Tính đúng đắn của thuật toán
Để chứng minh tính đúng đắn của thuật toán ta dựa vào một số mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.3.1 (Xem [13]) Giả sử s và t là hai điểm trong đa giác đơn P,
S là tập các đỉnh của đ-ờng ống tay xác định bởi s và t (phép tam giác phân). Khi đó, các đỉnh mà đ-ờng ngắn nhất từ s đến t thuộc tập S {s, t}.
Mệnh đề 2.3.2 (Xem [17]) Giả sử uwx là một tam giác trong phép tam giác phân của đa giác P sao cho uwx F = d. Khi đó đ-ờng ngắn nhất từ s
tới x là từ ( , )s a và đến ax. Nếu ax F = thì đi thẳng tới x, hay ng-ợc lại sẽ đi theo một phần ( , )a u ,( , )a w tới v nếu vx là tiếp tuyến của F tại v sau đó tiếp tục theo đoạn thẳng vx.
Từ đó ta suy ra:
Thuật toán sẽ dừng sau hữu hạn b-ớc, vì luôn tồn tại phép tam giác phân đa giác đơn(Xem[14], trang12) và cây đối ngẫu của nó là đồ thị hữu hạn đỉnh, hiển nhiên tồn tại hình ống tay với hữu hạn đỉnh.
Cho: Đa giác đơnP và hai điểm s, t nằm trong P .
Tìm: Đ-ờng đi ngắn nhất từ s đến t trong đa giác đơn P
B-ớc 1 Thực hiện phép tam giác phân TGP(P ), ta gọi phép tam giác phân đó là T
B-ớc 2 Với phép tam giác phânT ,thực hiện SLEEVE(P ) ta đ-ợc hình ống tayP ’
Thuật toán kết thúc thì tìm đ-ợc đ-ờng đi ngắn nhất từ s đến t vì luôn tìm đ-ợc duy nhất đ-ờng ngắn nhất nằm trong hình ống tay.
Độ phức tạp thuật toán
Thuật toán chính có độ phức tạp là O(n2).
Nhận xét 2.3.1 Tr-ờng hợp đa giác đơn điệu có n đỉnh hợp bởi hai
đ-ờng gấp khúc đơn điệu theo cùng một ph-ơng < ap0, p1, ..., b > và < aq0, q1, ..., b > thì đ-ờng đi ngắn nhất trong miền đa giác đơn điệu từ đỉnh
ađến đỉnh b nh- là một đặc biệt thuật toán trên.
Việc đánh giá độ phức tạp thuật toán này dựa vào: - B-ớc 1 có độ phức tạp là O(n).
- B-ớc 2 có độ phức tạp là O(n2). - B-ớc 3 có độ phức tạp là O(n).
Do đó độ phức tạp thuật toán của Lee và Preparata tìm đ-ờng đi ngắn nhất giữa hai đỉnh trong đa giác đơn điệu là O(n2).
Phần minh họa của thuật toán của Lee và Preparata đ-ợc trình bày trong [7].
Ch-ơng III
Thuật toán dùng bao lồi làm định h-ớng tìm đ-ờng đi ngắn nhất giữa hai đỉnh
trong đa giác đơn điệu
Trong [9] và [10], Phan Thành An đã đ-a ra ý t-ởng tìm đ-ờng đi ngắn nhất giữa hai đỉnh trong đa giác đơn không cần quá trình tam giác phân đa giác. Vấn đề này đ-ợc trình bày lại trong [5] cho tr-ờng hợp đa giác đơn điệu.
Trong nội dung chính của luận văn, chúng tôi trình bày chi tiết thêm các kết quả [5] thông qua bài toán, trình tự các thủ tục con tìm đ-ờng đi ngắn nhất giữa hai đỉnh trong đa giác đơn điệu sử dụng bao lồi làm định h-ớng.
Bài toán: Cho đa giác đơn điệu PQ tạo bởi hai đ-ờng gấp khúc đơn điệu P = < ap0, p1, ..., pn-1b > và Q = < aq0, q1, ..., qm-1b >.
Tìm đ-ờng đi ngắn nhất, Z , trong miền đa giác PQ nối hai đỉnh avà b.