Bài toán 1. Trong mặt phẳng cho 25 điểm. Biết rằng giữa 3 điểm bất kỳ
trong số các điểm đã có thể chọn đ-ợc 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng giữa những điểm này có thể chọn đ-ợc 13 điểm phủ bởi đ-ờng tròn bán kính bằng 1.
Giải
+) Nếu khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong các điểm đã cho đều nhỏ hơn 1, thì khẳng định của bài toán đúng.
+) Giả sử tồn tại cặp điểm A và B sao cho độ dài của đoạn thẳng AB lớn hơn 1. Khi đó, những điểm còn lại chia làm hai lớp và , trong đó bao gồm tất cả những điểm X nằm cách điểm A một khoảng nhỏ hơn 1, còn gồm tất cả những điểm Y nằm cách điểm B một khoảng nhỏ hơn 1. Theo cách gọi nh- vậy thì mỗi điểm đã cho rơi vào một trong hai lớp trên. Vì giả thiết cho số l-ợng các điểm là 25, thì ít nhất một trong những lớp trên sẽ chứa không ít hơn 13 điểm. Đpcm.
Bài toán 2. Trong mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm không cùng nằm
trên một đ-ờng thẳng. Chứng minh rằng tồn tại một đ-ờng tròn đi qua ba điểm trong chúng và nó phủ tất cả các điểm còn lại.
Giải
Từ tập hợp hữu hạn điểm đã cho ta dựng một bao lồi M . Vì các điểm không nằm trên một đ-ờng thẳng nên bao lồi của chúng không phải là một đ-ờng thẳng. Ta xét tất cả những tam giác có những đỉnh giữa các đỉnh của M và chọn một tam giác có bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp lớn nhất. Giả sử đó là tam giác
C B A D Hình13
ABC (hình 13).
Giả sử tồn tại một đỉnh D của bao lồi M nằm ngoài đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó, đỉnh D nằm ngoài ABC. Suy ra tồn tại ít nhất một đỉnh của tam giác ABC giả sử đó là B, sao cho B và D nằm ở hai nữa mặt phẳng khác nhau đối với cạnh đối diện AC của nó (cần chú ý rằng vì tính bao lồi của
M nên không một đỉnh nào của nó có thể nằm ở các vùng ). Ngoài ra, một trong những góc BAC hoặc BCA là tù. Không mất tính tổng quát ta cho góc
BAC
tù. Khi đó CDB BAC, điều này có nghĩa là, bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác CDB lớn hơn bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác BCA, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu ta chọn đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác BCA. Vậy bài toán trên luôn đúng.
Chú ý. Cho đoạn thẳng AB và hai điểm C và D không thuộc đ-ờng thẳng trên. Ta xét xem tr-ờng hợp nào thì đ-ờng tròn k2 ngoại tiếp tam giác ABD có
đ-ờng kính lớn hơn đ-ờng tròn k1 ngoại tiếp tam giác ABC.
i) Cho ADB và ACB là những góc nhọn. Khi đó dễ thấy r2 r1 chỉ khi
ADB ACB
.
ii) Nếu một trong các góc là tù, giả sử là ADB tù, còn góc kia không tù, thì ta sẽ có r2 r1 khi và chỉ khi 0
180
ADB ACB
.
iii) Nếu cả hai góc là tù, thì r2 r1, khi ADB ACB.
Bài toán 3. Cho đa giác lồi. Chứng minh rằng tồn tại đ-ờng tròn xác
định từ ba đỉnh cạnh nhau của đa giác và đ-ờng tròn đó phủ đa giác này.
Giải
Theo bài 1.2 thì tồn tại đ-ờng tròn phủ đa giác lồi nói trên. Chỉ còn chứng minh ba đỉnh kề nhau trên đ-ờng tròn. Thật vậy,
1) Nếu đ-ờng tròn phủ k ngoại tiếp một tam giác ABC không tù
(hình 14), ta có nh- sau. Nếu điểm X nằm trong k, thì 0
180
AXC ABC
theo chú ý ii) của bài 1.2, suy đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AXC sẽ có bán kính
lớn hơn của đ-ờng tròn k, điều này vô lý với cách chọn của k. Khi đó, khả năng duy nhất cho X là Xk, nghĩa là đa giác nội tiếp trong k.
2) Nếu đ-ờng tròn phủ k ngoại tiếp một tam giác ' ' '
A B C tù (hình 15),
giả sử ' ' ' 0
90
AC B
. Nếu điểm Y nằm trong k và thuộc cùng cung ' ' '
A C B , ta có bất đẳng thức ' ' 0 ' ' '
180
C YB C A B
sẽ không xảy ra đ-ợc, bởi vì ' ' ' 0
90
C A B
và k là đ-ơng tròn phủ đa giác đã cho. Suy ra hoặc Y nằm trên đ-ờng tròn k hoặc nằm về phía cung ' '
ATB .
Bài toán 4. Chứng minh rằng mỗi đa giác lồi có diện tích bằng 1 có thể
phủ bằng một hình bình hành có diện tích bằng 2. Chứng minh rằng một tam giác có diện tích bằng 1 không thể phủ bằng một hình bình hành có diện tích bằng 2.
Giải
Giả sử M là đa giác lồi có diện tích bằng 1. Không mất tính tổng quát ta giả sử C là đỉnh xa nhất đối với một cạnh AB của đa giác lồi M (hình 16). Ta kẻ đ-ờng thẳng AC chia đa giác M thành hai (hoặc là chỉ một phần) M1 và M2. Gọi D1 là một đỉnh bất kỳ của M1 và D2 là
một đỉnh bất kỳ của M2 sao cho D1 và D2
là những đỉnh xa nhất của đ-ờng thẳng AC. Qua C ta dựng đ-ờng thẳng //AB, qua D1 ta dựng đ-ờng thẳng 1//AC, qua D2 ta dựng đ-ờng thẳng 2//AC. Khi đó 1 K, B C A X Hình 14 1 M A B N H K C 1 D 2 D 2 Hình 16 ' B ' C Y ' A N Hình 15 Y
1ABM, 2 H, 2ABN, từ đó ta thu đ-ợc hình bình hành MNHK. Ta có, 1 1 2 AD C AMKC S S ; 2 1 2 AD C ANHC S S mà AD C1 và AD C2 là những đa giác còn AMKC và ANHC là những hình bình hành. Suy ra đa giác lồi M có diện tích bằng 1
2 hình bình hành MNHK. Theo giả thiết đa giác lồi M có diện tích bằng 1, nên hình bình hành sẽ có diện tích bằng 2. Vậy bài toán luôn đúng.
Kết luận
Trong thời gian hoàn thành Khóa luận tôi đã thu đ-ợc một số kết quả sau : 1) Trình bày có hệ thống các khái niệm tập lồi, phần trong đại số và bao đóng đại số (Định nghĩa 1.1.1.1, định nghĩa 1.1.2.1 và 1.1.3.1).
2) Chứng minh chi tiết các tính chất cơ bản của tập lồi và bao lồi (mệnh đề 1.1.1.5 và mệnh đề 1.2.2, định lý(Carathéodory), định lý Helly, mệnh đề 1.2.7).
3) Tập hợp một số ví dụ ứng dụng định lý Helly (Các ví dụ 1.2.9.3).
4) Trình bày có hệ thống các khái niệm phủ hình, phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự với nó và phủ đa giác lồi bằng những đa giác đồng dạng với nó (Định nghĩa 2.11, 2.2.1.1 và 2.2.2.1).
5) Tập hợp một số dạng toán phủ hình (Một số dạng toán phủ đa giác lồi 2.2.3). Những tính chất trên đây hầu hết đ-ợc nêu ra ở các tài liệu tham khảo khác d-ới tóm tắt, chú ý hoặc bài tập.
Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục khảo sát một số ứng dụng của định lý Helly và một số dạng toán phủ hình khác.
TàI LIệU THAM KHảO
Tiếng việt
[1]. Vũ Hữu Bình, Các bài toán hình học tổ hợp, NXBGD, 2001.
[2]. Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXBGD, 2005.
[3]. Vũ Đình Hòa, Một số kiến thức cơ sở về hình học tổ hợp, (tái bản lần thứ 2), NXBGD, 2003.
[4]. Đỗ Văn L-u – Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2000.
Tiếng Anh
[5]. Janvan Tiel, convex analysis, John wiley and sons.
[6]. F. A. Valentine (1964), Convex Setx, McGraw – Hill, New york.
[7]. S. R. Long (1982), Convex Setx and Their Applicatios, John wiley & Sons.
Mục Lục
Trang
Lời mở đầu ... - 1 -
Ch-ơng I Cơ sở lý thuyết ... - 2 -
1.1. Tập lồi, bao lồi ... - 2 -
1.1.1. Tập lồi ... - 2 - 1.1.1.1. Định nghĩa ... - 2 - 1.1.1.2. Ví dụ ... - 2 - 1.1.1.3. Định nghĩa ... - 3 - 1.1.1.4. Mệnh đề ... - 3 - 1.1.1.5. Mệnh đề ... - 4 - 1.1.1.6. Mệnh đề ... - 5 - 1.1.2. Bao lồi ... - 6 - 1.1.2.1. Định nghĩa ... - 6 - 1.1.2.2. Nhận xét ... - 6 - 1.1.2.3. Mệnh đề ... - 6 - 1.1.2.4. Mệnh đề ... - 7 - 1.1.2.5. Mệnh đề ... - 7 - 1.1.2.6. Bổ đề ... - 9 - 1.1.2.7. Mệnh đề ... - 9 -
1.1.3. Phần trong đại số và bao đóng đại số ... - 10 -
1.1.3.1. Định nghĩa ... - 10 - 1.1.3.2. Định lý ... - 10 - 1.1.3.3. Định lý ... - 11 - 1.1.3.4. Định lý ... - 12 - 1.2. Một số tính chất của tập lồi ... - 14 - 1.2.1. Định lý ... - 14 - 1.2.2. Mệnh đề ... - 15 - 1.2.3. Mệnh đề ... - 15 -
1.2.4. Hệ quả ... - 16 - 1.2.5. Định lý (Carathéodory) ... - 16 - 1.2.6. Mệnh đề ... - 17 - 1.2.7. Mệnh đề ... - 17 - 1.2.8. Định lý ... - 19 - 1.2.9. Định lý Helly và ứng dụng ... - 20 - 1.2.9.1. Bổ đề ... - 20 - 1.2.9.2. Định lý (Định lý Helly) ... - 21 - 1.2.9.3. Các ví dụ về ứng dụng định lý Helly ... - 23 -
Ch-ơng II Một số dạng toán phủ đa giác lồi ... - 26 -
2.1. Phủ hình ... - 26 -
2.1.1. Định nghĩa ... - 26 -
2.1.2.Ví dụ ... - 26 -
2.2. Một số dạng toán phủ đa giác lồi ... - 28 -
2.2.1. Phủ đa giác lồi bằng những đa giác vị tự với chính nó ... - 28 -
2.2.1.1. Định nghĩa ... - 28 -
2.2.1.2. Bài toán ... - 28 -
2.2.1.3. Định lý ... - 29 -
2.2.1.4. Bổ đề ... - 29 -
2.2.2 Phủ đa giác lồi bằng những đa giác đồng dạng với nó ... - 31 -
2.2.2.1. Định nghĩa ... - 31 -
2.2.2.2. Bổ đề ... - 31 -
2.2.2.3. Định lý ... - 32 -
2.2.3. Một số dạng toán phủ đa giác lồi ... - 33 -
Kết luận ... - 36 -