Định lý Mọi tr-ờng F đều tồn tại một bao đóng đại số.

Chứng minh. Tr-ớc tiên ta chú ý rằng, t-ơng tự nh- vành đa thức hữu hạn biến độc lập đại số, ta chỉ có thể xây dựng vành đa thức F[{xj}] với tập tùy ý các biến {xJ}, trong đó mỗi đa thức là tổng hữu hạn các đơn thức

1... ,

m

i i

ax x với xit  {xj}. Gọi F[...,yf,...], là vành đa thức mà mỗi biến yf ứng với một đa thức chuẩn tắc f  F[x]. Gọi I là iđêan của F[...,yf,...] sinh ra bởi tất cả đa thức f(yf). Nếu I =(1) thì tồn tạig1,...,gn  F[...,yf,...], sao cho

g1f(yf1) +... + gnf(yfn) = 1. (i)

Gọi F’ l¯ một mở rộng của F chứa một nghiệm αi của fi với mọi i = 1,..., n. Xét đồng cấu vành từ F[...,yf,...] v¯o F’ v¯ biến yfi thành αi, i = 1,..., n và biến yf = 0 với f  { ,..., }f1 fn . Khi đó biểu diễn (i) cho 0 = 1. Vô lý! Cho nên I(1).

Do đó theo bổ đề Zorn, tồn tại một iđêan tối đại M của F[...,yf,...] chứa I. Đặt F[...,yf,...]/M, khi đó E1 là một tr-ờng chứa F. Mọi đa thức trong F[x] đều có ít nhất một nghiệm trong E1. Lặp lại quá trình trên khi thay F bởi E1 ta có mở rộng E2 của E1. Tiếp tục nh- thế, ta có chuỗi các mở rộng tr-ờng

F = E0  E1 ..., và đặt E =  Ei. Khi đó E là một tr-ờng đóng đại số vì với mọi đa thức f  E[x], tồn tại i sao cho f  E xi[ ]. Nh- thế f có ít nhất một nghiệm trong Ei+1  E. Lấy tr-ờng con F các phần tử đại số trong E. Khi đó

F là bao đóng đại số của F. □

Một chứng minh khác sử dụng những tính chất về lực l-ợng. Ta cần bổ đề sau:

2.2.2. Bổ đề. Cho F là một tr-ờng vô hạn và K là một mở rộng đại số của F.

Khi đó K có cùng lực l-ợng với F.

Chứng minh. K bằng hợp rời rạc của các tập hữu hạn, mỗi tập chứa tất cả các nghiệm trong K của một đa thức chuẩn tắc bất khả quy trong F[x]. Do đó lực

l-ợng của K bằng với lực l-ợng của đa thức chuẩn tắc, bất khả quy trong F[x]. Ta biết rằng tập các đa thức chuẩn tắc có bậc bằng n cho tr-ớc trong F[x] có cùng lực l-ợng với F, do đó lực l-ợng của tập các đa thức chuẩn tắc cũng bằng lực l-ợng của F, suy ra K và F có cùng lực l-ợng. □

Chứng minh. (cách hai của Định lý 2.2.1.). Ta chỉ cần chứng minh cho tr-ờng hợp F là tr-ờng vô hạn. Nhúng F vào trong một tập S có lực l-ợng lớn hơn lực l-ợng của F. Gọi  là tập các bộ ( E, +, . ), trong đó E  S là một mở rộng đại số của F và +, . là các phép toán trên tr-ờng E. Trên  xét quan hệ thứ tự, định bởi ( E, +, . ) > (E’, +, . ) nếu E là mở rộng tr-ờng của E’. Bổ đề Zorn chỉ ra rằng tồn tại một phần tử tối đại ( K, +, . ) trong . Khi đó K là một mở rộng đại số của F. Ta chứng minh K đóng đại số. Giả sử ng-ợc lại K không đóng đại số. Khi đó tồn tại một mở rộng đại số thực sự L = K( ) của K. Vì L  S , nhúng L và F bằng một đơn ánh sao cho đồng nhất trên K. Khi đó tồn tại một phần tử của lớn hơn ( K, +, . ), vô lý do tính tối đại của (K, +, . ). □

2.3. Bài tập

Bài 1: Chọn đúng sai cho các mệnh đề sau:

a) Mọi mở rộng hữu hạn cùng bậc đều dẳng cấu.

b) Các mở rộng trên cùng một tr-ờng F và F - đẳng cấu với nhau có cùng bậc.

c) Mọi mở rộng đại số đều là mở rộng hữu hạn. d) Mọi mở rộng siêu việt đều là mở rộng vô hạn. e) Mọi phần tử của C đều đại số trên R.

f) Mọi mở rộng của R đều là mở rộng hữu hạn.

g) Mọi mở rộng đại số của Q đều là mở rộng hữu hạn.

h) Tr-ờng con A các phần tử đại số của C trên Q là tr-ờng con lớn nhất của C sao cho nó là mở rộng đại số của Q.

Đáp án: a) S. b) Đ. c) S. d) Đ. e) Đ. f) S. g) S. h) Đ.

Bài 2: Dựng tr-ờng nghiệm của đa thức x2 + 1 trên tr-ờng Zp .

Lời giải: Xét đa thức x2 + 1  Zp[X]. Khi p là đa thức này bất khả quy trên Zp nếu p1(mod4). Thật vậy, x2 + 1 có nghiệm trong Zp nếu và chỉ nếu -1 là một thặng d- bậc hai modp: x2  - 1(modp), và theo kết quả của lý thuyết thặng d- bậc hai, điều này lại t-ơng đ-ơng với p 1(mod4). Vì vậy, đa thức x2 + 1 có nghiệm i trong mở rộng đơn bậc hai Zp (i). Mở rộng đơn Zp (i) này chứa nghiệm –i còn lại của đa thức x2 + 1. Vì vậy, tr-ờng nghiệm N của đa thức x2 + 1 trên Zp là Zp(i).

Khi p = 2, x2 + 1 = (x-1)(x+1) = ( x+1)2 có nghiệm kép 1 trên Z2. Do đó, với p = 2 tr-ờng nghiệm của đa thức x2 + 1 chính là tr-ờng Zp .

Bài 3: Dựng một tr-ờng đặc số 5 có 25 phần tử .

Lời giải: Xét đa thức f(x) = x2 + x + 1  Z5[X]. Ta có f(X) vô nghiệm trên tr-ờng Z5 do đó đa thức f(x) bất khả qui trên tr-ờng Z5. Gọi N là tr-ờng

nghiệm của đa thức f(x) trên Z5, ta có N = Z5(u,v) trong đó u, v là các nghiệm của đa thức f(x) theo định lý Viet u + v = -1, nên N = Z5(u). Do f(x) bất khả quy rên Z5 nên phần tử u là phần tử đại số bậc hai trên Z5. Do đó, N là mở rộng bậc hai của Z5 có cơ sở {1, u} hay:

N = { a + bu / a, b  Z5 }.

Tr-ờng N có 25 phần tử là tr-ờng cần dựng .

Bài 4: Dựng một tr-ờng đặc số p có p2 phần tử .

Lời giải: Trên tr-ờng Zp có p2 đa thức bậc hai đơn hệ f(x) = a0 + a1x + x2, trong đó có ( 1)

2

p p

đa thức khả quy dạng (x-a)(x-b) (với a,b phân biệt thuộc Zp) và p đa thức khả quy dạng (x – c) 2 (với c thuộc Zp). Vì vậy, số đa thức bậc hai đơn hệ bất khả qui trên tr-ờng Zp là :

2 ( 1) ( 1)2 2 2 2 p p p p p  p     . Vì p là số nguyên tố trên ( 1) 2 p p 

1, cho nên trên tr-ờng Zp có ít nhất một đa thức bậc hai đơn hệ bất khả qui q(x). Do đó, tồn tai một mở rộng đơn F = Zp(u) của Zp sinh bởi một nghiệm u nào đó của q(x), với bậc [ F : Zp ] = 2. Vì vậy F là tr-ờng có p2 phân tử và có đặc số p cần dựng.

Bài 5: Cho F  K là mở rộng đại số và f  K[x] là một đa thức bất khả qui. Chứng minh rằng tồn tại g  F[x] khác không sao cho f là -ớc của g.

Lời giải: Gọi f = a0 + a1 x +...+ anxn  K[x]. Gọi u là một nghiệm của f xét F(a0 , a1,..., an, u) là một mở đại số của F. Do đó u đại số trên F. Khi đó f chia hết đa thức tối tiểu g  F[x] của u.

Kết luận

Để tìm hiểu sâu hơn về Lý thuyết tr-ờng và các ứng dụng trong những lĩnh vực khác nhau của Toán học, Luận văn này đã giới thiệu các kết quả cơ bản sau đây có kèm theo các chứng minh chi tiết:

+ Giả sử  là phần tử đại số trên tr-ờng K. Thế thì K( ) = K[ ] và tr-ờng K( ) hữu hạn trên K. Bậc [K( ):K] bằng bậc của đa thức cực tiểu Irr(, K, X ) của  trên K.

+Mọi mở rộng bậc hữu hạn E của tr-ờng K là hữu hạn sinh + Tr-ờng các số đại số là một tr-ờng đóng đại số.

+ Với mọi tr-ờng K tồn tại tr-ờng đóng đại số L nhận K làm tr-ờng con.

+ Mọi tr-ờng F đều tồn tại một bao đóng đại số.

Luận văn có thể tiếp tục tìm hiểu hoặc nghiên cứu sâu hơn các nội dung khác của Lý thuyết tr-ờng có ứng dụng trong Số học; Tr-ờng các số đại số; Tr-ờng các số p-adic.