Định nghĩa 1. Cho trước một số nuyên dương p. Ta nói đồ thịG là p sắc nếu bằng p màu khác nhau có thể tô trên các đỉnh mỗi đỉnh một màu sao cho hai đỉnh kề nhau tùy ý đều có màu khác nhau. Sốp nhỏ nhất mà đối với sốđó đồ thịG là p sắcđược gọi là sắc số của đồ thịG và kí hiệu bằng γ(G).
Như vậy, sắc số của một đồ thị là số màu ít nhất cần dùng để tô trên các đỉnh của đồ thị
(mỗi đỉnh một màu) sao cho hai đỉnh kề nhau tùy ý được tô bằn hai màu khác nhau.
Định nhĩa 2.Sắc lớp là số màu ít nhất cần dùng để tô trên các cạnh của đồ thị mỗi cạnh một màu sao cho hai cạnh kề nhau tùy ý được tô bằng hai màu khác nhau.
Ta có thể chuyển bài toán sắc lớp về bài toán sắc số bằng cách: Đối với mỗi đồ thịG = < V, E> xây dựng đồ thịG’ = <V’, E’>, trong đó mỗi đỉnh thuộc V’ là một cạnh của G, còn E’ được xác định như sau:
E’ ={ (v, v’)| u, u’ ∈ V} và hai cạnh là kề nhau.
Nói cách khác, ta tạo đồ thịG‘ trong đó mỗi cạnh của nó trở thành một đỉnh của đồ thị, hai cạnh kề nhau trong G sẽ có một đường nối giữa hai đỉnh của đồ thị trong G’. Bằng cách này ta dễ
dàng thấy rằng sắc số của G ‘ bằng sắc lớp của G. Hình 8.1 dưới đây minh họa sắc số của G’ bằng sắc số của G.
1 5 1 4 3 3 4 2 6 2 5 Đồ thịG=<V,E> Đồ thị G’ =<V’, E’> Hình 8.1. Sắc số G’ bằng sắc lớp của G
Dưới đây là một số tính chất của sắc số, bạn đọc có thể tìm thấy chứng minh chi tiết của nó trong [3].
Định lý 1. Một chu trình độ dài lẻ luôn có sắc số bằng 3.
Định lý 2.Đồ thịG =<U, V> với ít nhất một cạnh là đồ thị hai sắc khi và chỉ khi không có chu trình độ dài lẻ.
Hệ quả: Tất cả các chu trình độ dài chẵn đều có sắc số bằng 2.
Định lý 3. Đồ thịđầy đủ với n đỉnh luôn có sắc số bằng n.
Định lý 4.Định lý bốn màu. Số màu của đồ thị phẳng không bao giờ lớn hơn 4.
Thuật toán tô màu đồ thịđơn:
Bước 1. Sắp xếp các đỉnh v1, v2,..,vn theo thứ tự giảm dần của bậc các đỉnh: deg(v1)≥ deg(v2)≥..≥deg(vn).
Bước 2. Gán màu 1: cho v1; các đỉnh tiếp theo trong danh sách không liền kề với v1 (nếu nó tồn tại) và các đỉnh không kề với đỉnh có màu 1.
Bước 3. Gán màu 2 cho đỉnh tiếp theo trong danh sách còn chưa được tô màu và các
đỉnh không kề với các đỉnh có màu 2. Nếu vẫn còn các đỉnh chưa được tô màu thì gán màu 3 cho các đỉnh đầu tiên chưa được tô màu trong danh sách và các đỉnh chưa tô màu không liền kề với các đỉnh có màu 3.
Bước 4. Tiếp tục lặp lại bước 3 cho đến khi các đỉnh đã được tô màu.