Phương pháp tìm nghiệm của đa thức:

a) Lý thuyết:

 Định lý về nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên

- Giả sử đa thức n n 1

n n 1 1 0

P(x) a x a x   ... a x a là đa thức với hệ số nguyên, trong đó n 1 . Khi đó, nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x) có dạng r

s, trong đó r là ước của a0, s là ước của an và (r, s) = 1

- Nếu P(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, P(x) có một nhân tử là x – a và P(x) có thể viết dưới dạng P(x) = (x – a).q(x)

- Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể phân tích đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x). Khi đó P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) - Vậy nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x).

 Hệ quả: Đa thức n n 1

n n 1 1 0

P(x) a x a x   ... a x a , trong đó ai nguyên  i 0,n 1 . Khi đó nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x) đều là số nguyên và là một trong các ước số của hệ số a0.

Ví dụ: Cho đa thức: x3 + 3x  4

Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x  a)) thì nhân tử còn lại có dạng (x2 + bx + c). Tức là: x3 + 3x  4 = (x  a)(x2 + bx + c).

 ac =  4  a là ước của  4

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử tự do.

 Định lý Bezout: Số x0 là nghiệm của đa thức P(x)  P(x)  (x – x0)

 Sơ đồ Horner:

- Giả sử chúng ta chia đa thức n n 1

n n 1 1 0

P(x) a x a x  ... a x a 

     cho nhị thức x – a

- Bậc của đa thức thương Q(x) nhỏ hơn bậc của P(x) một đơn vị

n 1 n 2 n 3 n 1 n 2 n 3 0 Q(x) b x   b x  b x   ... b (Số dư r là một hằng số) - Ta có: n n 1 n 1 n 2 n 3 n n 1 1 0 n 1 n 2 n 3 0 a x a x  ... a x a (x a)(b x  b x  b x  ... b ) r                - Cân bằng hệ số, ta có: n a an 1 … a1 a0 a an bn 1 bn 2 a .a an  n 1 b0 b .a a1  1 r b .a a 0  0 b) Bài tập áp dụng:

Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử. P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – 4

HD:

Ta nhận thấy đa thức P(x) có 2 nghiệm phân biệt là –1 và 2 Vì P(–1) = 0 và P(2) = 0. Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x)

Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – 2 , ta được thương đúng của phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0

Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2). Bài 2. Phân tích đa thứcsau thành nhân tử:

a) x –2x –43 b) x33x – 4

c) 2x –5x3 28x –3 d) x4 x –2x –6x – 43 2

e) 6x4 x319x231x 30 f) 4x44x37x24x 4

g) 9x415x343x2 22x 40 h) 2x419x32002x29779x 11670

a) (x – 2)(x22x 2) b) (x –1)(x2)2

c) (2x – 1)(x – 2x 3)2  d) (x 1)(x – 2)(x 2 2x 2)

e) (2x 3)(3x 2)(x  2  x 5) f) (x 2)(2x 1)(2x  23x 2)

g) (3x 2)(3x 4)(x  2 x 5) h) (x 2)(x 3)(2x  29x 1945)