. Theo bất đăng thức Bunhiacôpxk i:
b) Giả sử 2+4 là số hữutỉ “” (phân số tối giản) Suyra:
n
¬ =(#2+1⁄4) =6+3:Ä8.””=6+ 7P => m =ón ` +6mn” () > mÌ”:2 > m:2Th
ay m=2k (ke Z) vào (1): 8kÌ=ón + 12knˆ > 4kÌ=3n' + 6kn”. Suy ra 3n”
chia hết cho 2 = n chia hết cho 2 = n chia hết cho 2. Nh vậy m và n cùng chia
hết cho 2, trái với giả thiết “” là phân số tối giản. 232. Cách ï: Đặt a= xÌ „D= y ,C= zẺ. Bắt đẳng thức cần chứng minh 232. Cách ï: Đặt a= xÌ „D= y ,C= zẺ. Bắt đẳng thức cần chứng minh
a+b+c J+y!+z
3
hăng đắng thức :
x'+y`+z' 3xyz= 2&+y1 z)[J(&x y)`+(y Z2+(z xŸ]. Œàitập sbÐ
> Xlabc tơng đơng với " > xyz hay x ty +z” 3xyz 0. Ta có
Do a,b,c 0 nên x, y,z 0, do đó x`+y ` +zŸ 3xyz 0.Nh vậy : °*T > tapc _ XâyfTa dẫu đăng thức khi và chỉ khi a=b =c.
Cách 2 : Trớc hêt ta chứng ninh bât đăng thức Cauchy cho bôn sô không âm. Ta có
†n °8)› 2(Wab+vJed)> > \Í\abafcd = #/abcd
4 2\ 2 2
Trong bất đắng thức (®==] >abcd, đặt d-= a+b+c ta đợc 4 :
a+b+c++Tb+€ . >apc2†b+€ —- 2°] >apc2+b+€. 4
a+b+c
Chia hai về cho số dương (trường hợp một trong các số a, b, c bằng 0, bài
K)
toán được chứng minh) : t1 >abc © — > Alabc.
TOÁN BỞI DƯỠNG HS GIỎI THCS
Xây ra đăng thức : a=b=c=3†b1C © a=b=c-=l
¬—Ắ= C d a 1 ( , ở
233. Từ giả thiệt suy ra : + + <l—-——=—. Ap dụng bât đăng
b+l c+l d+l a+l a+l
thức Cauchy cho 3 số đương : I > 5 + + đ >3. 0cd .
a+lI b+l c+l d+I (b+1)(c+ JD(d + ơng tự : 1 va, acd b+I (a+1)(+1)(đ+1) TỦ sa, abd c+Í (a+1)(Œb+1)(đ+1) _Ì sa, abc dđ+1 (a+1)(Œb+1)(+1)