3 Giải phương trình bằng căn thức
3.3Nhóm Galois của một đa thức
3,√3 2). 2). Mở rộng Q ⊂ Q(i√ 3,√3 2) là mở rộng căn vì có dãy Q ⊂ Q(i√ 3)⊂ Q(i√ 3,√3 2) trong đó mở rộng Q(i√ 3) ⊂ Q(i√ 3,√3
2) là thuần túy kiểu 3 và mở rộng
Q⊂ Q(i√
3) là thuần túy kiểu 2. Do đó ta có
[Q(√3 2, i√ 3) :Q] = [Q(√3 2, i√ 3) : Q(i√ 3)][Q(i√ 3) : Q] = 6. 3.2 Nhóm giải được
3.2.1 Định nghĩa. Một tập G cùng với một phép toán kí hiệu theo lối nhân được gọi là một nhóm nếu phép toán có tính chất kết hợp, có phần tử e ∈ G
sao cho ae = ea = a với mọi a ∈ G, và với mỗi a ∈ G tồn tại a−1 ∈ G sao cho aa−1 = a−1a = e. Phần tử e được gọi là phần tử đơn vị của G , phần tử
32
hay Abel nếu phép toán là giao hoán. Nếu G có n phần tử thì ta nói G có cấp n. Khi ncó vô hạn phần tử thì ta nói G có cấp vô hạn.
Các nhóm với phép toán kí hiệu theo lối cộng được định nghĩa tương tự, trong đó phần tử đơn vị được thay bằng phần tử không, kí hiệu là0, và nghịch đảo của a được thay bằng đối xứng của a, kí hiệu là −a.
3.2.2 Ví dụ. (i) Các tập Z,Q,R,C là những nhóm với phép cộng.
(ii) Giả sử X là một tập hợp. Kí hiệu S(X) là tập các song ánh từ X đến
X. Khi đó S(X) là một nhóm với phép hợp thành các ánh xạ. Phần tử đơn vị củaS(X) là ánh xạ đồng nhất e = 1X.Nghịch đảo của phần tử f ∈ S(X)
là ánh xạ ngược f−1. Ta gọi S(X) là nhóm đối xứng của X. Khi X có n
phần tử thì S(X) được kí hiệu là Sn. Chú ý rằng Sn có cấp n! và Sn không giao hoán khin ≥ 3. Với a1, . . . , ak ∈ X, ta kí hiệu (a1a2ã ã ãak) là phép thế
s ∈ Sn xác định bởi s(a1) = a2, . . . , s(ak−1) = ak và s(ak) = a1. Phép thế
(a1a2ã ã ãak) được gọi là một vòng xích cấp k với tập nền {a1, . . . , ak}. Chú
ý rằng mỗi phần tử của Sn đều viết được thành tích của các vòng xích với các tập nền đôi một rời nhau.
3.2.3 Định nghĩa. Một tập con H của một nhóm G được gọi là một nhóm con nếu e ∈ H và xy ∈ H, x−1 ∈ H với mọi x, y ∈ H.
Cho H là nhóm con của G. Với x ∈ G, đặt Hx = {hx | h ∈ H} và
xH = {xh | h ∈ H} Chú ý rằng Hx = Hy nếu và chỉ nếu xy−1 ∈ H, và
xH = yH nếu và chỉ nếu x−1y ∈ H. Ta gọi Hx là một lớp ghép trái của H
trong G với đại diện là x, và xH là một lớp ghép phải của H.
3.2.4 Định nghĩa. Một nhóm con H củaGđược gọi là một nhóm con chuẩn tắc nếu Hx = xH với mọi x ∈ G.
3.2.5 Ví dụ. Xét nhóm đối xứng S3 = {e,(123),(132),(12),(13),(23)}.
Nhóm này có 6 nhóm con: {e}, S3, {e,(123),(132)}, {e,(12)}, {e,(13)},
3.2.6 Bổ đề. Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Kí hiệu
G/H = {Hx | x ∈ G} là tập các lớp ghép trái của H trong G. Khi đó quy tắc nhân HxHy = Hxy là một phép toán trên G/H và G/H là một nhóm với phép toán này.
Nhóm G/H vừa xây dựng ở trên được gọi là nhóm thương của G theo nhóm con chuẩn tắc H.
3.2.7 Định nghĩa. Một nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu G có một dãy {e} = G0 ⊆ G1 ⊆... ⊆ Gn = G sao cho Gi là nhóm con chuẩn tắc của
Gi+1 và Gi+1/Gi là nhóm giao hoán với mọi i = 1, ..., n. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3.2.8 Ví dụ. (i) Mọi nhóm giao hoán đều là nhóm giải được. (ii) Nhóm đối xứng S2 là giao hoán cấp 2 nên giải được. (iii) Nhóm đối xứng S3 là giải được vì có dãy
{e} = G0 ⊂ {e,(123),(132)} = G1 ⊂ S3,
trong đó G1/G0 có cấp 3 nên giao hoán, S3/G1 có cấp 2 nên giao hoán. (iv) Chúng ta có thể chứng minh rằng nhóm đối xứng S4 là giải được, còn nhóm đối xứng Sn không giải được với mọi n≥ 5.
3.3 Nhóm Galois của một đa thức
3.3.1 Định nghĩa. Một ánh xạ f : T −→ K giữa hai trường T và K được gọi là một đồng cấu trường nếu f(1) = 1, f(a + b) = f(a) + f(b) và
f(ab) = f(a)f(b) với mọi a, b ∈ T. Một đồng cấu trường được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu nó là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Hai trường
T và K được gọi là đẳng cấu với nhau, viết là T ∼= K, nếu tồn tại một đẳng cấu giữa chúng.
Ta có thể chỉ ra rằng hai trường Q[√
5] và Q[√
7] không đẳng cấu với nhau. Có đúng hai đồng cấu từ C đến C giữ nguyên các số thực, đó là đồng cấu đồng nhất 1C và đồng cấu ϕ xác định bởi ϕ(a+bi) = a−bi.
34
3.3.2 Định nghĩa. Cho T là một trường và f(x) ∈ T[x]. Gọi F là trường phân rã của f(x) trên T. Đặt
Gal(f) ={ϕ :F → F | ϕ là đẳng cấu trường, ϕ(a) = a,∀a ∈ T}.
Khi đóGal(f)là một nhóm với phép hợp thành các ánh xạ, được gọi là nhóm Galois của đa thức f(x) trên T.
3.3.3 Bổ đề. Cho T là một trường và f(x) ∈ T[x] là một đa thức bất khả quy với degf = n. Khi đó
(i) f có n nghiệm đơn phân biệt α1, . . . , αn ∈ C.
(ii) Nếu ϕ ∈ Gal(f) thì ϕ(αi) cũng là nghiệm của f(x) với mọi i = 1, . . . , n.Đặc biệt, Gal(f) có thể đồng nhất với một nhóm con của nhóm đối xứng Sn.
Chứng minh. (i) Gọi f0(x) là đạo hàm của f. Vì f bất khả quy nên ước chung lớn nhất của f và f0 là 1. Do đó f không có nghiệm bội.
(ii) Do f(αi) = 0 và ϕ là đẳng cấu trên trường phân rã của f nên ta có
f(ϕ(αi)) =ϕ(f(αi)) = 0.
Kết quả sau đây cho phép ta xác định cấp của các nhóm Galois của các đa thức không có nghiệm bội, đặc biệt là các đa thức bất khả quy.
3.3.4 Mệnh đề. Cho T là một trường và f(x) ∈ T[x] là đa thức không có nghiệm bội. Gọi F là trường phân rã của f trên T. Khi đó cấp của nhóm Galois Gal(f) chính là bậc của mở rộng trường T ⊆ F.
Sử dụng mệnh đề trên, chúng ta có thể xác định được các nhóm Galois, điều này được thể hiện trong các ví dụ sau.
3.3.5 Ví dụ. Xác định nhóm Galois của đa thức f(x) =x2 −2∈ Q[x].
Bài giải. Các nghiệm của f(x) là x1,2 = ±√2. Trường phân rã của f(x)
trên Q là Q(√
2) = {a+ b√
2 | a, b ∈ Q}. Chú ý rằng f(x) là đa thức bất khả quy của √2. Vì thế
Vì thế Gal(f) ={1 Q(√ 2), ϕ},trong đó 1 Q(√ 2) là tự đồng cấu đồng nhất và ϕ được xác định bởi ϕ(a+b√ 2) = a−b√ 2.
3.3.6 Ví dụ. Xác định nhóm Galois của đa thức f(x) =x3 −2∈ Q[x]. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài giải. Đặt = −1 2 + i√ 3 2 . Các nghiệm của f(x) là x1 = √3 2, x2 = √3 2, x3 = √3 22.
Vì thế trường phân rã của f(x) là F = Q(√3
2, ) = Q(√3
2, i√
3).Theo Ví dụ 3.1.10,[F :Q] = 6.Vì f(x)bất khả quy nên nó không có nghiệm bội, vì thế theo Mệnh đề 3.3.4, cấp của nhóm Galois Gal(f) là 6. Chú ý rằng mỗi phần tử ϕ∈ Gal(f) hoàn toàn được xác định khi biết các ảnh ϕ(√3
2) và ϕ(i√
3).
Vì đa thức bất khả quy của √3
2 trên Q là x3 −2 nên theo Bổ đề 3.3.3 ta có
ϕ(√3
2) ∈ {√3
2, √3
2, 2√3
2}. Đa thức bất khả quy của i√
3 trên Q là x2 + 3.
Đa thức này có 2 nghiệm là i√
3 và −i√
3. Vì thế ϕ(i√
3) ∈ {i√
3,−i√
3}.
Từ các điều kiện này ta tìm được 6 phần tử của nhóm Galois Gal(f) là 6
đẳng cấu sau đây:
1) ϕ0 = 1F : F −→F cho bởi ϕ(√3 2) = √3 2 và ϕ(i√ 3) = i√ 3. 2) ϕ1 : F −→ F cho bởi ϕ(√3 2) = √3 2 và ϕ(i√ 3) = −i√ 3. 3) ϕ2 : F −→ F cho bởi ϕ(√3 2) = √3 2 và ϕ(i√ 3) = i√ 3. 4) ϕ3 : F −→ F cho bởi ϕ(√3 2) = √3 2 và ϕ(i√ 3) = −i√ 3. 5) ϕ4 : F −→ F cho bởi ϕ(√3 2) = 2√3 2 và ϕ(i√ 3) = i√ 3. 6) ϕ5 : F −→ F cho bởi ϕ(√3 2) = 2√3 2 và ϕ(i√ 3) = −i√ 3. 3.3.7 Ví dụ. Xác định nhóm Galois của f(x) =x4 −5x2 + 6 ∈ Q[x].
Bài giải. f(x) có 4 nghiệm là ±√2,±√3. Trường phân rã của f(x) là
F = Q(√ 2,√ 3). Ta có [F : Q] = [Q(√ 2,√ 3) :Q(√ 2)][Q(√ 2) : Q] = 4.
Vì f(x)không có nghiệm bội nên theo Mệnh đề 3.3.4, cấp của nhóm Galois
36
định khi biết các ảnh ϕ(√
2) và ϕ(√ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3). Đa thức bất khả quy của √2 trên
Q là x2 − 2. Đa thức này có 2 nghiệm là ±√2. Theo Bổ đề 3.3.3 ta có
ϕ(√
2) ∈ {√2,−√2}. Đa thức bất khả quy của √3 trên Q là x2 −3. Đa thức này có 2 nghiệm là ±√3. Vì thế ϕ(√
3) ∈ {√3,−√3}. Từ các điều kiện này ta tìm được 4 phần tử của Gal(f) là 4 đẳng cấu sau đây:
1) ϕ0 = 1F : F −→F cho bởi ϕ(√ 2) = √ 2 và ϕ(√ 3) = √ 3. 2) ϕ1 : F −→ F cho bởi ϕ(√ 2) = √ 2 và ϕ(√ 3) = −√3. 3) ϕ2 : F −→ F cho bởi ϕ(√ 2) = −√2và ϕ(√ 3) = √ 3. 4) ϕ3 : F −→ F cho bởi ϕ(√ 2) = −√2và ϕ(√ 3) = −√3.