Mã với từ định biên

Trong phần này, ta giới thiệu các khái niệm mã mới với các từ định biên trên A* Được đề xuất bởi H.N.Vinh (2010) và thiết lập một số đặc trưng cho

các lớp mã mới này và mối quan hệ của chúng với mã, mã luân phiên chẵn,

mã luân phiên yếu, mã luân phiên.

Định nghĩa 2.15. Một -ngôn ngữ X  A+ được gọi là -mã nếu n, m1,

x1, x2, ..., xn , x1, x2, ... , xm  X,

x1x2 ... xn = x1x2 ... xm    m = n, xi = xi, (với i = 1,...,n).

Nói cách khác, một -ngôn ngữ X là -mã nếu với mọi x   thuộc

A+, x có không quá một phân tích trong X. Dễ thấy rằng, X là -mã thì X

không chứa e,  và (i, , i), i  B.

Ví dụ 2.16. Cho X = { (0, a, 1), (0, b, 1), (1, abb, 0)}. Khi đó, theo định nghĩa

dễ thấy rằng, X là -mã.

Ví dụ 2.17. Cho X = { (0, a, 1), (1, b, 0), (0, ab, 0), (0, ba, 1) }. Dễ thấy rằng,

X không là -mã, vì -từ x = (0, ababab, 0) có hai phân tích trong X:

(0, ab, 0).(0, ab, 0).(0, ab, 0) = (0, a, 1).(1, b, 0).(0, ab, 0).(0, a, 1).(1, b, 0)

Định nghĩa 2.18. Một ngôn ngữ X  A+ được gọi là -mã yếu dạng 1 (dạng

2) nếu không có từ nào trong A+ có hai phân tích tương đương yếu dạng 1

(dạng 2) khác nhau trong X.

Định nghĩa 2.19. Một -ngôn ngữ X  A+ được gọi là -mã chặt nếu

không có từ nào trong A+ có hai phân tích tương đương khác nhau trong X.

Nhận xét 2.20. Từ Định nghĩa 2.1, Định nghĩa 2.4 và Định nghĩa 2.6, ta dễ

thấy rằng, điều kiện để một -ngôn ngữ là -mã chặt là chặt hơn so với

-mã yếu dạng 1 (dạng 2) và -mã yếu dạng 1 (dạng 2) là chặt hơn so với

-mã. Nghĩa là, nếu X là -mã chặt thì X là -mã yếu dạng 1 (dạng 2) và nếu X là -mã yếu dạng 1 (dạng 2) thì X là -mã. Ngược lại không đúng .

Gọi LC (t.ứng. LWC1, LWC2, LSC) là lớp các -ngôn ngữ là -mã (t.ứng. -mã yếu dạng 1, -mã yếu dạng 2, -mã chặt). Xét các ví dụ sau:

Ví dụ 2.21. Cho X = { (0, a, 1), (0, ab, 1), (1, ba, 0), (1, bb, 0) }, dễ thấy X 

LC nhưng X  LWC1, với từ x = (0, abba, 0)  A+ có hai phân tích tương đương yếu dạng 1 trong X:

x < (0, ab, 1).(1, ba, 0) < (0, a, 1).(1, bb, 0).(0, a, 1)

Ví dụ 2.22. Cho X = { (0, a, 1), (1, b, 0), (1, ab, 0)}. Khi đó, X  LWC1

nhưng X  LSC, với từ x = (0, abab, 0)  A+ có hai phân tích tương đương

trong X:

x  (0, a, 1).(1, b, 0).(0, a, 1).(1, b, 0)  (1, ab, 0).(0, a, 1).(1, b, 0) Các mệnh đề sau thể hiện mối quan hệ giữa mã, mã luân phiên chẵn với

-mã.

Mệnh đề 2.23. Cho C  A+ và C = { (0, w, 1)  A+ w  C } và C = { (1,

w, 0)  A+  w  C }. Khi đó, C LC khi và chỉ khi (CC) LC.

Chứng minh. () Dễ dàng suy ra từ Định nghĩa 2.15.

() Đặt Z = (CC), ta chứng minh, nếu Z LC thì C LC.

Phản chứng, giả sử Z LC nhưng C  LC, khi đó tồn tại một từ w  A+ có hai sự phân tích khác nhau trong C :

w = w1.w2 . . . wn = w1.w2 . . . wm (w1  w1). Từ hệ thức trên, suy ra:

w = w1.w2 . . . wn .w1.w2 . . . wn = w1.w2 . . . wm.w1.w2 . . . wm

Bởi 2n và 2m là số các chữ của hai vế là chẵn. Từ w có hai phân tích khác nhau trong C và phân tích này tương đương với hai phân tích khác nhau của

-từ (0, w, 0)  A+ trong Z:

Điều đó có nghĩa tồn tại một -từ có hai phân tích khác nhau trong Z,

mâu thuẫn. Vậy C LC.

Các ví dụ sau cho ta thấy rằng, có X  LC nhưng Proj(X)  LC và

ngược lại, có X LC trong khi Proj(X) LC.

Ví dụ 2.24. Cho X = { (0, a, 1), (0, b, 1), (1, aa, 1) } LC, nhưng Proj(X) =

{a, b, aa} LC.

Ví dụ 2.25. Cho A = {a, b} và X = { (i, a, j)  a  A, i, j  B} LC, nhưng

Proj(X) = {a, b} LC.

Mệnh đề 2.26. Cho X, Y  A+. Khi đó, cặp (X, Y) LEALT khi và chỉ khi cặp

(X Y) LC, với

X = { (0, w, 1)  w  X} và Y = { (1, w, 0)  w  Y}

Chứng minh. () Phản chứng, giả sử (X,Y)LEALT nhưng Z=X

YLC. Khi đó, tồn tại -từ x, xA+ có hai phân tích khác nhau trong Z:

x = z1.z2 ... zn = z1.z2 ... zm ,

với z1  z1, m, n  1, nếu zi  X thì zi+1  Y và nếu zi  Y thì zi+1  X,

i= 1,...,n-1. Và nếu zj  X thì zj+1  Y và nếu zj  Y thì zj+1  X, j= 1,...,m-1. Vì z1.z2 ... zn = z1.z2 ... zm. Khi đó, ta có m, n cùng chẵn hoặc cùng lẻ và nếu z1 X thì z1 X, và nếu z1  Ythì z1 Y. Xét các trường hợp sau: + Trường hợp 1: z1  X , z1 X .

Với n và m cùng chẵn (n= 2l, m= 2k). Khi đó ta có: x1y1x2y2 . . . xlyl =

Proj(z1.z2 …zn) = Proj(z1.z2 ... zm) = x1y1x2y2 . . . xkyk, với x1  x1, xi , xj X, yi , yj Y, i= 1,...,l, j= 1,...,k. Đây là hai phân tích luân phiên chẵn khác

nhau theo (X,Y), mâu thuẫn.

Với n và m cùng lẻ (n= 2l+1, m= 2k +1). Nhân z  Y vào hai vế của

biểu thức:

x = z1.z2 ... zn.z = z1.z2 ... zm.z

Khi đó, ta có x1y1x2y2 . . . xl+1y = Proj(z1.z2 ... zn.z) = Proj(z1.z2 ...

zm.z) = x1y1x2y2 . . . xk+1y, với x1  x1, xi , xj  X, yi , yj, y  Y, i= 1,...,l,

j= 1,...,k. Đây là hai phân tích luân phiên chẵn khác nhau theo (X,Y), mâu

thuẫn.

+ Trường hợp 2: z1  Yvà z1 Y.

Ta bổ sung z  X, z Yvào hai đầu của hai phân tích, ta có:

x = z.z1.z2 ... zn.z = z.z1.z2 ... zm.z ,

Khi đó, lập luận tương tự như trên, ta đạt được sự mâu thuẫn.

Vì vậy, Z=XY LC.

() Phản chứng, giả sử Z=X Y  LC nhưng cặp (X,Y)  LEALT. Khi

đó, tồn tại từ w  A* có hai phân tích luân phiên chẵn khác nhau theo (X,Y): w = x1 y1 x2 y2 . . . xn yn = x1y1x2y2 . . . xmym

với x1  x1, xi , xj X, yi , yj Y, i= 1,...,n, j= 1,...,m. Điều này tương đương

với hai phân tích khác nhau của -từ (0, w, 0)  A+ trong Z: (0, x1,1).(1, y1, 0).(0, x2,1).(1, y2, 0) . . . (0, xn,1).(1, yn, 0) =

Nghĩa là Z=XY LC, mâu thuẫn. Vì vậy, cặp (X,Y) LEALT

Định lý sau biểu diễn mối quan hệ giữa mã truyền thống, mã luân phiên chẵn với -mã. Từ đó, cho ta thấy rằng -mã, mã luân phiên chẵn có thể được xem như là hình thức mở rộng của mã thông thường.

Hệ quả 2.27. Cho C  A+. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương.

(i) C LC.

(ii) Cặp (C, C) LEALT. (iii) (CC) LC, với

CHƯƠNG 3: CÁC KỸ THUẬT TẤN CÔNG WEBSITE VÀ PHƯƠNG PHÁP PHÒNG CHỐNG