma trận AX=B
Trong đó A lμ ma trận hệ số vμ X lμ vector kết quả
Điều kiện có nghiệm Matrận [A B] đ−ợc gọi lμ ma trận mở rộng của hệ. Theo Kronecker- Capelli thì hệ ph−ơng trình tuyến tính có nghiệm khi vμ chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ xung
• Nếu r= n thì nghiệm trên lμ duy nhất
• Nếu r<n thì hệ trên không xác định vμ r biến có thể đ−ợc biểu diễn d−ới dạng hμm của n-r biến khác ,các biến khác nμy có thể cho giá trị bất kỳ( nói cách khác hệ vô số nghiệm)
Nghiệm của hệ ph−ơng trình tuyến tính đ−ợc tính trong Matlab bằng toán tử ( \ ) .Nếu hệ có nghiệm duy nhất Matlab sẽ cung cấp cho nó , nếu hệ lμ không xác định(r<n) thì toán tử ( \ ) sẽ cung cấp cho chúng ta một nghiệm riêng trong đó n-r biến sẽ đ−ợc đặt =0.
Một nghiệm , nghiệm nμy lμm thoả mãn tổng bình ph−ơng của các nghiệm bé nhất Dùng lệnh X= pinv(A)*B
Nếu hạng của A # hạng matrận mở rộng thì toán tử ( \ ) cung cấp một kết quả nh−ng kết quả nμy không phải lμ nghiệm của hệ
Hệ thuần nhất khi vector B=0. Một hệ thuần nhất có một nghiệm tầm th−ờng khi det(A) # 0.Nếu det(A)=0 hệ có nhiều hơn một nghiệm trong tr−ờng hợp nμy Matlab sẽ cảnh báo ng−ời dùng :
Câu hỏi ôn tập
1. Các cách nhập một ma trận ?
2. Điều kiện có nghiệm của hệ ph−ơng trình đại số tuyến tính , cách tính
3. Lập ch−ơng trình mμ đầu vμo lμ hai ma trận A vμ b, đầu ra lμ kết quả thông bμo hệ có nghiệm hay không.
4. Hệ ph−ơng trình điều kiện yếu lμ gỉ, những ảnh h−ởng của nó. Bμi tập (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thực hiện các phép toán sau
1.Nhập hai ma trận a=[ 1 2 3; 4 5 6], b=[5 6 7 ;8 9 10] . -Tính Ađab= a+b .
-Tính Subsab= a-b; -Tính Multab= a*b
-Tính Mulba=b*a; -Tính Divab= a/b; vμ b/a 2. Cho mạch điện sau
R1 R2
R3
e1 e2
Cho thông số: R1= 10(omh) , R2= 20(omh) , R3= 10(omh) e1= 20(v) , e2= 30(v)
Tính dòng điện I1 vμ I2 vμ I3 bằng cách lập theo dạng hệ ph−ơng trình đại số tuyến tính ba ẩn số
Bμi tập giải hệ ph−ơng trình tuyến tính sau: A*X= B
Trong đó: A=[1/2 1/3 1/4 ; 1/3 1/4 1/5; 1/4 1/5 1/6]; B=[0.95 0.67 0.52] 1. Giải hệ đã cho
2. Thay đổi B(3)=0.53 rồi giải hệ ph−ơng trình, so sánh với tr−ờng hợp trên 3. Tính điều kiện của ma trận nμy vμ đ−a ra nhận xét
Chú ý khi giải hệ ph−ơng trình tuyến tính với ma trận hệ số lμ ma trận Hilbert (ma trận điều kiện yếu) thì ta dùng hμm tính nghịch đảo của nó lμ hμm invhilb(n)
Ch−ơng 4