- Nếu y# 0, khi đó:
2/ Các bạn hãy giải thích vì sao không sử dụng được bất đăng thức
Bunhiacopski đề tìm giá trị bé nhật?
(Vì theo bất đăng thức Øưuiacopski thì f(x) > 2/2 nhưng không tổn tại xạ mà Í{xo) = -2V2! Tại sao?)
Thí dụ 2: , Ộ -
Cho x, y, z, là các số thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 4. Chứng minh:
xì + yỶ + z > ma
Giải
Áp dụng bất đăng thức Øưnhiacopski cho hai dãy số -
x?,y?,z? và l,1, Ï
Ta có: EÍ +y! +z'\(É +12 +1)>(x +v+z2Ÿ
2
=3(xf+y*+z!)>(x?+y?+z?] .(l)
¬ An.
Dâu băng trong (1) xảy ra ©> TỶr*rceÝrểY=?
Lại áp dụng bắt đăng thức Bưnhiacopski cho hai dãy số: x, y, z và Y, z, x ta CÓ:
2
(x +yẺ +z?\(y? +z2 +x?]}>(xy+yz+zx) =* +y? rẻ} >(xy+yz+zx} =16 (2) =* +y? rẻ} >(xy+yz+zx} =16 (2)
(do xy + yz+zx = 4)
Dấu bằng trong (2) xảy ra © *X...#, z X
` 4.4. „4 l6
Từ (1) (2) suy ra: xˆ+y +Z >+ => đpcm.
XYy+Yz+zx = l6 23
2_ 22 X=y=Z=—— _
Dấu băng xảy ra © xX=y =# c© 3
X 23 —=—=— x=y=z=-——. y Z X 3 Thí dụ 3 Cho x, y, z>0. Chứng minh: *.} Ỳ +—P >l y†+2z z+2x xXx+2y Giải
Áp dụng bất đẳng thức Øunhiacopski cho hai dãy
X y z Ộ l3 và Jx(œ+2z)jyz+2x)vjz{x+2v), ta có: 145
cS'rx ray y+2z)+y(z+2x)+z{ x+2y) ]>( x+y+z}
¬=¬...1. y+2z Z+2x x+2y) x(y+2z)+y(z+2x)+z(x+2y) 6t y +2) ()
Dấu bằng trong (I) xảy ra
-.. y ——_ Y+2Z _ z+2x _ X‡2y -v_ x2+22) y(+2x) z212y) 2 Ta có VP() =—- CC TY?) — cỊ (2) do xŠ+ y +22 > xy + yz + zx, 3(xy+yz+zx)
Dấu bằng trong (2) xảy ra ©> x= y=z. Từ (1) 2) suy ra đpem.
Dấu bằng xảy ra © x=y =z.
C. Phương pháp sử dụng lượng giác -
Trong một số trường hợp người ta có thể đổi biến đề đưa biểu thức trong bất đẳng thức, hoặc trong hàm sô cân lấy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về dạng lượng giác. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác có thể làm cho việc chứng minh bất đăng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất dễ dàng hơn.
Hai phép đổi biến thông dụng, và hay dùng là: Đặt x = sin t (hoặc x = cos †); = tan t (hoặc cot t)
Thí dụ 1 (Đề thi tuyển sinh Đại học khỗi B-2003) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
f(x)=x+4—x” trên đoạn [~2 ; 2] Giải
Aˆ + ĐÃ x : T1 TL ` z .
Do ~2 < x < 2 nên có thê đặt x = sin t [-š<t<Ÿ) từ đó ta có:
max f(x)= max F(Œ); min f(x)= min F(), ở đây
~2<x<2 _ v5 -2<x<2 _rcÃ
22 22
F() =2sint+44—sin?t =2sint+ 2|cost|= 2sint +2cost- Ị (vì khi (-<t<5 ;) thì cost >0 | 2 2 «| = |cos t| = cos t. Do đó F(Đ = 22ea[t~` | (1) ———— Khi << 25, 5 2 2 4 4 `4 3H => —Š see[t=)si @)
Từ (1) (2) suy ra max F(t)= 242, min F()=~2. -—<t<— 22 : —<t<~ 22 -—<t<— 22 : —<t<~ 22 Vậy min f(x)=-2 © ..- `... ~2<x<2 4 4 2 max f(x)=2M2 c© tTT=0@œt=“=x=42. -2<x<2 4 4 Chủ ý:
Hãy so sánh với lời giải của thí dụ trên bằng cách: - Dùng bất đăng thức Bưnhiacopski.
- Dùng phương pháp chiều biến thiên hàm số. Thí dụ 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2008)
3 ` 2x? + 6xy)
Cho x”+ yˆ= 1. Chứng mỉnh rằng: —6 <s==————zŠ 3. x“+2xy+3y Giải
Do xỶ+ y= 1, nên đặt x = sint, y = cost. Khi đó:
2x? +6xy) 2(sin” t+ 6sin tcost} 1—ecos2t+ 6sin2t
P= = =
c wư 2xy+2y? _l+2sinteost+2cos?t sỉn2t+cos2t+2
Đến đây sử dụng phương pháp miễn giá trị hàm số (giống như thí dụ 2, mục a) sẽ suy ra: =6 <P <3.
Thứ dụ 3 ca.
Giả sử x và y không đông nhật băng 0. Chứng minh _.-.- -2J2~2<% =X<%} <2 -a,
x“+4y Giải Nếu y=0 (khi đó x #£ 0). Ta có:
2 -(x—4 2 L. v3 :
X —X— Ÿ) — 0, bắt đẳng thức hiển nhiên đúng.
x“ˆt4y
2 -(x~4 2
Nếu y # 0 khi -aJ2-2<% <<} <2 V2 _;
x“+Áy 2 2 là] {x-?) ©œ-2J2-2<š x22 <2/2~2 @) Đặt -× = tan t, khi đó 2y 147
Bài 6: 2 2 { t—(tant— 2 Q) ©-2/2-2< `8 t-Ômnt~2} 22-2 tan“ t+ c© ~2.2 ~2<cos? t(4tant— 4)< 22 —2 © -2\2 -2<sin2t— cos°t<22—2 ©- 2 <sn|2t~5]<2 (2) Vì (2) đúng — đpcm. BÀI TẬP TỰ GIẢI Dùng bất đăng thức Côsi giải các bài toán sau:
Bài I: Cho x, y, z > 0. Chứng minh _ X 2 z <3
2X+Y+Z X+2y+Z X+Yy+2z 4.
Bài 2:
Cho x, y, z > 0 và xyz = xy + yz + zx . Chứng minh
I l I 3 = + + <—.
x+2y+3z 2x+3y+z 3x+y+2z l6 Bài 3:
Cho x, y, z> 0 và x`+ y + z”= 1. Chứng minh x Z 3⁄3
12T r 7177 222
yV+ZzZ2 y+XxẺ y+X 2 Bài 4:
Cho x> 0, y > 0 và x + y= 1. Chứng minh: —~+——>. Bài 5:
Cho a, b, c > 0 và a” + bỶ+ cÝ = 48. Chứng minh
ab + bc” + ca” < 24.
Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1. Chứng minh
M~x+.vỦ-y+⁄I-z<+x6.
Bài 7:
x2 y z 3 Cho x, y, z >0 và xyz = !. Chứng minh : ——+-^—+>——>~>~.
l+y l+z l+x 2 Bài §:
Cho x, y, z là ba số dương thỏá mãn x + y + z = 0. Chứng minh {2+4 +\2+4Ÿ +\J2+4? >343.
hàm
Bài 9:
Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z > 3 chứng minh
X Y2 và,