Cho hàm ƒ(z) € Cc N vấn đề đặt ra là chọn các mốc nội suy như thế nào để sai số
trong cơng thức nội suy là bé nhất? 1. Đa thức Chebyshev
Xét đa thức bậc mø xác định bởi
T„(%) — cos[n arccos(z)],
trong đĩ œ = 0, 1,2,..., và z € [—1, 1].
Để thấy được dạng hiện của đa thức ta đặt 0 = arccos(z) tương đương cos0 = z.
Thay vào biểu thức ta cĩ:
T+1(+) — cos|(n + 1)0| — CoOsS n cos ổ *E sin n8 sin 0.
Suy Ta
T„+1() + Tạ_1(>) = 2z1a(2). Ta nhận được cơng thức để tính như sau
Tạ +1(z) — 2#1a(#) — Tn_1(2). Với m„ — 0, 1,2,..., +oo, ta nhận được
Tọ(z) = cos0 = 1; Tìi(z) =z;
T;(z) = 2#T1(z) — Tạ(z) = 2 * #2 — 1,
T„+1(£) — 2#T„(&) — Tạ_1 (2).
Nhận xét: Đa thức 7; (+) là đa thức bậc ø cĩ hệ số đầu là 2"~1,
Định lý 3.6.1 Trong tất cả các đa thức bậc n với hệ số đầu là 1 thì đa thức HS, cĩ độ lệch so với 0 nhỏ nhất trên |—1, 1| (hệ số đầu hiểu là hệ số của số hạng bậc cao nhất
trong da thức), tức là với mọi đa thức
P(z) = z" + aiz”"~” +... + đụ,
thì
đạ 1
Chứng minh: Theo cách xác định của đa thức Chebyshev ta cĩ T„(z) COSỈm arccos #] 1 | 2mn—1 | — | 2n—1 | < 2m—1` Điều này cĩ T„(z) 1 | 2m—1 | — 2m—1 ? SUY Ta n = kĩ, tức là k 0=, k=0,1,2,...n. n Do đĩ kĩ kĩ ĐTCCOS Ø¿ —= — => #¿ — COS(—). m m Bây giờ xét đa thức
T„(z —1)*
Q) = T01 — phy) = CS” — P(mg)
Từ giả thiết phản chứng ta cĩ:
IP,)| <|P l< zr:
*^À ` Ẩ ~Z % ˆ 2 ? ^ ` ~“ ° -.L + —] k
Điều này dẫn đến dấu của biếu thức ()(z;) chỉ phụ thuộc vào dấu của biều thức = tức là
. —1)*
Sign(Q(zy)) = Siạn[C |, k=0,1,2,...,m.
Vậy đa thức Q(z„) đổi dấu nø + 1 lần nên Q(z) cĩ ít nhất + nghiệm trên |ø, b| là điều vơ
lý (bởi Q(z) cĩ bậc khơng quá n).
2. Nghiệm của đa thức Chebyshev
Xét điểm z; là nghiệm của T;„() nghĩa là T;(Z„) = 0. Bởi T„(#) = cos[n arccos()]
_—_ (2k+1)z
và theo cách đặt Ø, = arccos(Z„) nên Z„ = cos(¿), suy ra Øy, = “==”—. Vậy
2k+1
#y — COS( }m, k=0,1,...,m=— 1. 3. Nghiệm của đa thức Chebyshev trên đoạn [ø, Ù|
Bây giờ xét z € |øơ, b|. Từ cơng thức nghiệm của đa thức Chebyshev Z„ ở trên ta suy ra cơng thức của đa thức Chebyshev trên đoạn [a, b| bằng phép đổi biến
— 2#@—qa—dÙ
t= b—a ` cictbt ¿€|T—1,]|.
Tức là 1
# — s1(0 — a)‡ + (a+ b)}.
Khi đĩ với mỗi đa thức P„(z), z € [ø, b] ta nhận được (sau khi đổi biến) đa thức
P„() = P(s[6® —ayz+(ø+øj) = (Ê =9" t“+...), SUY TA 2" 1 —“ | >_— (b — aỳ" lÌ> 2—1) || Pa vậy 6 — a)" || P» ||> _— Từ đĩ, ta cĩ
||, ÏE sup |đ:0ø)| zc[|a.b|
b—qa œ+b
—= Sup |P„(——‡+ ng (— mm)
b— b
¿€[—1,1] »"
b — a)" b — aì" b— aÌ"
"`. . . 2m t€|[—1,1] 2n2m—1 TS. 22n—1 \
+o.-i|
Như vậy với mợi đa thức P„ xác định trên [ø, b| thì
TT cm 2?
Nhưng theo kết quả của định lý trên thì đa thức mủ là đa thức cĩ độ lệch nhỏ nhất trên
đoạn |—1, l] nên
Tn(ES Dạ (b—g)®— (b— a)"
IS 2% cĩ 22n—1 "
Giả sử nghiệm của T„(£) trên [—1, 1] là Ø; = cos(®!“), ¿ = 1,2,...,r suy ra
2+1
—— 3n+1)T + (+ )},?=0,1,...,? b)‡.¿=0,1,....m. đị — s((0 — Ø) CO8
4. Chọn mốc nội suy tối ưu
Từ cơng thức sai số của phương pháp nội suy
+:
[/(ø)— Pa(ø)| < | =h rHe~ (n+ 1)! "9
Ta cĩ: ¿(#) :— | HƑ_ s(œ — #¿), là đa thức cĩ bậc + + 1. Theo kết quả vừa nhận được thì =0
b—q rr+1 |) I> Nếu ta lấy Tn.1(#S=”) (b— a)n+1 ((%) 2n " anrT 7 T1 (2=) c(b—a)9?1 (b— a)nẻ1 TT =-=. -. . --:
Bởi vậy nếu ta lấy các mốc nội suy chính là các nghiệm z;, ? = 0, 1,2, ..., r, thì sai số IR@)| = [ƒœ) — P.)| Tt M„~ (b _— a)"+! L_o( — #¡)| = (ø+1)1 2221 Ý<| Ma~i — (n+1)l
Vậy các nghiệm z;, ¿ = 0, 1,2, ..., , chính là các mốc nội suy tối ưu.
Kết luận:
Để cĩ mốc nội suy tối ưu thì các mốc nội suy z; là
1 2+1
mị= g{З)eos gác 2 + (1 )},§ = 0,1,.-,m
Khi đĩ, sai số cho bởi cơng thức
M (b — a)*+!
{z)| < (đ6đ+I1) 2m
Ví dụ:
Xét hàm ƒ(z) = wz + 1, Tìm đa thức nội suy Qs của ƒ trên |0, 1| với các mốc nội suy tối ưu. Như vậy, theo kết quả ở trên ta cĩ 4 mốc nội suy tối ưu là:
Đa thức nội suy
Q:(z) = ( — #1)(# — #a)(% — #4) +Xr.+1 (# — #o)(# — #a)(% — #3)
(Zo - #1)(Zo — #2)(Zo — 3) ta — Zo)(1 — #2)(Z1 — 3)
+Vza+1 (œ — #o)(# — #1)(# — #3) ++V2zs+1 (# — #o)(œ — #1)(# — #2) (đa — #o)(a — #1) — #3) (#3 — #0)(#3 — #1)(#3 — #3) Ước lượng tốt nhất của phép nội suy trong trường hợp này là:
Chương 4
Tính Gần Đúng Đạo Hàm Và Tích Phân