§5. BÀI TOÁN ĐỔI CƠ SỞ
5.1 Đặt vấn đề
Trong không gian véctơ nchiềuV giả sử có hai cơ sở
B = (e1,e2, . . . ,en) vàB′ = e′1,e2′, . . . ,e′n
Kí hiệu[v]B = [v1,v2, . . . ,vn]t là toạ độ cột của véctơv ∈ Vtrong cơ sởB. Hãy tìm mối liên hệ giữa[v]B và [v]B′
5.2 Ma trận chuyển
Định nghĩa 3.18. Nếu tồn tại ma trận Pthoả mãn
[v]B = P[v]B′ với mỗi v∈ V thì ma trận Pđược gọi là ma trận chuyển cơ sở từB sangB′.
Bổ đề 3.19. Với mỗi cặp cơ sởB vàB′củaV thì ma trận chuyển cơ sở từB sangB′tồn tại duy nhất và được xác định theo công thức
P =[e1′]B[e′2]B. . .[e′n]B
Định lý 3.20. Nếu Plà ma trận chuyển cơ sở từ cơ sởB sang cơ sởB′thì (a) P khả đảo (tức làP không suy biến,detP6=0)
(b) P−1là ma trận chuyển cơ sở từ B′ sang cơ sởB
5.3 Bài tập
Bài tập 3.15. TrongP3[x]cho các véc tơv1 =1,v2=1+x,v3= x+x2,v4 =x2+x3. a) Chứng minhB ={v1,v2,v3,v4}là một cơ sở của P3[x].
b) Tìm toạ độ của véc tơv=2+3x−x2+2x3 đối với cơ sở trên. c) Tìm toạ độ của véc tơv= a0+a1x+a2x2+a3x3đối với cơ sở trên.
Bài tập 3.16. Cho KGVT P3[x] với cơ sở chính tắc E = 1,x,x2,x3 và cở sở khác B =
{1,a+x,(a+x)2,(a+x)3}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ Esang Bvà ngược lại từ B sang