phương của d. Vectơ chỉ phương của đ|¡ là
¡ =(3; 1; 1). Mà đ L đi nên 1 MP hay ¡.MP =0 ¡.MP =0 <S> 3 +l(yụ Ở]) + lz; Ởl) =0 <ẹ> 30 + Yọ +ZzạỞ2=0 (3) Từ (2) và (3) ta có 3xo +YơZaỞ2=0 *g+YoỞ7ạ+2=0 4 xg+l1=0
Giải (4) có nghiệm là xạ =Ở1, yụ =2, zạ =3 nên tìm được P(-l ; 2; 3) => MP =(-1; 1;2). nên tìm được P(-l ; 2; 3) => MP =(-1; 1;2). Vậy phương trình đường thẳng đ là
Xy-] z-ỳ 1l 1 2 1
Trong cả hai phương pháp trên hệ phương trình (1) hoặc (4) có thể vô nghiệm, có một nghiệm, có vô số nghiệm, suy ra bài toán có
thể vô nghiệm, có một nghiệm, có vô số nghiệm tương ứng. nghiệm tương ứng.
Chẳng hạn với các bài toán sau, cách giải theo
hướng dẫn của sách bài tập là không hiệu quả.
Bài 1. Viết phương trình của đường thằng đi qua Ả⁄(1 ; 3 ; 0) vuông góc với đường thẳng qua Ả⁄(1 ; 3 ; 0) vuông góc với đường thẳng
đ; và cắt đường thăng đ; được xác định bởi
các phương trình sau : x~2_ y+Ì z-]l, Ở..ỞỞ-.-. x=l+2 z=_-lÌ-f
Kết quả : Có vô số đường thẳng đ thuộc (ụ)
thoả mãn yêu cầu bài toán, các đường thẳng
này có phương trình dạng z=l+at
y=3+Ù/ với a+ 2b Ở 2c=0
z=CẨ
vàa:b;:c khác (Ở2): 2: 1.
Bài 2. Viết phương trình của đường thẳng đi
qua điểm M⁄(2 ; I ; l), vuông góc với đường
thẳng đ, và cắt đường thẳng đ; được xác định
bởi các phương trình sau : .*+l y-2 7,
(4): 3.2 1)
x=2+3?
(4):$y=3+2t
z=2+5f
Kết quả : không tồn tại đường thẳng theo yêu
cầu bài toán (bài toán vô nghiệm).
KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG PHÁP
ĐỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Một trong những nguyên nhân học sinh
không nắm vững các kiến thức hình học hiện
nay, liên quan đến phương pháp luận của toán
học là do hình học được đại số hoá ở mức độ
caọ Nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức
hình thức trong hình học giải tắch nhưng không giải thắch được ý nghĩa hình học, bản chất của vấn đề, từ đó dẫn tới vận dụng máy móc hoặc không biết vận dụng trong các tình
huống cụ thể.
Từ nguyên nhân nói trên, để nâng cao hiệu
quả dạy học hình học ở trường THPT, theo chúng tôi, cần quan tâm rèn luyện kĩ năng cho
học sinh chuyển đổi ngôn ngữ từ phương pháp
tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ, ngôn ngữ toa
độ khi giải các bài toán hình học và ngược lạị
X* Thắ dụ. Cho tứ điện OABC có góc tam
diện đỉnh O là góc tam điện vuông và ÓA =
QOB = ÓC = I1. Gọi M, N theo thứ tự là các
trung diểm các cạnh AB, OẠ Tắnh khoảng
cách giữa hai đường thẳng OM và CN.
1. Giải bằng phương pháp tổng hợp Có thể giải bài toán ẠC Có thể giải bài toán ẠC
trên theo các cách sau (h.67). Cách ỉ. Dựng đường #Ặ vuông góc chung EF của OM và CN. K Tắnh EF. Cách 2. Khoảng A cách cần: tìm Ộ bảng Hình 67 khoảng cách từ một
điểm bất kì trên đường thẳng OM (vắ dụ @) đến mặt phẳng (2) mà (ụ) // OM và chứa đến mặt phẳng (2) mà (ụ) // OM và chứa
CN; (Ủ) chắnh là mặt phẳng(CK7), trong
đó ÓK / AB và KT' //OM. Khi đó OKTM là hình chữ nhật và dễ dàng chứng minh nếu O1 L CK thì OH 1 mp(CKT).
ĐÀO TAM (Đ/! Vinh, Nghệ An)
Tắnh ửH từ tam giác vuông CÓK, có
v2
OK =Ở~ và ÓC = 1. Sử dụng công thức diện
H
tắch suy ra ÓH =3:
Cách 3. Xem khoảng cách cần tìm là đường cao của hình hộp có hai đáy lần lượt thuộc hai
mặt phẳng song song chứa OM, và CN. 2. Giải bằng phương pháp vectơ 2. Giải bằng phương pháp vectơ
Có thể phiên dịch từ cách giải theo phương pháp tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ theo quy pháp tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ theo quy
trình giải như saụ
Cách l. EF là đường vuông góc chung của OM và CN khi và chỉ khi :
OE = xOM CF =yCN CF =yCN
EF.OM =0
EẸCN =0
e Biểu diễn OM,CN, EF qua các vectƠơ cơ sở
ÓA=a, OB =b, ÓC =c được EF = EƠOC +CF = ÓC +CF -OE c+ỵCN Ởx.OM ;-Ọ@+B)+y|a=c] l ể.. ể 20~x)ãs+.b+(l~ y)c. Ở2 eTắnh EƑ theo công thức EƑ'.= {EF
Ởể2
EF.OM =0
c> 2 ể"... =0 4 y x 4 Ở y= (2)
EF.CN =U
<> 3U@-3)+yS~I=0 Ạ8 5ỹx~4=0 @) Từ các phương trình (I), (2), (3) suy ra
l EẸ=>. 3
Tương ứng với cách 2 theo phương pháp tổng hợp, chúng ta có cách giải bằng phương pháp hợp, chúng ta có cách giải bằng phương pháp
vecfơ như saụ
Cách 2. Mặt phẳng chứa CN và song song với
OM có các vectơ chỉ phương là CK,CN.
e O// là khoảng cách từ Ó đến mặt phẳng
(CKN) khi và chỉ khi OH.CK =0 (4)
CN.OH =0 (5)
CH = xCK + yCN (6)
e Biểu thị ử// qua ba vectơ z,Đ,c được
JỞ _Ở
OH = OC+CH= c+xCK +yCN | [ \> 1 > ể | [ \> 1 > ể = [3 *zỪ]#~zxđ+0=x~
[Ở2
ệ Tắnh Ó/ theo công thức ÓH = {OH
đự" =(1y+1,} +4 ?+q-x-yỢ Ể) =\27*41) "16 ..ở
Từ các điều kiện (4), (5) suy ra xey=ỏ =0 (8)
I0 8
ậ +ay-gs=0 (9)
Từ các phương trình (7), (8), (9) suy ra
Ở
3. Giải bằng phương pháp toa độ
Chọn hệ trục toạ độ sao cho : Ó(0; 0; 0),
4Aq;0;0), (0; 1; 0), C(;0; 1). Khi đó vectơ chỉ phương của đường thắng ửAM⁄ là
Ở []] , ; Ỉ `
s=[s:ạ:0] Vectơ chỉ phương của đường
thắng CN là x=|5:0:~1Ì
Vectơ nối hai điểm của hai đường thẳng trên
là ÓC =(0;0;1), khi đó khoảng cách đ cần tìm được tắnh bằng tìm được tắnh bằng 0 1 1 1 5s 9 1 Ở 0 -] a2 = 2 2 1Í l1 1 Ở 2 o[ + P 21 TH l2 2 1 LỊ Ở 2b 0 1 d=ỞỞ4+ Ở=1 I1 3 4416
Công thức tắnh khoảng cách nói trên ứng với
cách 3 của phương pháp tổng hợp.
Các phương pháp còn lại có thể dịch sang ngôn ngữ toạ độ và giải tương ứng theo quy trình sử dụng toa độ.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình lập phương có cạnh bằng z. Tắnh khoảng cách giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau mà chúng chéo nhaụ
Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A,B,C,Đ,
có các kắch thước AB = 15 ; AD = 10 ;
AAI = 20.
Tắnh khoảng cách giữa hai đường thẳng A2
và BD.
Bài 3. Cho lăng trụ tam giác đều
ABC.A:BIC), có các cạnh bên bằng cạnh đáy
và bằng z. Tắnh khoảng cách giữa hai đường chéo A8 và 8¡C.
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN
Học sinh THPT thường lúng túng khi gặp các bài toán cực trị, nhất là cực trị hình học. Bài
viết sau đây sẽ góp phần giúp các bạn tự tin
hơn khi gặp các đạng toán này trong các kì thì
tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng.
Các bài toán tổng quát được xét trong không
gian với hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Óxyz. Ở phần áp dụng, ngoài thắ dụ 1, thắ dụ 2
được giải chi tiết, các thắ dụ khác chúng tôi chỉ hướng dẫn giải hoặc đưa ra kết quả để bạn đọc tự gIảị
@ Bài toán 1. Trong không gian với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (Ủ) có phương trình Ax + By + Cz + D =0 và hai
điểm M(AI ; vị : Z4. NÓ ; y; ; z2) không
thuộc (Ủ). Tìm điểm l trên mặt phẳng (đ) sao cho :
a)IM +T1IN là nhỏ nhất ;
b) IM Ở INI là lớn nhất.
Cách giảị a) Trước hết ta xác định vị trắ tương đối giữa Ả⁄ và W so với mặt phẳng (ụ) bằng cách xét
ẨT= (Am + By +2 +ĐXAx +ỷy; +CZƯ +Ôỷ).
e Nếu 7 > 0 thì Ả, N cùng phắa đối với mp(2) ;
Khi Mắ, ứ cùng phắa với nhau đối với mp(ử) ta
làm như sau :
Xác định điểm M' đối xứng với M qua mp(2),
lúc đó ƑM = 1M. Ta có IM +IN =IM'+IN 5
MÁN. Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi 7, M, N thăng hàng. Do đó điểm / thỏa mãn a) là giao thăng hàng. Do đó điểm / thỏa mãn a) là giao
điểm của 8N và mp(2).
ệe Nếu 7 < 0 thì M, N khác phắa đối với mp(ụ).
Ta có IM+IN>MN.
NGUYÊN THỊ THU HƯƠNG
(Trường THIPT chuyên lưng Yên)
Khi đó điểm / cần tìm chắnh là giao điểm của đường thẳng MN với mp(2ụ). đường thẳng MN với mp(2ụ).
b) e Nếu M và N nằm về cùng một phắa đối
với mp(ử2) và MN không song song với mp(ử#)
thì có lIM - INI < MN. Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi /, M, N thẳng hàng. Điểm / cần tìm và chỉ khi /, M, N thẳng hàng. Điểm / cần tìm
là giao của MN với mp(2ử).
Còn nếu M/4N//mp(2) thì không xác định được
điểm 1.
e Nếu M và N khác phắa đối với mp(2) thì lấy
điểm 4Ộ đối xứng với M qua mp(ụ). Khi đó
|[M Ở INI = IIM' - INI <MÌN. Đẳng thức xảy
ra khi và chỉ khi /, M', N thắng hàng. Điểm /
cần tìm là giao của ⁄#'N với mp(2).
* Thắ dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Descartes Oxyz cho hai điểm M(I ; 2; 3) và N4 ; 4; 5). Tìm điểm l thuộc mặt phẳng
(xOy) sao cho IM + IN nhỏ nhất.
Lời giảị Phương trình mặt phẳng (xÓy) là z = 0.
Ta có 7 = 3 x 5 >0, do đó M, N nằm về cùng
một phắa đối với mặt phẳng (xÓy). Ta xác
định 7 như sau :
Gọi /⁄ồ là điểm đối xứng với M4 qua mp(xOy). Đường thẳng (đ) qua 4 vuông góc với
mp(xÓy) có vectơ chỉ phương Ấ =(0;0; l) nên phương trình tham số có dạng
x=l
y=2_ (eN).
z=3+f
Giả sử H là giao điểm của đ với mp(xÓy)
thì (1 ; 2 ; 3 + 0. Lúc đó 3 +r= 0, suy ra
H(1; 2; 0).
Ta có 'M + N=IM +IN3>MN.
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi 7 là giao điểm
của M'N với mp(xOy). Phương trình của MỊN x-]l y=2 z+3
3 2 8
Điểm /(1 + 3m ; 2 + 2m ; -3 + 8m) cần tìm
thuộc MN, và còn thuộc mp(xQy) nên Ở3 + 8m: =0.
7 I1]
Vậy #iLễig 0] ự /|~;Ở;0].
là
* Thắ dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ
JDescartes vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (2) có phương trình 2x Ở y+z+ 1=0 và hai diểm M(3 ; !;0), N9; 4; 9), Tìm điểm trên mp(Ủ) sao cho |ÍM Ở INI đạt giá trị lớn
nhất.
Lời giảị Ta có T = 6.(Ở12) < ỷ nên M, N nằm
về hai phắa của mp(2). Gọi # là điểm đối xứng của M qua mp(ụ), khi đó đường thẳng xứng của M qua mp(ụ), khi đó đường thẳng
MR qua M( ; 1 ; ỷ) vuông góc với mp(ụ) có
phương trình là
x=3_y-]l zZ
2 Ở] L_
Gọi /7 là giao điểm của MR với mp(ụ), suy ra
HH3 + 2tr; lỞf;f) c MR. Vì H e mp(ử) nên H(1;2; Ở=l), suy ra R(Ở1; 3; -2).
Ta có lJM Ở /NI = IIR Ở INI < RN. Đẳng thức
xảy ra khi và chỉ khi 7, W, R thẳng hàng. Lại có
RN =(-8; I ; 11), do đó RA có PT tham số
x=ỞÌl-ứ¡
y=3+ắ/ tẹ
z=~2+Ìl
Điểm / cần tìm là giao của ệN với mp(ụ).
fỞ1~8¡; 3+; -2 + 11:) e mp(ử) suy ra
/7;2; 13).
Ạ@Bài toán 2. Trong không gian với hệ trục
tọa độ Descartes Oxyz cho đường thẳng d và
các điểm M( ; Vị ¡ Z¡) và NÓƯ ¡ yạ ; 72)
không thuộc d. Tìm điểm Ì trên đường thẳng d
sao cho IM + IN nhỏ nhất. Cách giải
e Trường hợp 1. M, N và d nằm trong một mặt
phẳng. Khi đó ta thực hiện bài toán trong mặt phẳng : Nếu đoạn Ả⁄N cắt ởđ thì giao điểm đó phẳng : Nếu đoạn Ả⁄N cắt ởđ thì giao điểm đó chắnh là điểm / cần tìm. Nếu đoạn M⁄N không
cắt đ thì lấy Ả' đối xứng với M qua đ khi đó IM =IM. Ta có IM +ÌN =IM +IÌN>MN. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi !, MỢ, N thẳng hàng, khi đó /M + /N bé nhất. Từ đó / là giao
điểm của M⁄'N và đ, suy ra tọa độ điểm 7.
e Trường hợp 2. Các đường thẳng MN và d
chéo nhaụ Có hai khả năng :
a) Nếu MA L đ(h. 68) thì ta làm như sau :
Gọi (P) là mặt phẳng qua N vuông góc với đ
tại J, khi đó MỰ 14; NJ L dvà M2 + NJ =k
(không đổi). Với mọi ! e đ thì /M > JM ;
IN >/N nên !M + IN >JM +JN. Đăng thức
xảy ra khi và chỉ khi 7Ặ = 7, từ đó tìm được tọa
độ điểm 1, giao của (P) và đ.
M Hình ó8
b) Nếu MN không vuông góc với đ ta
chuyển bài toán về mặt phẳng để giải như
sau (xemh.69): @w
Hình 69
Ở Xác định hình chiếu vuông góc H của NW xuống đ.,
Ở Gọi (R) là mặt phẳng chứa đ và điểm N ;
(P) là mặt phẳng qua # vuông góc với đ; (C)
là mặt phẳng chứa đ và điểm M⁄ ; A là giao
tuyến của () và (Ó) thì A L đ tại H. Trên A
lấy K sao cho KH = NH và K, M nằm về hai phắa của mặt phẳng (ệ). Khi đó với mọi J e đ phắa của mặt phẳng (ệ). Khi đó với mọi J e đ
thì ANUH = AKJUJH =>JK=JN
=JM +JN =JM +JK >MK.
Đảng thức xảy ra khi J, M, K thẳng hàng từ đó tìm được tọa độ điểm ¡ = J, giao điểm của đó tìm được tọa độ điểm ¡ = J, giao điểm của
MK và đ, đó là điểm cần tìm. f
* Thắ dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ
Descartes vuông góc Oxyz, cho M(1 ; 2; Ởl), N( ;Ở2 ; 3) và đường thẳng d có phương trình
x+]l y=2_ z-2
3-2 2
Tìm điểm I thuộc đ sao cho IM + IN nhỏ nhất.
Hướng dân. Đường thẳng đ có vectơ chỉ
phương H =(3;-2;2); MN =(6;Ở4; 4) nên
MN =2 ; M không thuộc đường thẳng đ
nên A4N // đ, do đó trên mặt phẳng chứa đ và MAN gọi M' là điểm đối xứng của #⁄ thì mặt MAN gọi M' là điểm đối xứng của #⁄ thì mặt phẳng (2) qua ÉM(I ; 2 ; Ở1) với vectơ pháp
tuyến (3 ; -2 ; 2) có phương trình
3xỞ2y+2z+3 =0.
Gọi /j là giao điểm của đường thẳng đ và mp
(Ủ) thì #⁄ có toạ độ H(-1 ; 2 ; 2), từ đó có M (-3;2; 5).
Gọi / là giao điểm của hai đường thẳng đ và MN thì HI//MN suy ra ỳ trung điểm M'N nên MN thì HI//MN suy ra ỳ trung điểm M'N nên
!2;0; 4) là điểm cần tìm. f
* Thắ dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ
Descartes vuông góc Oxyz, cho M ; l; Ì), N(4; 3 ; 4) và đường thẳng d có phương trình
Ở = Ở . Từn điểm l thuộc đ sao cho IM +1N nhỏ nhất.
Hướng dân. Ta có MN = (1 ; 2; 3) ; d có
vectơ chỉ phương Ấ =(1;-2; 1) nên MN.w= 1.1+2.(2)+3.1= 0, suy ra MN L đ.
Mặt phẳng (P) qua M4N vuông góc với đ tại !
có phương trình x Ở 2y + z Ở 2 =0.
Vì / là giao điểm của hai đường thẳng ẢM⁄N và
đ nên tắnh được toạ độ của 7 TỰ 23 .
l 3 3 3
Cuối cùng mời các bạn giải một số bài toán tương tự trên hệ trục tọa độ 2xyz.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho mặt phẳng (2) có phương trình
2vxỞ- y+z + l =0 và hai điểm M(3 ; 1; 0) ;
N(-9; 4; 0).
a) Tìm điểm 7 thuộc mặt phẳng (ụ) sao cho
Jim +IN| đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm điểm 7 thuộc mặt phẳng (2) sao cho
ƯM Ở INI đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2. Cho M(1 ; I; 0), N@G ; 1; 4) và đường
ẳ à -]_ z+2
thăng đ có phương trình ~= =Ở = 2"
Tìm điểm / trên đ sao cho /M + IN nhỏ nhất.
Bài 3. Cho M⁄(1 ; 3 Ở 2), N(9 ; 4; 9) và mặt
phẳng (P) có phương trình 2xỞ y+z + 1=0. Tìm điểm ¡ trên mặt phẳng (P) sao cho Tìm điểm ¡ trên mặt phẳng (P) sao cho