γ 1≡ αa1βa2 (mod p)
6.2. Giả sử I thực hiên sơ đò Elgamal với p=31847 ,α =5,và β =26379 Hãy viết phơng trìng thực hiện công việc sau:
công việc sau:
a) Xác minh chữ kí (20679,11082 ) trên bức điện x=20543
b) Xác định số mũ mật a bằng cách dùng thuật toán tối u hoá thời gian - bộ nhớ của Shark, sau dó xác định giá trị k ngẫu nhiên dùng trong việc kí lên bức điện x.
Giả sử Bob dùng sơ đố chữ kí Elgamal nh trong ví dụ 6.1:p=467,α =2
β=132.Giả sử Bob kí lên bức điện x=100 bằng chữ kí (29,51).Hãy tính chữ kí giả mạo mà Oscar có thể lập bằng cách dùng h=100,i=45 và j =293.Hãy kiểm tra xem chữ ký vừa nhận đợc có thoả mãn điều kiện xác minh không.
Chứng minh rằng phơng pháp giả mạo thứ hai trên sơ đồ Elgamal (mô tả trong mục 6.2) cũng tạo ra chữ kí thoả mãn điều kiện xác minh.
Sau đây là phơng án của sơ đồ Elgamal :Khoá đợc xây dựng tơng tự theo mghĩa nh trớc đây:Bob chọn α ∈ Zp* là phần tử nguyên thuỷ. a là số mũ mật (0 ≤ a ≤ p-2) sao cho UCLN (a,p-1) =1 và α a mod p. Khoá K = (α, a, β ), ở đây α và β công khai còn a mật. Cho x∈ Z p là bức điện đợc kí. Bob tính chữ kí sig (x)=(γ, δ ), trong đó:
γ =α k mod p còn δ =(x-k γ)a-1 mod (p-1).
Sự khác nhau duy nhất so với sơ đồ Elgamal ban đầu là ở cách tính δ. Hãy trả lời các câu hỏi sau liên quan đến sơ đồ cải tiến này:
a) Mô tả cách xác minh một chữ kí (γ, δ ) trên bức điện x bằng cách dùng công khai khoá của Bob.
b) Mô tả u điểm về mặt tính toán của sơ đồ cải tiến.
So sánh tóm tắt độ an toàn của sơ đồ cải tiến và sơ đồ ban đầu.
Giả sử Bob dùng DSS với q = 101, p = 7879, α = 170, a = 75 còn β = 4567 nh trong ví dụ 6.3. Xác định chữ kí của Bob trên bức điện x=5011, bằng cách dùng giá trị ngẫu nhiên k =49 và chỉ ra cách xác minh chữ kí nhận đợc.
Trong sơ đồ Lamport,giả sử rằng hai bức điện x và x’ bội k (k-tuple) đều do Bob kí. Cho l = d(x,x’) là toạ độ trên đó x và x ‘ khác nhau. Hãy chỉ ra cách Oscar có thể kí 2l -2 bức điện mới.
Trong sơ đồ Bob-Chaum với k = 6, n = 4, giả sử rằng các bức điện x = (0, 1,0,0,1,1) và x’ = (1,1,0,1,1) đều đợc kí. Xác định bức điện mới đợc Oscar kí khi biết chữ kí trên x và x’.
Trong sơ đồ Bob- Chaum, giả sử rằng hia bức điện x và x’ là các bội k đều do Bob kí Cho l =φ(x)∪φ(x’). Hãy chỉ ra cách Oscar có thể kí -2 bức điện mới.
Giă sử Bob đang dùng chữ kí không chối đợc của Chaum –Van Antwerpen nh trong ví dụ 6.5. Nghĩa là p = 467, α = 4, a = 101, β = 449. Giả sử Bob đợc trình chữ kí y = 25 trên bức điện x =157 và anh ta muốn chứng minh rằng nó giả mạo. Giả sử số ngẫu nhiên của Alice là e1 = 46, e2 = 123, f1 =198, f2 =11 trong
n l
thủ tục từ chối. Hãy tính các yêu cầu c, d, của Alice và các câu trả lời C, D của Bob; chỉ ra rằng phép kiểm tra tính phù hợp của Alice sẽ thành công.
Chứng minh rằng, mỗi lớp tơng đơng các khoá trong sơ đồ chữ kí Fail-Stop của Pedersen-Van H yt chứa qð 2 khoá.
Giả sử Bob đang dùng sơ đồ chữ kí Fail-Stop của Pedersen-Van Heyst với p = 3467, α =4, a 0=1567 và β =514 (dĩ nhiên Bob không biết giá trị a0).
a) Dùng yếu tố a0 =1567, xác định tất cả các khoá có thể : K = (γ1, γ2, a1, a2, b1, b2)
sao cho sig K(42) =(1118,1449)
Gái sử sigK(42) =(1118,1449) và sigK(969) =(899,471). Không cần dùng điều kịên a0 =1567. Hãy xác định K (điều này sẽ chứng tỏ sơ đồ là dùng một lần). Gải sử Bob dùng sơ đồ Fail-Stop của Pedersen-Van Heyst vơi p =5087, α =25, β =1866. Giả sử K =(5065, 5067,144,874,1873,2345) và Bob tìm chữ kí
(2219,458) đợc giả mạo trên bức điện 4785
a) Chứng minh rằng, chữ kí giả mạo này thoả mãn điều kiện xác minh nên nó là chữ kí hợp lệ.
b) Chỉ ra cách Bob tính “ bằng chứng giả mạo a0 khi cho trớc chữ kí giả mạo này. ”
chơng 7
các hàm hash