Định lý 2.4. Giả sử D là một tập lồi và f là một hàm lồi, khả vi dưới vi phân trên D. Khi đó x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (P) nếu và chỉ nếu
0∈ ∂f(x∗) +ND(x∗), (2.2)
Chứng minh: (⇐): Giả sử có (2.2). Khi đó tồn tại p∗ sao cho p∗ ∈ ∂f(x∗)∩(−ND(x∗)). Do p∗ ∈ ∂f(x∗) nên hp∗, x −x∗i ≤ f(x)−f(x∗),∀x và vì p∗ ∈ ND(x∗) nên hp∗, x −x∗i ≥ 0,∀x ∈ D. Vậy f(x)−f(x∗) ≥ 0,∀x ∈ D.
Chứng tỏ x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (P).
(⇒): Giả sử x∗ là nghiệm tối ưu. Bằng cách lấy không gian affine của D, ta có thể giả sử D là một tập có số chiều đầy đủ. Do D là tập lồi,intD 6= ∅. Xét hai tập sau
E := {(t, x) ∈ RìRn : t > f(x)−f(x∗), x ∈ D};G := {0} ìD.
Cả E và G đều là tập lồi ( do D và f lồi). Hơn nữa, G∩E = ∅. áp dụng định lý siêu phẳng tách tồn tại (u0, u) 6= 0 ∈ RìRn sao cho
u0t+uTx ≤ u ≤ u00 +uTy,∀(t, x) ∈ E, y ∈ D (2.3)
Từ (2.3), cho t −→+∞, ta thấy u0 ≤ 0. Cũng từ (2.3) nếu u0 = 0 thì
hu, x −yi ≤ 0,∀x, y ∈ D. (2.4)
Hiển nhiên, 0 ∈ D và bằng phép tịnh tiến ta có thể giả sử 0 ∈ intD. Theo (2.4) ta có u = 0 ( không xảy ra vì u0 = 0). Do đó u0 < 0. Chia cả hai vế của (2.3) cho −u0 > 0, ta có
−t+uTx ≤uTy,∀x, y ∈ D.
Cho t→ f(x)−f(x∗), ta được
Thay y = x∗ vào (2.5), ta được
−[f(x)−f(x∗)] +uTx ≤uTx∗,∀x ∈ D.
Do đó
f(x∗)−f(x) +uT(x−x∗) ≤ 0,∀x ∈ D. (2.6)
Nếu x 6= C, bằng cách lấy f(x) = ∞ nên từ (2.6) ta cũng nhận được
f(x∗)−f(x) +uT(x−x∗) ≤ 0,∀x ∈ X
nghĩa là u ∈ ∂f(x∗). Mặt khác, thay x = x∗ vào (2.5), ta có
uT(y −x∗) ≥ 0,∀y ∈ D.
Suy ra −u ∈ ND(x∗). Kết hợp với u ∈ ∂f(x∗), ta được 0 ∈ ∂f(x∗) +
ND(x∗).
Hệ quả 2.1. Với các giả thiết như Định lý 2.4, nếu x∗ ∈ intD là nghiệm tối ưu của bài toán (P) thì 0 ∈ ∂f(x∗). Hơn nữa, nếu f khả vi và D = Rn
thì 0 = ∇f(x∗).