( ˆ jk kjj k k
3.6 Tối ưu hóa kiểu từ điển ( lexicographic optimality )
Trong tối ưu hóa kiểu từ điển ta so sánh các vectơ hàm mục tiêu trong không gian mục tiêu theo thứ tự kiểu từ điển. Ta cũng có thể viết bài toán tối ưu kiểu từ điển dưới dạng ( ) ( ) ( ) ( 1 , 2 ,..., ) ex min p x X f x f x f x l ∈ (3.6.1)
Định nghĩa 3.6.1. Một phương án khả thi ˆx∈X được gọi là tối ưu theo kiểu từ điển nếu không tồn tại x∈X sao cho f x( )<lex f x( )ˆ .
Do <lex là một thứ tự toàn phần nên định nghĩa 3.6.1 có thể phát biểu lại như sau:
ˆ
x∈X là tối ưu theo kiểu từ điển nếu
( )ˆ lex ( )
f x ≤ f x với mọi x∈X
Trước tiên, ta thiết lập mối liên hệ giữa phương án tối ưu theo kiểu từ điển và điểm hữu hiệu.
Bổ đề 3.6.2. Nếu ˆx∈X thỏa f x( )ˆ ≤lex f x( ) với mọi x∈X thì ˆx∈XE.
Chứng minh: Giả sử ˆx không hữu hiệu. Thì có x∈X sao cho f x( )≤ f x( )ˆ . Vì vậy có k∈{1, 2,...,p} thỏa fk( )x < fk( )xˆ . Đặt q:=min k f{ : k( )x < fk( )xˆ }. Khi đó
( ) ( )ˆ
k k
f x = f x với k =1, 2,...,q−1 và fq( )x < fq( )xˆ . Do đó f x( )<lex f x( )ˆ , trái với tính tối ưu theo từ điển của ˆx.
Trong khi điểm đặc trưng thiết yếu của sự hữu hiệu là sự thỏa hiệp giữa các mục tiêu, tối ưu theo kiểu từ điển hàm ý một sự xếp hạng của các mục tiêu. Tính tối ưu của mục tiêu fk chỉ được xem xét một khi tính tối ưu của các mục tiêu 1,2,...,k−1
đã được thiết lập. Điều đó có nghĩa là mục tiêu f1 luôn được quyền ưu tiên cao nhất và chỉ trong trường hợp có nhiều phương án tối ưu thì mục tiêu f2 và các mục tiêu tiếp theo sau mới được xét đến. Quyền ưu tiên này dẫn đến sự vắng mặt của việc thỏa hiệp giữa các mục tiêu.
Sư phân cấp giữa các mục tiêu cho phép chúng ta giải bài toán tối ưu theo kiểu từ điển một cách liên tục. Sau đây ta đưa ra thuật toán giải:
Thuật toán ( tối ưu theo kiểu từ điển ).
Đặt X1:= X và 1: : ( ) ( ) , 1, 2,..., k k k k k z X X + x X f x minf z k p ∈ = ∈ = = . Lần lượt giải
các bài toán một mục tiêu
( )k k k x X f x min ∈ (3.6.2) Ở đây k≤ p.
Nếu (3.6.2) có một phương án tối ưu duy nhất ˆk
x , DỪNG, ˆk
x phương án tối ưu duy nhất của bài toán tối ưu kiểu từ điển.
Nếu (3.6.2) không bị chặn, DỪNG, bài toán tối ưu kiểu từ điển không bị chặn. Nếu k = p, DỪNG, tập các lời giải tối ưu của bài toán tối ưu kiểu từ điển là:
( ) ( ) : p p p p z X x X f x minf z ∈ ∈ =
Mệnh đề 3.6.3. Nếu ˆx là phương án tối ưu duy nhất của (3.6.2) với k < p, hoặc ˆx
Chứng minh: Giả sử tồn tại x∈X với f x( )<lex f x( )ˆ . Như vậy ta có
( ) ( )ˆ
i i
f x = f x với i =1, 2,...,k−1 và tồn tại j∈{k,...,p} thỏa fj( )x < fj( )xˆ . Nếu
k< p thì hoặc ˆx không là phương án tối ưu của (3.6.2) hoặc (3.6.2) có ích nhất hai phương án tối ưu, trái với giả thiết. Nếu k= p thì f x( )= f x( )ˆ trái với
( ) lex ( )ˆ
f x < f x .
Mệnh đề 3.6.4. Nếu ˆx là phương án tối ưu duy nhất của (3.6.2) với k nào đó thuộc
{1, 2,...,p} thì ˆx∈XsE.
Chứng minh: Theo bổ đề 3.6.2, ˆx là phương án tối ưu của (3.6.2) thì ˆx∈XE. Giả sử có x∈X sao cho f x( )≤ f x( )ˆ . Do ˆx hữu hiệu nên f x( )= f x( )ˆ . Vì vậy x
cũng là một phương án tối ưu của (3.6.2). Tính duy nhất của ˆx chỉ ra x= xˆ. Suy ra
( ) ( )
{x∈X : f x ≤ f xˆ } =1
Vậy ˆx∈XsE.