Tính chất (P) và Định lý Lim-Xu trong khơng gian

Mệnh đề 2.2.3 (Espínola-Fernández-Leĩn [9]) Nếu k < thì

2.2.2.Tính chất (P) và Định lý Lim-Xu trong khơng gian

( )

CAT k

Năm 1985 E.Casini và E.Maluta đã đưa ra một cách tiếp cận khác để chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ Lifschitz đều trong khơng gian Banach cĩ cấu trúc chuẩn tắc đều.

Định lý 2.2.6. (Casini – Maluta[6]). Giả sử X là khơng gian Banach cĩ cấu trúc chuẩn tắc đều N( X )µ < 1và C là một tập đĩng, lồi, bị chặn, khác

rỗng của X . Khi đĩ, nếu T : C®C là một ánh xạ L Lipschitz- đều với

µ 1

L ( N( X ))-

< thì T cĩ điểm bất động trong C .

Kết quả của Casini – Maluta sau đĩ đã được T. C. Lim và H. K. Xu mở rộng sang khơng gian mêtric đầy đủ cĩ cấu trúc chuẩn tắc đều đối với cấu

ngại đĩ, Lim – Xu đã đưa vào khơng gian mêtric một tính chất gọi là tính chất ( P ). Đối với các khơng gian Banach phản xạ, tính chất ( P ) luơn đúng.

Định nghĩa 2.2.4. Khơng gian mêtric ( X ,d ) (với cấu trúc lồi sinh bởi

các hình cầu đĩng) được gọi là cĩ tính chất ( P ) nếu với hai dãy bị chặn

n

{x } và {z }n trong X luơn tồn tại một điểm

1¥ ¥ = ¥ ¥ ¥ ® ® ® Ỵ ³ ỉ ư÷ ç £ ç ÷÷ è ø I j n n j n n j n

z conv{ z : j n } sao cho

lim sup d( z,x ) lim sup lim sup d( z ,x ) .

Định lý 2.2.7. (Lim – Xu[18]). Giả sử ( X ,d ) là khơng gian mêtric đầy cĩ cấu trúc chuẩn tắc đều N( X )µ < 1 đối với cấu trúc lồi sinh bởi các hình

cầu đĩng và cĩ tính chất ( P ). Giả sử C là một tập con lồi, bị chặn của X

và T : C®C là một ánh xạ L Lipschitz- đều với L ( N( X ))µ - 1

< khi

đĩ T cĩ điểm bất động trong C .

Tiếp theo ta sẽ chứng minh các khơng gian CAT( k ) cĩ tính chất ( P ). Để thuận tiện cho việc trình bày, ta chỉ xét trường hợp CAT( )1 .

Định lý 2.2.8. Giả sử X khơng gian CAT(1) đầy đủ và bị chặn với

đường kính

2

d( X ) p

< . Khi đĩ X cĩ tính chất ( P ).

ϕ( x ) lim sup= n→∞d( x,x ),x Xn ∈ . Với mỗi n≥1, đặt C : co nv({ z : j n }).n = j ≥ Với mỗi n≥1, đặt C : co nv({ z : j n }).n = j ≥

Do định lý 2.1.1 tồn tại duy nhất un ⊂Cn sao cho

n n x C ( u ) inf ( x ) ϕ ϕ ∈ = Từ zj ∈C , j n,n ∀ ≥ ⇒ϕ( u )n ≤ϕ( z ), j nj ∀ ≥ . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Do đĩ ϕ( u ) lim supn ≤ j→∞ϕ( z ), nj ∀ . Ta sẽ chứng tỏ dãy {u }n là Cauchy.

Giả sử ngược lại, ∃ > ∀ ∈ ∃ε 0, N ¥ , i, j N : d( u ,u )≥ i j ≥ε. Do dãy

n

{ ( u )}ϕ tăng và bị chặn nên dãy đĩ hội tụ. Đặt d : d( X )= <π 2. Chọn

0

2

: arc cos cos ε cos d d

ξ > ξ <    ÷ ÷−  

 

Chọn N đủ lớn sao cho ϕ( u )i −ϕ( u )j ≤ξ với mọi i, j N≥ . Bây giờ xét

i > ≥j N mà d( u ,u )i j ≥ε . Lấy mj∈[u ,u ], ni j ∈¥ là trung điểm của

i j

[u ,u ] thì do tính lồi đều của X ta cĩ:

2

i n j n

j n

cos( max{d(u ,x ),d(u ,x )} ) d( m ,x ) arc cos cos( )ε    ÷ ≤  ÷  ÷   hay i n j n j n

cos( max{d(u ,x ),d(u ,x )} )

cosd( m ,x ) .

ε

 

 ÷

Do đĩ

2

i n j n

j n

n n

cos( max{d(u ,x ),d(u ,x )} ) liminf cosd( m ,x ) liminf

cos( )ε    ÷ ≥  ÷  ÷   1 i n j n n

liminf cos( max{d(u ,x ),d(u ,x )} ), (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

δ= = trong đĩ 1 2 : cos ε . δ =   ÷<  

Do hàm cosine giảm trên [0,π 2] ta cĩ

1

j n j i n j n

n n

cos( lim sup d( m ,x )) cos ( m )ϕ cos(lim sup( max{d(u ,x ),d(u ,x )} ).

δ

= ≥

Do đĩ

j i n j n

n

arccos( cos ( m )) lim sup( max{d(u ,x ),d(u ,x )} ).δ ϕ ≤

Ta cĩ

i n j n

n

lim sup( max{d(u ,x ).d(u ,x )} ) i n j n

n n

max{ lim sup d(u ,x ),lim sup d(u ,x )}

= = max{ ( u ), (u )}ϕ i ϕ j 2 2 i j i j ( u )- (u ) ( u )+ (u ) ϕ ϕ ϕ ϕ = + j j arccos( cos ( m ))δ ϕ ≤ϕ( u )+ξ.

0

arccos( cos x ) x arccos( cos d ) dδ − ≥ δ − = f ( d ), x [ ,d ]∀ ∈ Từ ξ < f ( d ) ta cĩ

0

arccos( cos x ) x arccos( cos d ) dδ − ≥ δ − = f ( d ), x [ ,d ].∀ ∈

Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của {u }j . Do đĩ {u }n là một dãy Cauchy. Do đĩ ∃ ∈z X : limn→∞un = z. Rõ ràng z ∈In∞=1Cn . Cuối cùng từ tính liên tục của ϕ và giả thiết ϕ( u ) lim supn ≤ j→∞ϕ( z ), nj ∀ ta nhận được

j j ( z ) lim sup ( z ). ϕ ϕ →∞ ≤ Định lý được chứng minh.

Kết hợp Định lý 2.2.8 và kết quả của Lim – Xu ta nhận được

Định lý 2.2.9. Giả sử X khơng gian CAT(1) đầy đủ và bị chặn với

đường kính

2

d( X ) p (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

< . Khi đĩ mọi ánh xạ L Lipschitz- đều T : X ® X với L< ( N( X ))µ - 1 đều cĩ điểm bất động trongX .

KẾT LUẬN

Luận văn đã giới thiệu một cách cơ đọng về khơng gian CAT(k) và một số tính chất hình học của khơng gian đĩ.

Luận văn đã mở rộng định lý cơ bản của W. A. Kirk về tồn tại điểm bất động của ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Banach sang lớp khơng gian CAT(k). Ngồi ra, luận văn cũng chứng minh được các khơng gian CAT(k) cĩ tính chất (P) , từ đĩ khẳng định rằng định lý Lim- Xu (về tồn tại điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều) đúng trong khơng gian CAT(k) mà khơng cần giả thiết về tính chất (P) của khơng gian.