Điều khiển tối ưu đa mục tiêu - Điều kiện cần tối- 123docz.net

Điều kiện cần tối ưu

2.2. Điều khiển tối ưu đa mục tiêu

Một cung x ∈ W1,1([a, b],Rn) là một quỹ đạo chấp nhận được của bài toán tối ưu đa mục tiêu(V OP)nếu nó thỏa mãn (2.1)–(2.3). Ta nhắc lại một khái niệm tối ưu trừu tượng được đề xuất bởi Mordukhovich [16]. Định nghĩa 2.1. [16, Definition 5.53] Cho một ánh xạ đơn trị g : Rn×

Rn → Rm và một tập hợp Θ ⊂ Rm với 0∈ Θ. Ta nói rằng một quỹ đạo

chấp nhận được x∗ là Θ-nghiệm tối ưu địa phương của (V OP) nếu tồn

tại một W1,1-lân cận U của x∗ và một dãy {zk} ⊂ Rm với kzk → 0 khi

k → ∞ sao cho

g(x(a), x(b))−g(x∗(a), x∗(b)) 6∈ Θ−zk, k = 1,2, . . .

với mọi quỹ đạo chấp nhận được x ∈ U.

Lấy tùy ý cố đinh một quỹ đạo chấp nhận được x∗ ∈ W1,1 và từ nay về sau ta xét các giả thiết sau trên các thành phần của bài toán

(V OP).

(H1) Tồn tại ε > 0 sao cho g là Lipschitz trên (x∗(a), x∗(b)) +ε(B×B);

(H2) Đồ thị của F(t,·) là đóng h.k.n. t∈ [a, b] và F là L × B đo được, ở đây L và B tương ứng ký hiệu là tập con Lebesgue của [a, b] và tập con Borel của Rn;

(H3) F là dưới Lipschitz khả tích [3, 5, 10, 21] tại x∗, có nghĩa là tồn tại

ε > 0, β ≥ 0 và một hàm khả tích kF(·) sao cho

F(t, x0)∩ ( ˙x∗(t) +N B) ⊂ F(t, x) + (kF(t) +βN)|x−x0|

với mọi N ≥ 0 và x, x0 với |x−x∗(t)|,|x0−x∗(t)| ≤ ε h.k.n. t∈ [a, b];

(H4) h là nửa liên tục trên trong lân cận của (t, x∗(t)) với mọi t và tồn tại một hằng số ε > 0 và một hằng số kh sao cho

với mọi t∈ [a, b] và x, x0 ∈ x∗(t) +εB.

Cho hàm Hamilton H: [a, b]×W1,1 ×W1,1 →R xác định bởi

H(t, x, p) := sup{hp, vi : v ∈ F(t, x)}.

Ta có điều kiện cần tối ưu sau cho bài toán tối ưu đa mục tiêu (VOP).

Định lý 2.2. Với bài toán tối ưu đa mục tiêu (V OP), giả sử rằng

(H1)-(H4) được thỏa mãn. Nếu Θ là đóng địa phương tại 0 ∈ Θ và x∗ là

Θ-nghiệm tối ưu địa phương của (V OP) thì tồn tại một cung p∈ W1,1,

một hằng số không âm λ, một độ đo Radon dương µ, một hàm µ-khả

tích γ : [a, b] → Rn và w ∈ N(0; Θ) với kwk= 1 sao cho

(a) λ+kpk+kµk = 1;

(b) ˙p(t) ∈ co{η : (η, q(t)) ∈ N((x∗(t),x˙∗(t)); gphF(t,·))}

h.k.n. t∈ [a, b], ở đó q(t) := p(t) +R[a,t)γ(s)µ(ds);

(d) hq(t),x˙∗(t)i = H(t, x∗(t), q(t)) h.k.n. t∈ [a, b].

(e) γ(t) ∈ ∂x>h(t, x∗(t)) µ-khả tích h.k.n. t ∈ [a, b] và

supp{µ} ⊂ {t: h(t, x∗(t)) = 0}, ở đó

∂x>h(t, x) := co{limiξi : ∃ti →t, xi → x sao cho h(ti, xi) > 0 và ξi ∈

∂xh(ti, xi)}.

Chứng minh. Cho x∗ là Θ-nghiệm tối ưu địa phương của (V OP). Lấy

tùy ýε > 0. Khơng mất tính tổng qt ta có thể giả sử rằng các giả thiết

(H1)-(H4) được thỏa mãn với ε vủa chọn và tồn tại một dãy {zi} ⊂ Rm với kzik → 0 khi i → ∞ sao cho

với mọi x thỏa mãn kx−x∗k1,1 ≤ ε. Đặt

Wε := {x ∈ W1,1 :h(t, x(t)) ≤ 0,kx−x∗k1,1 ≤ ε},

Sε := {x ∈ Wε : ˙x(t) ∈ F(t, x(t)) h.k.n. t ∈ [a, b],(x(a), x(b)) ∈ C},

ρF(t, u, v) := d(v, F(t, u)).

Vì Wε là đóng và khác rỗng nên nó trở thành một khơng gian metric đủ với metric cảm sinh bởi chuẩn k · k1,1. Rõ ràng, Sε là một tập đóng trong

Wε.

Theo [3], chỉ có hai khả năng sau xảy ra:

(1) Với mỗi số nguyên dương k, tồn tại εk > 0 và x¯k ∈ Wεk sao cho

εk →0 khi k → ∞ và

d(¯xk, Sε) > k[

Z b a

ρF(t,x¯k(t),x˙¯k(t))dt+dC(¯xk(a),x¯k(b))].

(2) Tồn tại ε0 ∈ (0, ε) và K > 0 sao cho với mỗi x∈ Wε ta có

d(x, Sε) ≤K[

Z b a

ρF(t, x(t),x(t))dt˙ + dC(x(a), x(b))].

Trường hợp 1. Với mỗi số nguyên dương k, tồn tại εk > 0 và

xk ∈ Wεk sao cho εk → 0 khi k → ∞ và

d(¯xk, Sε) > k[

Z b a

ρF(t,x¯k(t),x˙¯k(t))dt+dC(¯xk(a),x¯k(b))]. (2.4) Đặt J(x) := RabρF(t, x(t),x(t))dt˙ + dC(x(a), x(b)). Khi đó (2.4) có thể

viết lại dưới dạng

J(¯xk) < 1

kd(¯xk, Sε) ≤ inf

x∈WεJ(x) + 1

kαk, (2.5)

ở đây αk = d(¯xk, Sε) → 0 khi k → ∞. Chúng ta khẳng định rằng J là liên tục trên Wε. Thật vậy, lấy tùy ý dãy {uk} sao cho uk W

1,1

Khi đó uk →x đều và u˙k L 1 −→ x. Ta suy ra từ (H3) và [21, Lemma 7] rằng˙ |J(uk)−J(x)| ≤ Z b a |ρF(t, uk(t),u˙k(t)) −ρF(t, x(t),x(t))|dt˙

+|dC(uk(a), uk(b))−dC(x(a), x(b))|

Do đó, J(uk) → J(x) khi k → ∞ và khẳng định của chúng ta được suy ra.

Từ (2.5), bởi áp dung nguyên lý biến phân Ekeland, ta suy ra rằng với mỗi k tồn tại xk ∈ Wε sao cho

J(xk) ≤ J(¯xk), (2.6) kxk −x¯kk1,1 ≤ αk 2 , (2.7) J(xk) ≤ J(x) + 1kkx−xkk1,1 ∀x ∈ Wε. (2.8) Đặt J(x) :=e J(x) + 1kkx−xkk1,1. Khi đó e J(x) = 1

k|x(a)−xk(a)|+dC(x(a), x(b)) +

Z b a

[ρF(t, x(t),x(t)) +˙ 1

k|x(t)˙ −xk(t)|]dt.˙

Ta suy ra từ (2.7) rằng xk ∈/ Sε. Do đó (xk(a), xk(b)) ∈/ C hoặc x˙k(t) ∈/ F(t, xk(t)) trên một tập có độ đo dương. Rõ ràng, xk là một nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán Bolza

min x∈Wε e J(x) =l(x(a), x(b)) + Z b a L(t, x(t),x(t))dt,˙

ở đây l(u, v) =dC(u, v) + k1|u−xk(a)| và L(t, u, v) =ρF(t, u, v) + k1|v −

xk(t)|. Hiển nhiên,l là hàm Lipschitz trong lân cận của (xk(a), xk(b)). Ta

khẳng định rằngL(t,·,·)là hàm Lipschitz trong lân cận của(xk(t),x˙k(t))

h.k.n. t ∈ [a, b]. Thật vậy, với k đủ lớn, ta có xk(t) ∈ x∗(t) + ε2B h.k.n.

t∈ [a, b]. Từ (H3) và Lemma 7 trong [21] ta suy ra rằng với mọi v ∈ Rn,

ρF(t,·, v) là hàm Lipschitz trên x∗(t) + εB với hằng số Lipschitz (1 + βε)kF(t)+2β|v−x˙∗(t)|. Do đó,ρF(t, u,x˙∗(t)) ≤(1+βε)kF(t)|u−x∗(t)|với

u ∈ x∗(t)+εB. Lấy N = 3(|x˙k(t)−x˙∗(t)|+ε). Khi đó, với mỗi u, u0, v, v0

thỏa mãn u, u0 ∈ xk(t) + min{2ε,6(1+βε)kFN (t)}B và v, v0 ∈ x˙k(t) +εB, ta suy ra từ (H3) và [21, Lemma 6] rằng |ρF(t, u, v)−ρF(t, u0, v)| ≤ (kF(t) +βN)|u−u0|. Do đó |L(t, u, v) − L(t, u0, v0)| ≤ |ρF(t, u, v)−ρF(t, u0, v0)|+ 1 k||v−x˙k(t)| −|v0 −xk(t)||˙ ≤ |ρF(t, u, v)−ρF(t, u0, v)|+|ρF(t, u0, v)−ρF(t, u0, v0)| + 1 k||v −xk(t)| − |v˙ 0−xk(t)||˙ ≤ (kF(t) +βN)|u−u0|+ |v−v0|+ 1 k|v −v0| ≤ k(t)(|u−u0|+ |v−v0|), k(t) := max{kF(t) +βN,2}.

Suy ra L(t,·,·) là hàm Lipschitz trong lân cận của (xk(t),x˙k(t)) h.k.n.

t ∈ [a, b]. Do đó, tất cả các giả thiết trong Định lý 2.1 được thỏa mãn.

Điều này suy ra rằng tồn tại một cung pk ∈ W1,1, một hằng số không

λk, một độ đo Radon dương µk và một hàm µk−khả tích γk : [a, b] → Rn sao cho

(a2) λk +kpkk+kµkk = 1;

(b2) ˙pk(t) ∈ co{η : (η, pk(t) +R[a,t)γk(s)µk(ds)) ∈ λk∂L(t, xk(t),x˙k(t))}

(c2) (pk(a),−[pk(b) + Rabγk(s)µk(ds)]) ∈ λk∂l(xk(a), xk(b)); (d2) hpk(t) +R[a,t)γk(s)µk(ds),x˙k(t)i −λkL(t, xk(t),x˙k(t))

≥ hpk(t) + R[a,t)γk(s)µk(ds), vi − λkL(t, xk(t), v) với mọi v ∈ Rn, h.k.n. t∈ [a, b];

(e2) γk(t) ∈ ∂x>h(t, xk(t)) µk-khả tích h.k.n. t∈ [a, b] và supp{µk} ⊂ {t: h(t, xk(t)) = 0}.

Ta dễ ràng kiểm tra được rằng ρF(t,·,·) cũng là hàm Lipschitz trong lân cận của (xk(t),x˙k(t)) h.k.n. t ∈ [a, b]. Từ Định lý 1.4 ta suy ra rằng

λk∂L(t, xk(t),x˙k(t)) ⊂ λk∂ρF(t, xk(t),x˙k(t)) + λkk ({0} ×B). (2.9) và

λk∂l(xk(a), xk(b)) ⊂ λk∂dC(xk(a), xk(b)) + λkk (B × {0}), (2.10) Bởi (b2) và [21, Lemma 7], ta có

|p˙k(t)| ≤ λk[(1 +βε)kF(t) + 2β|x˙k(t)−x˙∗(t)|].

Ta suy ra từ (a2) rằng {pk} là một dãy bị chặn. Bởi bổ đề Gronwall, dãy pk bị chặn đều và dãy p˙k bị chặn khả tích điều. Ta suy ra từ định lý Dunford-Pettis, bởi lấy dãy con nếu cần thiết, rằng pk → p đều và

˙ pk L

−→ p˙ với p nào đó trong W1,1. Bởi Bổ đề 2.1, chúng ta giả sử rằng

µk −→w∗ µ và λk → λ. Vì xk W

1,1

−−→ x∗ ta suy ra từ [20, Proposition 9.2.1] rằng γk(s)µk(ds) →γ(s)µ(ds) với một γ nào đó µ-khả tích thỏa mãn

γ(t) ∈ ∂x>h(t, x∗(t)) h.k.n. t ∈ [a, b], supp{µ} ⊂ {t: h(t, x∗(t)) = 0}. Vì lim k→∞kµkk= lim k→∞µk([a, b]) = lim k→∞ Z b a dµk = Z b a dµ = kµk và (a2) ta có λ+kpk+kµk = 1. (2.11)

Ta suy ra từ Định lý 1.3 rằng

λk∂ρF(t, xk(t),x˙k(t)) ⊂N((xk(t),x˙k(t)); gphF(t,·))

và

λk∂dC(xk(a), xk(b)) ⊂N((xk(a), xk(b));C).

Kết hợp điều này với (2.9) và (2.10), bởi cho qua giới hạn k → ∞ trong

(b2) và (c2), ta có ˙ p(t) ∈ co{η : (η, p(t) + Z [a,t) γ(s)µ(ds)) ∈ N((x∗(t),x˙∗(t)); gphF(t,·))} h.k.n. t∈ [a, b] và (p(a),−[p(b) +Rb a γ(s)µ(ds)]) ∈ N((x∗(a), x∗(b));C). Lấy v ∈ F(t, x∗(t)). Ta suy ra từ (d2) rằng hpk(t) + Z [a,t) γk(s)µ(ds)),x˙k(t)i −λkρF(t, xk(t),x˙k(t)) ≥ hpk(t) + Z [a,t) γk(s)µk(ds)), vi −λkρF(t, xk(t), v)− λk k |v −x˙k(t)|.

Cho qua giới hạn k → ∞, ta suy ra từ (H2) rằng

hp(t) + Z [a,t) γ(s)µ(ds)),x˙∗(t)i ≥ hp(t) + Z [a,t) γ(s)µ(ds)), vi ∀v ∈ F(t, x∗(t)) h.k.n. t ∈ [a, b].

Đặt qk(t) =pk(t) +R[a,t)γ(s)µ(ds). Ta cịn phải kiểm tra khẳng định (c)

của định lý. Từ (2.11) ta có thể khẳng định rằng

kpk+kµk > 0.

Thật vậy, nếu khẳng định là sai thì λ = 1 và kpk + kµk = 0. Nếu (xk(a), xk(b)) ∈/ C thì (c2) và (2.10) kéo theo

(pk(a)− λk

k b

∗

Do đó |pk(a)|+|qk(b)| ≥ λk − λk

k . Suy ra, |p(a)|+|q(b)| ≥1, điều này là

không thể xảy ra. Nếu x˙k(t) ∈/ F(t, xk(t)) thì (d2) kéo theo

|qk(t)| ≤ |pk(t)|+ Z t a |γk(s)|µk(ds) ≤ |pk(t)|+khkµkk. Do đó kpkk ≥ max [a,b] |pk(t)| ≥ λk(1− 1 k)−khkµkk.

Vì µk → 0 nên ta có kpk ≥ 1, mâu thuẫn với p = 0. Điều này chứng

minh khẳng định trên. Vì kpk+ kµk = 1− λ > 0 nên chúng ta có thể chia cho nhân tử này (nếu cần) để được kpk+kµk = 1, và (c) suy ra.

Trường hợp 2. Tồn tại ε0 ∈ (0, ε) và K >0 sao cho với mỗi x ∈ Wε

ta có

d(x, Sε) ≤ K[

Z b a

ρF(t, x(t),x(t))dt˙ +dC(x(a), x(b))]. (2.12) Chúng ta nhắc lại rằng vì x∗ là Θ-nghiệm tối ưu địa phương của (V OP)

nên suy ra rằng tồn tại dãy {zi} ⊂ Rm với kzik → 0 khi i → ∞ sao cho với mọi x thỏa mãn kx−x∗k1,1 ≤ ε, ta có

g(x(a), x(b))−g(x∗(a), x∗(b)) 6∈ Θ−zi for all i = 1,2, . . .

Khi đó, với mỗi số nguyên dương k, ta có thể chọn một chỉ số ik và phần tử θik ∈ Rm sao cho θik + zik ∈ Θ + g(x∗(a), x∗(b)) và |θik −

g(x∗(a), x∗(b))| < k12. Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả thiết rằng θk ∈ Θ +g(x∗(a), x∗(b))−zk, |θk−g(x∗(a), x∗(b))| < 1 k2, k = 1,2, . . . Đặt Ωk := Θ +g(x∗(a), x∗(b))−zk và xác định hàm ϕ(x, θ) =    |g(x(a), x(b))−θ| nếu (x, θ) ∈ S0 ×Ωk +∞ trường hợp khác.

Rõ ràng, S0 ×Ωk là một tập đóng trong Wε0 ×Rm và ϕ là nửa liên tục dưới trên Wε0 ×Ωk với k đủ lớn. Vì ϕ(x, θ) ≥ 0 nên ta suy ra rằng

ϕ(x∗, θk) < inf (x,θ)∈Wε0×Ωk

ϕ(x, θ) + 1 k2.

Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland, ta suy ra rằng tồn tại (xk, ξk) ∈

Wε0 ×Ωk sao cho ϕ(xk, ξk) ≤ϕ(x∗, θk) < k12, (2.13) kxk −x∗k1,1 +|ξk −θk| ≤ 1k, (2.14) ϕ(xk, ξk) ≤ϕ(x, θ) + 1k(kx−xkk1,1 +|θ−ξk|) ∀(x, θ) ∈ Wε0 ×Ωk. (2.15) Ta suy ra từ (2.15) rằng ϕ(xk, ξk) ≤ϕ(xk, θ) + k1|θ−ξk| ∀θ ∈ Ωk, (2.16) ϕ(xk, ξk) ≤ ϕ(x, ξk) + 1kkx−xkk1,1 ∀x ∈ Wε0. (2.17) Kết hợp (2.13) với (2.14), ta có xk ∈ Sε0 với k đủ lớn và xk → x∗ trong

W1,1. Ta khẳng định rằng ξk 6= g(xk(a), xk(b)). Thật vậy, giả sử rằng ξk = g(xk(a), xk(b)). Khi đó, bởi định nghĩa của ϕ,

g(xk(a), xk(b))−g(x∗(a), x∗(b)) ∈ Θ−zk,

mà điều này mâu thuẫn với giả thiết x∗ là Θ-nghiệm tối ưu địa phương

của (V OP).

Đặt wk := (ξk −g(xk(a), xk(b)))/|ξk −g(xk(a), xk(b))|. Khơng mất

tính tổng qt, ta có thể giả sử rằng wk → w với |w| = 1. Ta suy ra từ

(2.16) rằng 0∈ ∂(ϕ(xk,·) + 1 k| · −ξk|)(ξk) +N(ξk; Ωk). Do đó 0 ∈ ∂(ϕ(xk,·) + 1 k| · −ξk|)(ξk) +N(ξk +zk−g(x∗(a), x∗(b)); Θ).

Điều này suy ra rằng wk ∈ 1kB +N(ξk+zk−g(x∗(a), x∗(b)); Θ). Do đó,

bởi tính ổn định vững của nón pháp tuyến Mordukhovich trong Rm và (2.14), ta có

w ∈ lim sup

k→∞

N(ξk+ zk −g(x∗(a), x∗(b)); Θ) = N(0; Θ).

Lấy tùy ý x ∈ Wε0, ta đạt được từ (2.12) và (2.17) rằng

k|x(a)−xk(a)|+ dC(x(a), x(b))

với mọi x ∈ Wε0. Do đó xk là một nghiệm của bài toán Bolza sau:

Hiển nhiên, l là Lipschitz trong lân cận của (xk(a), xk(b)) bởi (H1). Lập

luận tương tự như trong chứng minh của Trường hợp 1 chỉ ra rằnL(t,·,·)

là Lipschitz trong lân cận của (xk(t),x˙k(t)) h.k.n. t∈ [a, b] bởi (H3). Áp

Định lý 2.1, ta suy ra rằng tồn tại một cung pk ∈ W1,1, một hằng số không âm λk, một độ đo Radon dương µk và một hàm µk-khả tích

γk : [a, b] →Rn sao cho

(b3) ˙pk(t) ∈ co{η : (η, pk(t) +R[a,t)γk(s)µk(ds)) ∈ λk∂L(t, xk(t),x˙k(t))}

h.k.n. t∈ [a, b];

(c3) (pk(a),−[pk(b) + Rabγk(s)µk(ds)]) ∈ λk∂l(xk(a), xk(b)); (d3) hpk(t) +R[a,t)γk(s)µ(ds)),x˙k(t)i −λkL(t, xk(t),x˙k(t))

≥ hpk(t) + R[a,t)γk(s)µk(ds)), vi − λkL(t, xk(t), v) với mọi v ∈ Rn, h.k.n. t∈ [a, b];

(e3) γk(t) ∈ ∂x>h(t, xk(t)) µk-khả tích h.k.n. t∈ [a, b] và

supp{µk} ⊂ {t: h(t, xk(t)) = 0}.

Vì ρF(t,·,·) là hàm Lipschitz trong lân cận của (xk(t),x˙k(t)) h.k.n. t ∈

[a, b] nên từ Định lý 1.3 và Định lý 1.4 suy ra rằng

λk∂L(t, xk(t),x˙k(t)) ⊂λk∂ρF(t, xk(t),x˙k(t)) + 1 k({0} ×B) ⊂N((xk(t),x˙k(t)); gphF(t,·)) + 1 k({0} ×B). (2.18) Từ (b3) và [21, Lemma 7] suy ra |pk(t)| ≤˙ λk[(1 +βε)kF(t) + 2β|xk(t)˙ −x˙∗(t)|].

Một mặt, vì {pk} là bị chặn nên suy ra rằng tồn tại một cung p ∈ W1,1

thỏa mãn pk → p đều và pk˙ L

−→ p. Mặt khác, bởi Bổ đề 2.1, chúng ta giả˙

sử rằng µk −→w∗ µ và λk → λ. Lập luận tương tự như trong chứng minh

đối với Trường hợp 1 chỉ ra rằng γk(s)µk(ds) →γ(s)µ(ds) với một γ nào đó µ-khả tích,

γ(t) ∈ ∂x>h(t, x∗(t)), supp{µ} ⊂ {t: h(t, x∗(t)) = 0},

và

Từ (2.18), bởi cho qua giới hạn k → ∞ trong (b3), ta có ˙ p(t) ∈ co{η : (η, p(t) + Z [a,t) γ(s)µ(ds)) ∈ N((x∗(t),x˙∗(t)); gphF(t,·))} h.k.n. t∈ [a, b]. Vì

λk∂l(xk(a), xk(b)) ⊂ λk(∂|g(u, v)−ξk|(xk(a), xk(b))) + λk

k (B × {0}) +N((xk(a), xk(b));C)

⊂ λk∂hwk, g(xk(a), xk(b))i+ λk

k (B × {0})

+N((xk(a), xk(b));C)

nên (c3) kéo theo

(p(a),−[p(b) +

Z b a

γ(s)µ(ds)]) ∈ λ∂hw, g(x∗(a), x∗(b))i

+N((x∗(a), x∗(b));C).

Lấy tùy ý v ∈ F(t, x∗(t)). Từ (d3) suy ra rằng

hpk(t) + Z [a,t) γk(s)µ(ds)),x˙k(t)i −λkρF(t, xk(t),x˙k(t)) ≥ hpk(t) + Z [a,t) γk(s)µk(ds)), vi − λkρF(t, xk(t), v) −λk k |v −x˙k(t)|.

Cho qua giới hạn k → ∞, bởi (H2), ta có

hp(t) + Z [a,t) γ(s)µ(ds)),x˙∗(t)i ≥ hp(t) + Z [a,t) γ(s)µ(ds)), vi ∀v ∈ F(t, x∗(t)) a.e. t ∈ [a, b].

Vì vậy (a)−(e) được thỏa mãn. Định lý được chứng minh.

Tiếp theo chúng ta xét một trường hợp đặc biệt khi Θ = Rm−. Khi đó, khái niệm Rm−-nghiệm tối ưu địa phương của (V OP) trở thành khái

niệm nghiệm hữu hiệu yếu địa phương quen biết trong tối ưu đa mục tiêu.

Hệ quả 2.1. Với bài toán tối ưu đa mục tiêu (V OP), giả sử rằng

(H1)-(H4) được thỏa mãn. Nếu x∗ là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (V OP) thì tồn tại một cung p ∈ W1,1, một hằng số không âm λ,

một độ đo Radon dương µ, một hàm µ-khả tích γ : [a, b] → Rn và

wi ≥0 (i = 1,2, . . . , m) với Pmi=1wi = 1 sao cho

(a) λ+kpk+kµk = 1;

(b) ˙p(t) ∈ co{η : (η, q(t)) ∈ N((x∗(t),x˙∗(t)); gphF(t,·))}

h.k.n. t∈ [a, b], ở đó q(t) := p(t) +R[a,t)γ(s)µ(ds);

(c) (p(a),−q(b)) ∈ λ∂Pmi=1wigi(x∗(a), x∗(b)) +N((x∗(a), x∗(b));C); (d) hq(t),x∗(t)i˙ = H(t, x∗(t), q(t)) h.k.n. t∈ [a, b].

(e) γ(t) ∈ ∂x>h(t, x∗(t)) µ-khả tích h.k.n. t ∈ [a, b] và

supp{µ} ⊂ {t: h(t, x∗(t)) = 0}, ở đó

∂x>h(t, x) := co{limiξi : ∃ti →t, xi → x sao cho h(ti, xi) > 0 và ξi ∈

KẾT LUẬN

Luận văn này trình bày các khái niệm cơ bản nhất về nón pháp tuyến và dưới vi phân Mordukhovich. Sử dụng các tính chất đặc trưng về nón pháp tuyến và dưới vi phân Mordukhovich để đưa ra các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu tổng quát. Phương pháp được sử dụng là vơ hướng hóa bài tốn tối ưu đa mục tiêu và sử dụng nguyên lý biến phân Ekeland để xây dựng dãy các bài tốn Bolza thích hợp, từ đó thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu. Khái niệm nghiệm tối ưu của bài toán điều khiển tối ưu đa mục tiêu được xét trong luận văn là một mở rộng tự nhiên các khái niệm nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu yếu quen thuộc trong tối ưu đa mục tiêu.

Một số vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu như làm thế nào để tìm các giải đáp cho các câu hỏi mở của Ioffe đã được trình bày trong phần Mở đầu.