I Từ tổng thể có kích thước N chọn ra một mẫu ngẫu nhiên bất kỳ kích thước n, ký hiệu {𝑋1, . . . , 𝑋𝑛}
I Trung bình của mẫu ngẫu nhiên là: 𝑋= 𝑋1+. . .+𝑋𝑛
𝑛
I Theo định lý giới hạn trung tâm thì𝑋 sẽ có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn. Ta gọi đó là phân phối của trung bình mẫu
Phân phối của trung bình mẫu 𝑋
Gọi{𝑋1, . . . , 𝑋𝑛}là một mẫu ngẫu nhiên có kích thước nlấy từ tổng thể có trung bình 𝜇 và độ lệch chuẩn 𝜎 .Khi đó trung bình mẫu ngẫu nhiên 𝑋 là một ĐLNN:
¯
𝑋= 𝑋1+𝑋2+· · ·+𝑋𝑛
𝑛
1. Nếu𝑋 ∼𝑁(𝜇, 𝜎2) thì trung bình mẫu 𝑋 cũngcó pp chuẩn:
𝑋 ∼𝑁(𝜇,(√𝜎
𝑛)
2)
2. Nếu tổng thể không có phân phối chuẩn nhưng kích thước mẫu lớn𝑛≥30 thì trung bình mẫu xấp xỉ phân phối chuẩn:
𝑋 ∼𝑁(𝜇,𝜎
2
𝑛)
Tức là theo (1) và (2) ta có: 𝜇𝑋¯ =𝜇 ; 𝜎𝑋¯ = √𝜎
Example 6
Giả sử chiều cao của sinh viên nam ở tp.HCM có phân phối chuẩn với trung bình là 172 cm và độ lệch chuẩn là 10 cm. Chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 sinh viên.
1. Tìm quy luật phân phối của trung bình mẫu (trung bình chiều cao của 25 sinh viên bất kỳ).
2. Tính xác suất để một mẫu ngẫu nhiên có chiều cao trung bình lớn hơn 174cm.
I Gọi X là chiều cao của 1 sinh viên bất kỳ (lấy từ tổng thể). I Gọi𝑋 là chiều cao trung bình của một mẫu ngẫu nhiên gồm 25
sinh viên bất kỳ. Ta có:
¯
𝑋= 𝑋1+𝑋2+· · ·+𝑋25 25
I Do𝑋 ∼𝑁(𝜇, 𝜎2) nên ta có trung bình mẫu𝑋¯ cũngcó phân phối chuẩn với: 𝜇𝑋¯ =𝜇= 172𝑐𝑚; 𝜎𝑋¯ = √𝜎 𝑛 = 10 √ 25 = 2𝑐𝑚 I Tức là: 𝑋∼𝑁(172,22)
I Xác suất để một mẫu ngẫu nhiên có chiều cao trung bình lớn hơn 174cm.
Example 7
Cho 𝑋∼𝑁(𝜇, 𝜎2) có trung bình là 100 và độ lệch chuẩn là 15. Lấy mẫu ngẫu nhiên gồm 9 phần tử bất kỳ {𝑋1, 𝑋2, ..., 𝑋9} và gọi 𝑋 là trung bình của mẫu ngẫu nhiên.
1. Hãy cho biết phân phối của 𝑋
2. Tính𝑃(90< 𝑋 <110) và𝑃(90< 𝑋 <110). Nhận xét.
Exercise 3
Bài 5.4 :
500 vòng bi có trọng lượng trung bình là 150g và độ lệch chuẩn là 0,9g. Chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 vòng bi, tìm xác suất để mẫu này có tổng trọng lượng:
1. Trong khoảng 14,98kg và 14,99kg. 2. Lớn hơn 15,03.
Exercise 4
A. C. Neilsen khảo sát và thấy rằng trẻ em trong độ tuổi từ 2 đến 5 tuổi mỗi tuần xem tivi trung bình 25 giờ và độ lệch chuẩn là 3 giờ. Giả sử thời gian xem tivi của 1 trẻ bất kỳ có phân phối chuẩn. Nếu chọn ra 1 mẫu ngẫu nhiên gồm 20 em bé bất kỳ, tính xác suất để thời gian xem tivi trung bình của mẫu đó sẽ lớn hơn 26.3 giờ.
(Source: Michael D. Shook and Robert L. Shook, The Book of Odds.)
Exercise 5
The average age of a vehicle registered in the United States is 8 years, or 96 months. Assume the standard deviation is 16 months. If a random sample of 36 vehicles is selected, find the probability that the mean of their age is between 90 and 100 months.
Contents
Giới thiệu về lấy mẫu và các dạng mẫu thường gặp Định lý giới hạn trung tâm
Phân phối của trung bình mẫu 𝑋 Phân phối của tỷ lệ mẫu F