Dạng biểu diễn của giai thừa

Cho số tự nhiên n  480.000. Hãy phân tích n! ra tích của các thừa số nguyên tố theo trật tự tăng dần. Thí dụ, 13! = 210.3⁵.5².7.11.13. Kết quả hiển thị dưới dạng các dòng, mỗi dòng một số nguyên tố tiếp đến là số mũ tương ứng. Các số trên cùng dòng cách nhau qua dấu cách. Thí dụ trên cho ta kết quả hiển thị như sau 2 10 3 5 5 2 7 1 11 1 13 1

Thuật toán

Nhận xét Cho số tự nhiên N và một số nguyên tố p. Khi đó,

Nếu viết dãy thừa số 1, 2, ..., N vào một bảng có p cột thì ta thấy có n₁ = N div p dòng chứa p, 2p,...,n₁.p (ở cột cuối cùng). Nhóm các phần tử này lại ta được,

1p.2p....n₁p = (1.2...n₁).pⁿ¹. Thực hiện tương tự với tích 1.2...n1 ta thu được n2 = n₁ div p dòng chứa p, 2p,...,n₂.p... Từ đây ta suy ra lũy thừa k của p, pk trong dạng phân tích của N! sẽ là k = n₁+n₂+...+n_v, trong

đó ni = n_i-1 div p, n₁ = N div p, n_v = 0, i = 2..v. Hàm tính lũy thừa của p trong dạng phân tích của N! bằng các phép chia liên tiếp khi đó sẽ như sau,

function Power(n,p: longint): byte; var k: byte; begin k := 0; while (n <> 0) do begin n := n div p; k := k + n; end; Power := k; end;

Ta dùng hàm NextPrime để sinh lần lượt các số nguyên tố p trong khoảng 2..N và tính

Power(N,p). Nếu giá trị này lớn hơn 0 thì ta hiển thị kết quả.

procedure Fac(n: longint); const bl = #32; { Dau cach } var p: longint; k: byte; begin writeln; p := 2; while p <= n do begin k := Power(n,p); if (k > 0) then writeln(p,bl,k); p := NextPrime(p); end; end; Hai hàm phụ trợ.

Hàm IsPrime(p) kiểm tra p có phải là số nguyên tố hay không bằng cách xét xem trong khoảng từ 2 đến

p

function IsPrime(p: longint): Boolean; var i: longint;

begin

IsPrime := false; if p < 2 then exit;

for i := 2 to round(sqrt(p)) do if p mod i = 0 then exit; IsPrime := True;

end;

Hàm NextPrime(p) sinh số nguyên tố sát sau p bằng cách duyệt tuần tự các số lẻ sau p là p+2k

nếu p lẻ và (p-1) + 2k, nếu p chẵn.

function NextPrime(p: longint): longint; begin if p < 2 then begin NextPrime := 2; exit; end;

if not odd(p) then p := p-1; repeat

p := p+2;

NextPrime := p; end;

Ta có thể cải tiến khá mạnh tốc độ tính toán bằng các kỹ thuật sau.

Sinh sẵn các số nguyên tố trong khoảng từ 1..N bằng giải thuật Sàng mang tên nhà toán học Hi Lạp Eratosthene. Từ vài nghìn năm trước, Eratosthenes đã dạy như sau:

Baì giảng của Eratosthenes

Nếu trò muốn liệt kê toàn bộ các số nguyên tố nằm trong khoảng từ 1 đến N hãy làm như sau

1. Viết dãy số từ 1 đến N.

2. Xóa đi số 1 vì nó không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số. Nó là một số đặc biệt.

3. Lần lượt duyệt từ 2 đến

N

Thời đó chưa có giấy viết nên thày trò phải viết trên những tấm bảng bằng đất sét vào lúc đất còn dẻo, các số bị xóa được đục thủng. Sau khi phơi khô ta thu được những tấm bảng thủng lỗ chỗ như một cái

sàng gạo.

Với mảng a[0..MN] of byte đủ lớn, thí dụ, MN = 60.000 ta có thể ghi nhận các số nguyên tố nằm trong khoảng 1..MN. Ta qui ước a[i] = 0 thì i là số nguyên tố, a[i] = 1 ứng với số i bị dùi thủng nên i không phải là số nguyên tố.

procedure Eratosthenes(n: longint); var i,j: longint;

begin

fillchar(a,sizeof(a),0);

for i := 2 to round(sqrt(n)) do if a[i]=0 then

for j := i to (n div i) do a[i*j] := 1; end;

Thủ tục phân tích N! ra thừa số nguyên tố dạng cải tiến sẽ như sau,

procedure NewFac(n: longint); const bl = #32; { Dau cach } var i,p: longint;

begin Eratosthenes(n); writeln; for i := 2 to n do if a[i] = 0 then begin p := Power(n,i); if P > 0 then writeln(i,bl,p); end;

Sau ông được giao phụ trách thư viên Alexandria, một trung tâm lưu trữ và bảo tồn các tác phẩm văn hóa và khoa học nổi tiếng đương thời. Ngoài các công trình tóan học, Eratosthenes còn có những đóng góp rất giá trị về đo lường. Ông đã tiến hành đo kích thước Trái Đất.

Eratosthenes (276-194 tr. CN) Nhà toán học lỗi lạc Hy Lạp Cổ đại. Ông sinh tại Cyrene, theo học trường phái Plato tại Athens. Hoàng đế Ptolemy II mời ông đến Alexandria để dạy cho hoàng tử.

end;

Dùng kỹ thuật đánh dấu bit có thể tạo kho số nguyên tố cỡ 8.MN vì một byte có 8 bit, mỗi bit sẽ quản lí 1 số.

Mảng a vẫn được khai báo như trước: a[0..MN] of byte (quan trọng là chỉ số phải tính từ 0 trở đi) nhưng lúc này mỗi phần tử a[i] sẽ quản lí 8 số chứ không phải một số như trước. Tiếp đến bạn cần viết thêm ba thủ tục sau đây:

Thủ tục BitOn(i) - đặt trị 1 cho bit thứ i trong dãy bit a (bật bit). Các bit trong dãy a sẽ được mã số từ 0 đến 8MN-1= 480.000-1. Bản thân số 480.000 là hợp số nên ta có thể bỏ qua.

procedure BitOn(i: longint); var b,p: longint; begin b := i shr 3; { i div 8 } p := i and 7; { i mod 8 } a[b] := a[b] or (1 shl p); end;

Đặt trị 1 cho bit i trong dãy bit a

1. Xác định xem bit i nằm trong byte nào

b := i div 8

2. Xác định xem bit i là bit thứ mấy trong byte b (tính theo trật tự 7,6,5,4,3,2,1,0)

p := i mod 8

3. Lấy số nhị phân 8 bit 00000001 dịch trái p vị trí rồi cộng logic theo bit với a[b].

a[b] := a[b] or (1 shl p);

Bạn ghi nhớ sự tương đương của các phép toán sau đây

Phép toán

Phép toán tương đương

x div

2k x shr k x mod

2k x and 2k-1

Tính theo dạng này sẽ nhanh hơn

Thủ tục BitOff(i) đặt trị 0 cho bit thứ i trong dãy bit a (tắt bit).

procedure BitOff(i: longint); var b,p: longint;

begin

b := i shr 3; { i div 8 } p := i and 7; { i mod 8 } a[b]:=a[b] and (not(1 shl p)); end;

Đặt trị 0 cho bit i trong dãy bit a

1. Xác định xem bit i nằm trong byte nào

b := i div 8;

2. Xác định xem bit i là bit thứ mấy trong byte b (tính theo trật tự 7,6,5,4,3,2,1,0)

p := i mod 8;

3. Lấy số nhị phân 6 bit 00000001 dịch trái p vị trí, lật rồi nhân logic theo bit với a[b].

a[b]:=a[b] and (not(1 shl p));

Hàm GetBit(i) cho ra trị (1/0) của bit i trong dãy bit a.

function GetBit(i: longint): byte;

var b,p: longint; Đặt trị 0 cho bit i trong dãy bit a

begin

b := i shr 3;

p := i and 7; { i mod 8 } GetBit := (a[b] shr p) and 1; end;

b := i div 8;

2. Xác định xem bit i là bit thứ mấy trong byte b (tính theo trật tự 7,6,5,4,3,2,1,0)

p := i mod 8;

3. Dịch a[b] qua phải p vị trí, rồi nhân logic theo bit với 00000001 để lấy bit phải nhất (bit 0).

GetBit := (a[b] shr p) and 1;

Các thủ tục cơ bản theo kỹ thuật xử lí bit khi đó sẽ như sau.

procedure Eratosthenes_B(n: longint); var i,j: longint;

begin

fillchar(a,sizeof(a),0); for i:=2 to round(sqrt(n)) do for j:=i to (n div i) do BitOn(i*j); end;

procedure BFac(n: longint); const bl = #32; { Dau cach } var i,p: longint;

begin Eratosthenes_B(n); writeln; for i:=2 to n do if GetBit(i)=0 then begin p := Power(n,i); if P > 0 then writeln(i,bl,p); end; end;

Chương trình C#

// C#

static byte [] a = new byte[40000]; static void Main(string[] args){ BFac(13);

Console.ReadLine(); }

static int Power(int n, int p){ int k = 0;

while (n != 0){ n /= p; k += n; } return k;

}

static void Fac(int n) { Console.WriteLine(); int p = 2, k;

while (p <= n){ k = Power(n,p);

if (k > 0) Console.WriteLine(p+" "+k); p = NextPrime(p);

} }

static bool IsPrime(int p){ if (p<2) return false; if (p==2) return true;

if (p % 2 == 0) return false; int cp = (int)(Math.Sqrt(p)); for (int i=3; i <= cp; i+=2) if (p % i == 0) return false; return true;

}

static int NextPrime(int p){ if (p < 2) return 2; if (p % 2 == 0) --p;

do { p += 2; } while (!IsPrime(p)); return p;

}

// Sang Eratosthene dung byte static void Eratosthenes(int n){ Array.Clear(a,0,a.Length); int sn = (int)Math.Sqrt(n); for (int i = 2; i <= sn; ++i) if (a[i]==0){

int ni = n/i;

for (int j = i; j <= ni; ++j) a[i*j] = 1; }

}

// Gan 1 cho bit i

static void BitOn(int i){ int b = i >> 3;

int p = i & 7;

a[b] |= (byte)(1 << p); }

// Gan 0 cho bit i

static void BitOff(int i){ int b = i >> 3;

int p = i & 7;

a[b] &= (byte)~(1 << p); }

// Lay tri cua bit i

static byte GetBit(int i) { int b = i >> 3;

int p = (i & 7);

return (byte)((a[b] >> p)&1); }

// Sang Eratosthene dung bit

static void Eratosthenes_B(int n){ Array.Clear(a, 0, a.Length); int sn = (int)Math.Sqrt(n); for (int i = 2; i <= sn; ++i) if (GetBit(i) == 0) { int ni = n / i;

for (int j = i; j <= ni; ++j) BitOn(i * j); }

static void BFac(int n){ int p;

Eratosthenes_B(n);

for (int i = 2; i <= n; ++i) if (GetBit(i)==0) { p = Power(n,i); if (p > 0) Console.WriteLine(i+" "+p); } } } // GiaiThua } // SangTao2

Độ phức tạp

Để liệt kê các số nguyên tố từ 1..N ta duyệt từ 1 đến

N

N