2. Một số ứng dụng của phân tích Marko
2.4. Tìm phân phối giới hạn cho một hệ thống kĩ thuật
Một hệ thống kĩ thuật có hai chi tiết có thể bị hỏng ở bất kì thời điểm nào. Tại mỗi thời điểm hệ thống có thể rơi vào một trong những trạng thái sau (xem hình IV.1):
S0: cả 2 chi tiết tốt;
S1: chi tiết 1 hỏng, chi tiết 2 bình thường; S2: chi tiết 1 bình thường, chi tiết 2 hỏng; S3: cả hai chi tiết đều hỏng.
Nói cách khác, tại mỗi thời điểm t, biến X(t) có thể rơi vào một trong các vị trí /
S0
S1 S2
S3
không gian trạng thái S ={S0, S1, S2, S3}. Sau đây, chúng ta sẽ tìm cách xác định phân phối giới hạn (long run distribution) của {X(t)}t≥0. Đây là một vấn đề khá phức tạp nên chúng ta chỉ có thể trình bày vấn đề một cách vắn tắt.
Trước hết ta nhắc lại về phân phối Poát−xông và phân phối mũ. Giả sử dòng tín hiệu đến (hay xảy ra) tuân theo phân phối Poát−xông P (λ) với λ là số tín hiệu đến trung bình trong một khoảng thời gian nhất định (coi là một đơn vị thời gian), λ còn được gọi là cường độ của dòng tín hiệu đến. Lúc đó, trong khoảng thời gian như trên thì số tín hiệu xảy ra sẽ nhận giá trị k với xác suất ke
k!
−λ
λ . Ta gọi phần tử xác suất P là xác suất xuất hiện (ít nhất) một tín hiệu trong khoảng thời gian Δt. Thế thì, do tính “đơn nhất” của quá trình Poát−xông, P cũng là xác suất xuất hiện đúng một tín hiệu trong khoảng thời gian Δt. Theo công thức đã biết thì P = λΔt (chính xác tới vô cùng bé o(Δt)). Chẳng hạn, nếu λ = 6 tín hiệu/ 1 phút và t = 2 giây, ta sẽ có P = t = 6 × (1/30) = 1/5 = 0,2. Từ đó, ta thấy xác suất để có 1 tín hiệu đến trong khoảng thời gian 2 giây là 0,2.
Xét biến ngẫu nhiên T (chẳng hạn thời gian phục vụ một tín hiệu trong một hệ dịch vụ), có phân phối mũ ( ) với hàm mật độ là f(τ) = e− τ. μ cũng được gọi là cường độ
phục vụ hay cường độ của “dòng phục vụ”. Hàm phân phối xác suất của T sẽ là F (τ) = P (T ≤τ) = t 0 0 f (t)dt e dt 1 e τ τ −μ −μτ = μ = − ∫ ∫ .
Còn kì vọng toán và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên T là
mT = t 0 0 1 tf (t)dt te dt +∞ +∞ −μ = μ = μ ∫ ∫ ; T 1 δ = μ . Ta nhận thấy ngay rằng: P (0 T≤ ≤ Δ =t) F(Δt) – F(0) = 1 − e−μΔt – [1 − e 0] = 1− e−μΔt = μΔt (chính xác tới vô cùng bé o(Δt)).
Chú ý: Nếu dòng tín hiệu đến có phân phối Poát−xông P ( ) thì thời gian giữa hai tín hiệu liên tiếp có phân phối mũ ( ).
Chúng ta quay lại bài toán đang xét. Gọi λ1 số lần chi tiết 1 hỏng và λ2 số lần chi tiết 2 hỏng (tính trung bình) trên 1 đơn vị thời gian. Lúc đó, ta có thể coi dòng tín hiệu chi tiết 1 và 2 hỏng là dòng Poát−xông với các tham số λ1 và λ2. Gọi T1 và T2 là thời gian sửa chữa chi tiết 1 và 2, có phân phối mũ với các kì vọng tsc1 và tsc2 là thời gian sửa chữa (trung bình) chi tiết 1 và chi tiết 2. Vậy T1 và T2 có phân phối mũ ( 1) và
Tại thời điểm t ta có biến ngẫu nhiên X(t) = Xt với phân phối xác suất sau đây:
Xt S0 S1 S2 S3