void PhânHoạch(mang x, int L, int R)
// L, r : lần lượt là chỉ số trái và phải của dãy con của mảng x cần phân hoạch { int i = L; j = R;
ElementType giua = x[(L+R)/2]; // Chọn phần tử “giữa” làm mốc do
{ while (giua>x[i]) i = i+1; while (giua<x[j]) j = j-1; if (i <= j) { HốnVị(x[i],x[j]); i++ ; j-- ; } } while (i <= j); if (L < j) PhânHoạch(x, L, j); if (R > i) PhânHoạch(x, i, R); return; }
void SắpXếpNhanh (mang x, int n)
{ PhânHoạch(x, 0, n-1); return;
}
d. Độ phức tạp của thuật tốn
Người ta chứng minh được rằng:
+ Trong trường hợp xấu nhất (khi phân hoạch mọi dãy thành hai dãy con,
luơn cĩ một dãy con cĩ độ dài khơng, chẳng hạn, chọn g = xL và dãy ban đầu
được sắp theo thứ tự ngược lại):
Txấu(n) = O(n2)
nghĩa là, sắp xếp nhanh (QuickSort) khơng hơn gì các phương pháp sắp xếp trực tiếp đơn giản, nhưng trường hợp này hiếm khi xảy ra: để tránh tình trạng này, ta
thường chọn g= xgiữa.
+ Trong trường hợp tốt nhất: sau mỗi phân hoạch, ta đều chọn đúng mốc là
phần tử median cho dãy con (phần tử cĩ trị nằm giữa dãy). Khi đĩ, ta sẽ cần
log2(n) lần phân hoạch thì sắp xếp xong. Độ phức tạp trong mỗi lần phân hoạch là O(n). Vậy: Ttốt (n) = O(nlog2n)
+ Trong trường hợp trung bình thì :
QuickSort là phương pháp sắp xếp trong trên mảng rất hiệu quảđược biết cho đến nay.
II.3.7. Phương pháp sắp xếp trên cây cĩ thứ tự(HeapSort)
Với phương pháp sắp xếp Quick Sort, thời gian thực hiện trung bình khá tốt, nhưng trong trường hợp xấu nhất nĩ vẫn là O(n2). Phương pháp HeapSort mà ta sẽ xét sau đây cĩ độ phức tạp trong trường hợp xấu nhất là O(nlog2n).
Nhược điểm của phương pháp chọn trực tiếp là ở lần chọn hiện thời khơng tận dụng được kết quả so sánh và hốn vị của các lần chọn trước đĩ. Phương pháp dựa trên khối HeapSort khắc phục được nhược điểm này bằng cách đưa dãy cần sắp vào cây nhị phân cĩ thứ tự (hay Heap) và chúng được lưu trữ kế tiếp bằng mảng. a.Định nghĩa và tính chất của khối (Heap) Định nghĩa: Dãy xm, ..., xn là một Heap nếu : xk ≥ x2k, xk ≥ x2k+1, với mọi k mà : m ≤ k < 2k < 2k+1 ≤ n. Tính chất:
- Nếu dãy x1, ..., xn cĩ thứ tự thì nĩ là một Heap. Chú ý điều ngược lại chưa chắc đúng, nghĩa là: nếu dãy x1, ..., xn là một Heap thì chưa chắc dãy đã cĩ thứ tự.
- Nếu dãy x1, ..., xn là một Heap thì x1 là phần tử lớn nhất trong dãy và nếu bỏđi một số phần tử liên tiếp ở hai đầu của dãy thì nĩ vẫn là một Heap.
- Với dãy bất kỳ x1, ..., xn thì dãy x[n/2]+1, ..., xn (nửa đuơi dãy) là một Heap.
- Nếu dãy x1, ..., xn là một Heap thì ta cĩ thể biểu diễn “liên tiếp” những phần tử của dãy này lên một cây nhị phân cĩ tính chất: con trái (nếu cĩ) của xi là
x2i ≤ xi và con phải (nếu cĩ) của xi là x2i+1 ≤ xi.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 … b. Ý tưởng phương pháp:
Nếu biểu diễn một Heap x1, ..., xn lên cây nhị phân cĩ thứ tự, ta sẽ thu được dãy cĩ thứ tự bằng cách :
- Hốn vị nút gốc x1 (lớn nhất) với nút cuối xn
- Khi đĩ x2, ..., xn-1 vẫn là một heap. Bổ sung x1 vào heap cũ x2, ..., xn-1 để được heap mới dài hơnx1, ..., xn-1.
Lặp lại quá trình trên cho đến khi cây chỉ cịn một nút.
Ví dụ: Sắp xếp dãy số
44 55 12 42 94 18 06 67
Giả sử tồn tại thủ tục để tạo một Heap đầy đủ ban đầu từ dãy trên : 94 67 18 44 55 12 06 42
Cây nhị phân biểu diễn Heap ban đầu
94 67 18 44 55 12 06 42
Hốn vị nút 94 với nút 42 và bổ sung 42 vào heap cũ: 67, 18, 44, 55, 12, 06 để được heap mới dài hơn: 67, 55, 18, 44, 42, 12, 06. Để ý rằng, ta chỉ xáo trộn khơng quá một nhánh (nhánh trái cĩ gốc là 67) với gốc (42) của cây cũ.
1 42 67 18 67 18 2 44 55 12 06 94 67 55 18 44 42 12 06
94
Tiếp tục quá trình trên cho đến khi dãy chỉ cịn một phần tử thì ta sẽ được dãy tăng:
06 12 18 42 44 55 67 94