có tích bằng 1 thì 1 (1 +a)2 + 1 (1 +b)2 + 1 (1 +c)2 + 1 (1 +d)2 ≥1.
Chứng minh. Ta thấy rằng với x, y là hai số thực dương tuỳ ý thì luôn có
1
(1 +x)2 + 1
(1 +y)2 ≥ 1
(1 +xy).
Thật vậy, khai triển và biến đổi tương đương ta được
(2 + 2x+ 2y+ x2 +y2)(1 +xy) ≥ (1 + 2x+x2)(1 + 2y+ y2).
Điều đó xảy ra khi và chỉ khi
≥ 1 + 2y +y2 + 2x+ 4xy +y +x2 + 2xy(x+y) +x2y2.
Bất đẳng thức nêu trên tương đương với
1 +xy(x2 +y2) ≥2xy +x2y2 ⇔ (xy + 1)(x−y)2 ≥ 0. Đặt m = ab, n = cd thì mn = 1. Do đó 1 1 +m + 1 1 +n = m+n+ 2 (m+ 1)(n+ 1) = 1. Sử dụng kết quả trên ta có 1 (1 +a)2 + 1 (1 +b)2 + 1 (1 +c)2 + 1 (1 +d)2 ≥ 1 1 +m + 1 1 +n = 1.
Đó là điều phải chứng minh. 2
Chú ý rằng bất đẳng thức trong bài toán 6 trở thành đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Kết luận
Kết quả thực hiện đề tài khoá luận đã bao gồm:
1. Trình bày được những khái niệm và kiến thức cơ sở về hàm lồi, hàm lồi 1 biến thông qua các khái niệm, tính chất và một số ví dụ áp dụng.
2. Trình bày các khái niệm về hàm AG-lồi, GG-lồi, GA-lồi. Nghiên cứu một số tính chất, thông qua các bất đẳng thức về các hàm đã nêu.
3. Đưa ra 6 bài toán được chứng minh bằng cách sử dụng các bất đẳng thức quan trong được nêu trong khoá luận
Do thời gian và trình độ có hạn nên một số vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu bào gồm:
- Nghiên cứu các bài toán hình học bằng việc sử dụng các bất đẳng thức đã nêu.
- Khai thác và nghiên cứu mở rộng một số bất đẳng thức khác có ý nghĩa khoa học hơn.
Tài liệu tham khảo
[1]. Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội, Hà Nội, 2007. [2]. Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2000.
[3]. Trần Xuân Sinh, Giải tích lồi, Đại học Vinh, 2006.
[4]. Jan Van Tiel, Convex Analysis, Royal Netherianas Meteorological In- stitute, 1984.
[5]. C.P. Nicullescu, Convexity According to the Geometric mean, J. Math- matical Inequaties and Applications, Vol.3, N02 (2000), 155-167.
[6]. R.A. Satnoianu, Improved GA-convexity inequalities, Journal of In- equalities in Pure and Applied Mathmatics, Vol. 3, Tssue 5, Article 82, 2002, ISSN (Electronic): 1443-5756.