Định lí số nguyên tố được phát biểu như sau.
Định lí số nguyên tố. Nếu π( )x là số các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x thì
( )
1
lim ln 1.
x x−π x x
→+∞ =
Đây là định lí khá nổi tiếng. Việc phát hiện và chứng minh nĩ là cả một quá trình làm việc lâu dài của các thế hệ các nhà tốn học.
Cĩ lẽ kết quả được biết đầu tiên là lim ( ) .
x π x
→+∞ = +∞ Hay nĩi cách khác, tập các số nguyên tố là vơ hạn. Điều này được phát hiện bởi Euclide. Đến năm 1737, Euler đã đưa ra một kết quả tổng quát hơn, đĩ là chuỗi các nghịch đảo của các số nguyên tố
1 1 1 1 1
... 2+ + + +3 5 7 11+
là chuỗi phân kì.
Đến cuối thế kỉ 18, nhiều nhà tốn học nổi tiếng trong đĩ cĩ Gauss và Legendre đã đưa ra những phỏng đốn tương đương với định lí trên. Gần 100 năm sau, vào năm 1896, sau rất nhiều cố gắng của các nhà tốn học, định lí số nguyên tố cuối cùng cũng được chứng minh một cách độc lập bởi Hadamard và de la Vallée Poussin. Nhưng những chứng minh của họ là rất khĩ. Lúc bấy giờ, các nhà tốn học khơng thấy cĩ mối liên hệ giữa giải tích phức và sự phân bố các số nguyên tố. Cho đến năm 1949, P.Erdos và A.Sellberg đã tìm ra cách chứng minh “sơ cấp” của định lí số nguyên tố dựa vào cơng cụ giải tích phức.
Năm 1980, D.J.Newman đã cơng bố một chứng minh mới của định lí số nguyên tố. Chứng minh này vẫn sử dụng giải tích phức. Tuy nhiên, nĩ đơn giản hơn đáng kể.
Trong luận văn này, định lí số nguyên tố được chứng minh dựa theo cách tiếp
cận của D.J.Newman. Cũng như hầu hết các chứng minh khác, ta phải chứng minh hai phần căn bản: Thứ nhất, chỉ ra hàm zeta khơng cĩ khơng điểm trên Rez = 1.
Thứ hai, chỉ ra liên hệ giữa hàm zeta và sự phân bố số nguyên tố trong “ định lí Tauberian”.